初二数学培优之平行四边形、矩形、菱形

1、初二数学培优之平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、 菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来， 判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 边形的背景下思考问题， 运用平行四边形、矩形、 菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定 定理与性质定理的综合运

2、用 熟悉以下基本图形：S4S2SiS3例题与求解【例I】如图，矩形 ABCD的对角线相交于 O, AE平分/ BAD，交BC于E,/ CAE =15 ° 那么/ BOE =.O（祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手【例2】下面有四个命题： 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形； 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1 B

3、. 2 C. 3D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定 平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD = 2, E, F分别是边AD, CD上的两个动 点且满足AE+CF = 2.（1）判断ABEF的形状，并说明理由；（2）设ABEF的面积为S,求S的取值范围D（烟台中考试题）2）,只需求出BE的取值范围解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（【例4】如图，设P为等腰直角三角形 ACB斜边AB上任意一点，PE丄AC于点E, PF 丄BC于点F,

4、PG丄EF于点G,延长GP并在春延长线上取一点 D，使得PD = PC.求证：BC 丄 BD , BC = BD.B（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明ACPBDPB，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质【例5】在6BCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线DC的延长线于点F.ADC图2EGF(1) 在图1中证明CE= CF;(2) 若/ ABC = 90° G是EF的中点(如图2),直接写出/ BDG的度数；(3) 若/ ABC = 120° FG / CE , FG = CE ,分别连结 DB, DG (如图 3),求/ BDG 的度数（北京市中考试

5、题）解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2）,用测量的方法可得/ BDG=45°进而想到等腰直角三角形，连CG , BD，只需证明ABGC DGF，这对解决（3）,有不同的解题思路对于（3）【例6】如图，ABC中，/ C = 90°点M在BC上，且BM = AC,点N在AC上，且AN = MC , AM与BN相交于点 P.求证：/ BPM = 45°.NC（浙江省竞赛试题）解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN或AC,即作M

6、E丄AN,ME = AN，构造平行四边形能力训练A级1. 如图，OBCD 中，BE丄 CD , BF丄 AD，垂足分别为 E、F，若 CE = 2, DF = 1，/ EBF = 60 °,贝U CABCD 的面积为 .C2. 如图，口 ABCD的对角线相交于点 0,且AD D，过点0作0M丄AC,交AD于点M，若CDM周长为a，那么口 ABCD的周长为 .AM D0BC第2题（浙江省中考试题）3. 如图，在 RtABC 中，/ B= 90 ° / BAC = 78 ° 过 C 作 CF / AB,连结 AF 与 BC相交于G,若GF = 2AC,则/ BAG的大

7、小是 .B AFC第3题（希望杯”竞赛试题）4. 如图，在菱形 ABCD中，/ B=Z EAF = 60° / BAE = 20。，则/ CEF的大小是 （希望杯”邀请赛试题）5. 四边形的四条边长分别是a, b, c, d，其中a, c为对边，且满足2 2 2 2 abed 2ab 2cd，则这个四边形 -定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形6现有以下四个命题：对角线相等的四边形是矩形； 对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有

8、（）A. B. C. D.7. 如图，在矩形 ABCD中，AB = 1, AD = 3 , AF平分/ DAB，过点C作CE丄BD于E,延长AF , EC交于点H，下列结论中： AF = FH ，BO = BF :CA= CH ; BE =3ED.正确的是（ ）A. B.C. D.（齐齐哈尔中考试题）8如图，矩形ABCD的长为a,宽为b,如果SiS -(S3 S4)，则 S4 =(2)3321A.abB.abC. abD. ab8432（缙云杯”竞赛试题）9. 已知四边形 ABCD，现有条件： AB/ DC;AB= DC;AD / BC; AD = BC; / A=Z C;/ B=Z D.从中

9、取两个条件加以组合，能推出四边形 ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.（江苏省竞赛试题）10. 如图，ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且 CD = BF ,以AD 为边作等边AADE.（1） 求证：ACDCBF ;（2） 当D在线段BC上何处时，四边形 CDEF为平行四边形，且/ DEF = 30°证明你 的结论.（江苏省南通市中考试题）11. 如图，在 RtABC 中，AB = AC, / A= 90 ° 点 D 为 BC 上任一点，DF 丄AC 于 F , DE丄AC于E, M为BC中点，试判断 AMEF是什么形状的三角形，并证明你

10、的结论.D MC（河南省中考试题）12. 如图，ABC 中，AB = 3, AC = 4, BC= 5, ABD , AACE, 形，求四边形 AEFD的面积.ABCF都是等边三角E（山东省竞赛试题）B级1.如图，已知 ABCD是平行四边形， E在AC上，AE= 2EC, F在AB上，BF = 2AF, 如果ABEF的面积为2 cm2，则口 ABCD的面积是.第1题（希望杯”竞赛试题）3.如图，在矩形ABCD则折痕EF长为.（山东省竞赛试题）中，AB = 6cm, BC= 8cm,现将矩形折叠，使B点与D点重合,（武汉市竞赛试题处,第4题中，AB = 8, BC= 4,将矩形沿AC折叠，使点D

11、落在点D4.如图，在矩形ABCDCD交AB于点F，则重叠部分 AFC的面积为（山东省竞赛试题）5.如图，在矩形 ABCD中，已知 AD = 12, AB = 5, P是AD边上任意一点， PE丄BD 于E, PF丄AC于F，那么PE+PF的值为.DC（全国初中数学联赛试题）6. 如图，菱形 ABCD的边长为4 cm,且/ ABC= 60° E是BC的中点，P点在BD上, 则PE+PC的最小值为.7.如图，ABC的周长为24, M是AB的中点，MC = MA = 5,则AABC的面积是（）A. 30B. 24C.16D.12（希望杯”邀请赛试题）（全国初中数学联赛试题）8. 如图，口

12、ABCD中，/ ABC = 75° AF 丄BC 于 F , AF 交 BD 于 E,若 DE = 2AB，贝U / AED的大小是（ ）A. 60 ° B. 65 °C.70 °D.75 °9.如图，已知/A =Z B,AA|,PR ,BB| 均垂直于A1B1,AA|= 17, PR = 16,BB|=20 , A1B1 = 12,则 AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13D.12AlPPlBl(全国初中数学联赛试题)10.如图1, ABC是直角三角形，/ C = 90 °现将ABC补成矩形，使 AABC的两个 顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形 ACBD和矩形AEFB (如图2).图3解答问题:(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为 S , S2，则S二”或 N”).(2) 如图3, AABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图3画出来.(3) 如图4, AABC是锐角三角形且三边满足 BC> AC> AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图4画出来.(4) 在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题)11 四边形 A