高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型教材梳理导学案 苏教版必修3

1、3.3几何概型庖丁巧解牛知识·巧学 一、几何概型的概念 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征： (1)进行一次试验相当于向一个几何体g中取一点.(2)对g内任意子集，事件“点取自g”的概率与g的测度(长度、面积

2、或体积)成正比，而与g在g中的位置、形状无关. 如果试验中的随机事件a可用g中的一个区域g表示（组成事件a的所有可能结果与g中的所有点一一对应），那么事件a的概率规定为：p(a)=.例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为a，则p(a)=. 联想发散 对于几何概型，随机事件a的概率p(a)与表示它的区域g的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限

3、多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型. 辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：p（a）=. 公式中的“测度”的意义依d确定，当d分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例. 误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件a的概率只与构成事件a的区域面积有关，而与a的位置和形状无关

4、.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为p(a)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件a包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他

5、完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间即0到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件.解：记a=按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，a发

6、生就是在0到min之间的时间段内按错键.p（a）=. 误区警示 此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件a对应的区域是0到 min的时间段，而不是 min到 min的时间段.例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y天到达某地，则0x10,0y10，两人会面的条件是|x-y|3.图3-3-2 如图3-3-2所示，区域是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件a：“此二人会面”问题可以理解为

7、求出现在图中阴影部分的概率.于是=10×10=100.a=102-(10-3)2=51.故所求概率为p(a)=答案： 深化升华 把两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰rtabc中，在斜边ab上取一点m，求am的长小于ac的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点m随机地落在线段ab上，线段ab为试验所有结果构成的区域d，当点m位于图中线段ac上时，amac，线段ac即为构成事件的区域d.方法一:在ab上截取ac=ac，于是p(am<

8、;ac)=p(am<ac)=,即am的长小于ac的长的概率为.方法二:视射线cm在acb内是等可能分布的，在ab上取ac=ac，则acc= =67.5° .故所求的概率为. 误区警示 背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究 问题 我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？ 探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d443