第3章Z变ppt课件

1、 第三章第三章 z z变换变换 chapter 3 the z-z-transform 3.1 z z 变换变换 3.2 z z 反变换反变换 3.3 z z 变换的性质变换的性质本章的主要内容1、掌握z变换及其收敛域2、会运用任意方法求z反变换3、理解z变换的主要性质第三章作业习题3-1（1）（2）（4）习题3-2（1）采用长除法、围线积分法与部分分式法求取习题3-41、傅立叶变换并不是对所有信号序列都能收敛2、同拉氏变换在连续时间系统中的作用一样，z变换能把描述离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，极大地简化了求解过程。为什么要进行z变换？ 3.1 z 变换变换section 3.1

2、 the z-transform一个序列x(n)的z变换定义为 （3-1） zx(n)x(z) (3-2)称为z变换算子。 nnznxzx)()(3.1 z 变换变换z变换算子就是将序列x(n)转换为函数x(z)，根据式(3-1)，只有当幂级数收敛时，x(z)才有意义。 )()(zxnx z3.1 z 变换变换任意给定的序列x(n)，使其z变换x(z)收敛的所有z值的集合称为x(z)的收敛域 （roc,region of convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收敛的充要条件是 （3-3）mznxnn)(3.1 z 变换变换如果x(z)在收敛域内是一个有理函数， （3-4）当

3、x(z)=0，即p(z)=0的z称为x(z)的零点零点；当x(z)为无穷大，即q(z)=0的z称为x(z)的极点极点，另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。 )()()(zqzpzx3.1.1有限长序列的有限长序列的z变换变换 n有限长序列，是指在有限区间n1nn2内，序列具有非零的有限值，在此区间外，序列值都为零。 （3-5）若x(z)的每一项是有界的，级数就收敛，即|x(n)zn| ，n1nn2，若x(n)是有界的，即要求|z n| ，n1nn2。21)()(nnnnznxzx3.1.1有限长序列的有限长序列的z变换变换在0|z| 上，z都满足此条件，即收敛域至少是在除了z=0

4、及z 之外的开域(0,)内，即“有限z平面”。如图3-1中青色显示，“x”表示极点。在n1，n2的特殊选择下，roc还可进一步扩大：(1) 0|z|，n10； (2) 0|z|，n203.1.1有限长序列的有限长序列的z变换变换图3-1 有限长序列及其收敛域图(n10；z0，z 除外)3.1.2 右边序列的右边序列的z z变换变换n当nn1时，x(n)有非零值，在nn1时，x(n)0，即右边序列。 （3-6）有限长序列的z z变换的收敛域为“有限z z平面”，而z的负幂级数存在一个收敛半径rx，级数在以坐标原点为中心，以rx为半径的圆之外区域内任何一点均绝对收敛。01)()( )()(11nn

5、nnnnnnznxznxznxzx3.1.2 右边序列的右边序列的z z变换变换rx是收敛域的最小半径，x(z)的收敛域为roc：rx |z| ，如图3-2“灰色”所示。3.1.2 右边序列的右边序列的z z变换变换图3-2 右边序列及其收敛域(n10，z=除外)3.1.3 因果序列的因果序列的z z变换变换n当n0时x(n)有非零值，n n2时，x(n)0，即左边序列。 （3-8）有限长序列的z z变换收敛域为有限z平面，而正幂级数，存在一收敛半径rx+，级数在以坐标原点为中心，以rx+为半径的圆内任何点绝对收敛。 2210 )( )( )( )(nnnnnnnnznxznxznxzx3.1

6、.4 左边序列的左边序列的z z变换变换如果rx+为收敛域的最大半径，那么，左边序列z变换的收敛域为roc：0|z| rx+，如图3-3“灰色”所示。如果n20，那么，式(3-8)右端不存在第二项，这时，收敛域应包括z0，即|z|0 ，z=0除外) 3.1.5 双边序列的双边序列的z z变换变换n当n为任意(正、负、零)值时，x(n)都有非零的值，即为双边序列，可将其看成一个右边序列和一个左边序列之和，即 （3-9）01)()( )()(nnnnnnznxznxznxzx3.1.5 双边序列的双边序列的z z变换变换双边序列的z z变换收敛域 roc：rx|z|rx+，这是一个简单的环状区域，

7、如图3-4所示。3.1.5 双边序列的双边序列的z z变换变换图3-4 双边序列及其收敛域例题3-1n求序列x(n)(n)的z z变换x(z)及其roc。n解解：这是n1n2=0时的有限长序列，且故收敛域应是整个闭平面，即 roc：0|z| 。如图3-5。|0 roc 1)()(zznnnn：；z例题3-1图3-5 (n)的z变换收敛域 例题3-2n求左边指数序列x(n)b u(n1)的z z变换x(z)及其roc。n解解：左边序列的z变换x(z)为01111)(1)() 1()()(nnnnnnnnnnzbzbzbznubnxzxz例题3-2这是一个无穷项的等比级数求和，为了使x(z)收敛，

8、必须要求|z/b|1，即|z|b|，由此得到x(z)的闭合表达式 (3-10)roc：|z|b|。x(z)在z=b处有一极点，收敛域roc为极点所在圆|z|b|的内部，在收敛域内x(z)为解析函数，不能有极点，如所示图3-6。1111111111)(bzbzzzbzbzbzx例题3-2图3-6 x(n)b u(n1)的收敛域例题3-3n求右边指数序列x(n)=a u(n)的z z变换x(z)及其roc。n解解：x(n)实际上为因果序列， z z变换x(z)为这也是一个无穷项的等比级数求和，为了使x(z)收敛，必须要求|az1|1，由此得到x(z)闭合010)()()()(nnnnnnnnazz

9、aznuanxzxz例题3-3（接上）表达式 (3-11)由于 ，故在z=a处极点，roc为极点所在圆|z|a|的外部，在收敛域内x(z)为解析函数，不能有极点，见图3-7。| roc 11)()(101azazazzxnn：；azzaz111例题3-3由于又是因果序列，所以z 处也属收敛域。若a=1时，x(n)为阶跃序列，其z z变换为：1| roc 11)(1zzzx：；例题3-3图3-7 x(n)=au(n)的收敛域例题3-4n求x(n)=au(n) bu(n1)的z z变换x(z)及其roc。n解：解：这是一个双边序列， 01)(nanbnxnn，例题3-4roc: |a| |z| |

10、b| 见图3-8。若令a = 1/3，b=1/2，则)()2(1111)()()(1101bzazbazzazzbzzazbzzazbznxzxnnnnnnnn)2/1)(3/1()12/1()(zzzzzx例题3-4roc是环形域1/3|z| 1/2，如图3-9所示。其中“”表示零点。图3-8 au(n)bu(n1)的收敛域例题3-4图3-9 a = 1/3，b=1/2时的双边序列与x(z)的收敛域和相应的零极点分布例题3-5n求有限长序列x(n)=arn(n)的z z变换及其roc。n解解：x(n)=arn(n)的z z变换为azazzazazazznranxzxnnnnnnnnnnn11

11、110111)(1)()()()(z例题3-5roc由满足 的z值来决定。 |a|和z0。roc除坐标原点外包括整个平面。设n=10，a为实数且位于0和1之间，这时的零极点见图3-10所示。即 zk=aej(2 k/n)，k=0，1，2，3，n1k=0时的零点，抵消了z=a的极点。 nnnaz01|例题3-5图3-10 arn(n)的z变换收敛域(z0)和相应的零极点分布（注：n=10，0a1 3 au(n) |z|a| 4 rn(n)|z|05 nu(n) |z|1 1111zzz111azazz1111) 1(1zzzzznnn2112)1 () 1(zzzz几种序列的几种序列的z z变换

12、变换6 nau(n) |z|a| 7 u(n) |z|1 8sinn0u(n) |z|1 9cosn0u(n) |z|1 10112112)1 ()(azazazaz0jne10011zeezzjnjn20101020cos21sin1cos2sinzzzzzz201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz0cos( )anen u n221010)cos(21)sin(zezezeaaaazeaz e221010)cos(21)cos(1zezezeaaa0cos( )anen u n几种序列的几种序列的z z变换变换12rsinn0u(n) |z|r| 13rcosn0

13、u(n) |z|r|14sin(n0+)u(n) |z|1 15(n+1)au(n) |z|a| 201010202cos21)sin(sin1cos2)sin(sinzzzzzzz221010)cos(21)sin(zrzrzr221010)cos(21)cos(1zrzrzr2122)1 (1)(azazz几种序列的几种序列的z z变换变换16|z|a|17|z|a|18u(n1) |z|1 19au(n1) |z|a| 20nau(n1) |z|a| )(! )() 2)(1(nuammn.nnn1111)1 (1)(mmmazazz)(! 2) 2)(1(nuannn3133)1 (1

14、)(azazz2112)1 ()(azazazaz111azazz1111zzz# 3.2 z z 反变换反变换section3.2inversez ztransformn所谓z反变换就是从给定的z z变换闭合表达式x(z)中还原出原序列x(n)。 x(n) z-1x(z) (3-12)根据式(3-1)，可以看出，这实质上是求x(z)的幂级数展开式。主要方法：观察法，围线积分法， 部分分式法，幂级数展开法 3.2.1 观察法观察法根据一些常用的变换对，可以直接写出其z z反变换形式，如在上节例 3-2中求序列x(n)=au(n)的z z变换，应用如下的变换对，就可以直接得到其z z变换： (3

15、-13)| | roc 11)(1azaznuan ：；z3.2.1 观察法观察法如就可以直接联想到式(3-13)的变换对，与该变换相联系的序列是 x(n)=(1/2)u(n)。如果roc变为|z|1/2，求得序列为 x(n)= (1/2)u(n1) 在应用此法时，要熟练掌握表3-1所列z变换对。21| roc 2111)(1zzzx：；3.2.2 围线积分法围线积分法依据复变函数理论，若函数x(z)在z z平面上的环状区域rx|z|1/2）内的闭合曲线，如图3-12所示。现在来讨论极点在闭合曲线c内、外部的分布情况以及极点的阶数大小，以便选择式(3-21a)还是式(3-21b)来计算留数。

16、21| roc )211)(411 (1)(11zzzzx：，)21)(41()211)(411 ()()(11111zzzzzzzzxzgnnn 例题3-6n当n1时，由于函数g(z)在闭合曲线c内有两个一阶极点z11/4和z21/2（单极点），所以利用围线c内部的极点求留数比较方便，故选择式(3-21a) ，得图3-12 x(z)的收敛域与闭合曲线c 例题3-6cncndzzzzjdzzzxjnx)21)(41(21)(21)(1 1 1 )21(2)41()()21)(41()21()21)(41()41(| )21)(41(res)(211411211nnxzzzzzzzzzzznxn

17、nznznzzknk， 例题3-6n当n2时，函数g(z)在闭合曲线c的外部没有极点，而在闭合曲线c内部除了有一阶极点z11/4和z21/2外，还有z=0处(n+1)阶极点，这样沿正方向c+积分不方便。观察闭合曲线c外部的极点分布情况，由于g(z)在闭合曲线c外部无极点，它的留数应为零，即当n2时，x(n)=0。 例题3-6n事实上，当n=-1时，x(n)=0，因此，所求z z反变换x(n)为或0 )41( )21(2)(nnxnn，)( )41( )21(2)(nunxnn 例题3-7n求 的z z反变换x(n)。n解解： |1| roc 1)(11azazazzx：，111)()( 111

18、1)(nzzxzgazazaazazazazzx设，cncdzzazazaj dzzgj nx)/ 11(21 )(21)(1例题3-7设c为|z|1/|a|一闭合曲线，显然，当n0时，函数 在c内只有一个单极点z=1/a，故当n=0时，函数在c内有两个单极点z1=0和z2=1/a，所以1/11)(nzazazazgnnaaazazazazazgnxazaz)1)(1()/ 1)(1(1)( res)(111zazazazazazazg)/1(1/11)(1例题3-7由于|z|1/|a|，所以，当n0时，在c外部没有极点，故x(n)=0。因此所求反变换为01)/ 1(1( res)/ 1(1(

19、 res )( res)(21zazzzzazazazazazazgnxkkaaaanx1)1()() 1()1)(1()(1)(nuaaananxn例题3-8n求 的z z反变换x(n)。n解解： 21| roc )211 ()411 ()(211zzzzx：，zzzzzzx2211)21()41()211 ()411 ()(nnnzzzzzzzzzxzg2121)21()41()21()41()()(例题3-8n设c为roc：|z|1/2内任意一条简单闭合曲线，如图3-13所示。当n0时，c内无极点，故g(z)=x(z)z 沿闭合曲线c+上积分为零，即x(n)=0；图3-13 x(z)的收

20、敛域与闭合曲线c例题3-8当n1时g(z)在c内有一个 (n) 阶极点，而在c外有一个二阶极点z=1/2，因此有) 1( )21()41()(2nzzzzgn，ccdzzgjdzzgjnx)(21)(21)( 例题3-8) 1( )21()21)(1(41) 1()41()21()41()21()!12(1)21()41(res)21()41(21)(121121212212122122nnnnzznzzdzdzzzzdzdzzzdzzzzjnxnnznnznznzncn，) 2()21)(1() 1()21() 1()21)(1()21()( 1 1 nunnunnunnnxnnnn或写成：

21、 3.2.3 部分分式法部分分式法n将x(z)用部分分式展开，便于利用表3-1中的基本z z变换对公式来求z z反变换。然后将各个z z反变换形式相加，就得到所求的序列x(n)，即x(z)p(z)/q(z)x1(z)+x2(z)+xk(z) (3-24 ) x(n)z-1x(z)z-1x1(z)+z-1xk(z) (3-25) 3.2.3 部分分式法部分分式法如果x(z)可以表示成有理分式 (3-26)可以将x(z)的分子、分母进行因式分解，化为z-1的因式 (3-27)nkkkmmmmzazbzqzpzx00)()()(nkkmmmnkkkmmmmzdazcbzazbzx11011000)1

22、 ()1 ()(3.2.3 部分分式法部分分式法若m2(因果序列)见图3-14， )311 (151)21 (156)( )31(51) 2(56)(11zzzxzzzzzx或)()31()311 (1 )(2)21 (111nuznuznnzz例题3-9或表示为)()31(51256 )(nunxnn0, 00, )31(51256)(nnnxnn例题3-9图3-14 x(z)的收敛域与闭合曲线c3.2.3 部分分式法部分分式法n若mn，式(3-28)的右边必须要附加一个多项式，该多项式的最高阶数就是(mn)，即 (3-30)nkkknmnnnzzazbzx1101)(3.2.3 部分分式法

23、部分分式法n如果x(z)还有多重极点，那么x(z)展开成部分分式时，有如下的一般表达式 (3-31)rmmimrnkkknmnnnzdczdazbzx11110)1 (1)(3.2.3 部分分式法部分分式法n其中bn用长除法求得; ak采用式(3-28)求取; 系数ck可用以下关系求得: (3-32)r m zxzdzddmrdcidzrimrmrmrim，.21)()1()()!(1)(1113.2.3 部分分式法部分分式法或 (3-33)确定展开式的各项之后，求右边各项的z z反变换式(3-30)，然后将各序列相加，便得到所求的原序列。r m zzxdzdzdmrcidzmrimrmrm

24、.， 21)()()!(1例题3-10n利用部分分式展开的方法求下式的z z反变换。 n解解：先将x(z)进行因式分解，得) 1 | roc ( 2123121)(2121zzzzzzx：) 1 | (roc )1)(211 ()1 ( )(1121zzzzzx：例题3-10因|z|1，所以，这是右边序列，且m=n=2，故可以表示为用长除法求取b0)1 ( )211 ( )(12110zazabzx 2 152312 12321 1121212zzzzzzz例题3-10余式(5z -11)的阶次小于m=2。所以x(z)化为 )1 ( )211 (2)1)(211 (512 )(1211111z

25、azazzzzx现在可以利用式(3-28)求出系数a1、a2，即8| )1)(211 (512)1 (| )()1 (9| )1)(211 (512)211 (| )()211 (111111122111112111zzzzzzzzzxzazzzzzxza例题3-10所以有1| roc )1 (8 )211 (92 )(11zzzzx：，收敛域|z|1见图3-15，查表3-1得)(8)1 (8 )()21( 9)211 (9 )(22 11nuznuznnzzz)()21( 98 )(2)(8)()21( 9)(2)(nu nnu nun nxnn例题3-10图3-15 x(z)的收敛域与闭合

26、曲线c幂级数展开法幂级数展开法n由序列x(n)的z z变换定义知，x(z)实际上为z-1 的幂级数，即n级数的系数就是序列x(n)。用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)，有时也称长除法。遇到超越函数如对数、正弦、双曲正弦等函数时，直接利用幂级数展开式可求出x(n) 212) 2 () 1 () 0 () 1() 2()()(zxzxxzxzxznxzxnn例题3-11n用幂级数展开法求下式的z z反变换。n解解：将x(z)看成是分母为1的有理函数，且有一个极点z=0，显然它在z0的平面内收敛，将其展开为多项式形式 2111)1)(311)(311 ()(zzzzzx1

27、0129191)(zzzzzx例题3-11可以看出x(2)=1，x(1)= 1，x(0)= 1/9，x(1)=1/9，故所求的z z反变换为) 1(91)(91) 1() 2()(nnnnnx注意只有x(z)的闭合形式表达式与它的收敛域(roc)相结合，才能唯一地确定序列x(n)。 例题3-11n当x(z)的roc为|z|rx时，x(n)为右边序列，此时应将x(z)展成z的负幂级数，所以x(z)的分子、分母应按z-1的升幂(或z的降幂)排列；n当roc是|z|rx+，x(n)为是左边序列，此时应将x(z)展开成z的正幂级数，x(z)的分子、分母应按z-1 的降幂(或z的升幂)排列。例题3-12

28、n求下式的z z反变换x(n)。n解解: ，roc: |z|b|，此序列应为左边序列，x(z)的分子、分母应按z的升幂排列) | | roc ( 11)(1bzbzzx： 11)(1bzzbzzx例题3-12332213232212121 zbzbzbzbzbzbzbzbzzzb所以 x(n)= bu(n1)例题3-13n求下式的z z反变换x(n)。n解解: 这是一个超越函数，首先考虑对log(1+x)的幂级数展开，当|x| |c|，在形式上取x=cz-1，则有11)1()(nnnnnzczx故) 1() 1()(1nuncnxnn例题3-14n求下式的z z反变换x(n)。n解解: ，ro

29、c: |z|a|，此序列应为右边序列，x(z)的分子、分母应按z 1的升幂排列) | | roc ( 11)(1azazzx： 11)(1azzazzx例题3-14 1 11 1 22132321111zaazzazaazazazaz所以 x(n)= a u(n)# 3.3 z z 变换性质变换性质section3.2section3.2z ztransformproertiestransformproertiesn在研究离散时间信号与系统时， z z变换的许多性质非常有用，本节将讨论最常用的几个性质。 n本节作一总的假设，设序列x(n)的z z变换为x(z)，收敛域roc: rx|z|0)

30、的z z变换。n解解: 查表知： ，又利用欧拉公式得 1 | roc 11)(1zznu：，z)()()()(21)()(2)(00 00nurenurenueernxnjnjnjnjn例题3-15然后将其与u(n)相乘，并利用指数序列相乘性，得rrezzrereznurerrezzrereznurejjjnjjjjnj1| | roc 121)(121)()(211| | roc 121)(121)()(21000000001111：，：，zz | roc )cos2(1)cos(11121 1121)(210101100rzzzrzrzrezrezxjj：，3.3.4 x(z)x(z)的微

31、分的微分n若那么xxrzrzxnx | roc )()(：，zxxrzrzxdzdznnx | roc )()(：，z (3-37) 111()(),()()()()()()()()()nnnnnnnnnnxzx nzd xzddx nzx nzd zd zd zn x nzzn x nzzzn x nd xzzn x nzd z 对 其 两 端 求 导 得即 ，证明:例题3-16n求x(n)=nau(n)的z z变换。n解解： | | roc 11)(1azaznuan：，z因为2111)1 ( )11()(azazazdzdzzx所以 | | roc )1 ()(211azazaznnx：

32、，z3.3.5 复序列的共轭复序列的共轭n一个复序列x(n)的共轭序列为x*(n) ，xxrzrzxnx | roc )()(：，z那么 xxrzrzxnx | roc )()(：，z(3-38) * ( )( ) ( )( ) ( )nnnnz x nx n zx n zx z证明：3.3.6 复序列的翻褶复序列的翻褶n若，那么 (3-39)xxrzrzxnx | roc )()(：，zxxrzrzxnx1 | 1 roc )1()(：，z*1*()( )1( )( ) ( )nnnnnnxn zx n zx n zxz证明：3.3.7 序列的卷积序列的卷积n设y(n)为x(n)与h(n)的

33、卷积和： ，mmnhmxnhnxny)()()()()(且 hhxxrzrzhnhrzrzxnx | roc )()( | roc )()(：，；：，zz)min( | )max( roc )()()(hxhxrrzrrzhzxzy，：，(3-40) 3.3.7 序列的卷积序列的卷积n上式表明在z z变换域内x(z)与h(z)是相乘关系，乘积的roc是x(z)的roc和h(z)的roc的公共部分。在roc边界上，如果有一个z z变换的零点与另一个z z变换的极点互相抵消，那么roc还可扩大。n也将这一性质称为序列的卷积和定理。在lti系统中，如果输入为x(n)，系统冲激响应为h(n)，那么输出

34、y(n)是x(n)与h(n)的卷积和。 ( )( ) ( )( )() ()()(),()( )()( )( )( ),max,min,nnnnmnmnlmmlmmxhxhz x nh nx nh nzx m h nmzx mh nm zlnmnlmx mh l zzx m zh zx z h zrrzrr 令则证明:例题3-17n求序列x(n)=au(n)与h(n)= u(n)的卷积和(|a|b|)。 n解解：x(n)和h(n)的z变换分别为 | | roc 11)(1；：，azaznuanz | | roc ) 1()(1bzbzazbzabzznuabnubnn：，z例题3-18所以其z

35、 z反变换为： y(n)x(n)*h(n)z1y(z)bu(n)在z=a处，x(z)的极点被h(z)的零点所抵消，|b|a|，y(z)的收敛域比x(z)与h(z)收敛域的重叠部分要大，如图3-17所示。| | roc )()()(bzbzzbzazazzzhzxzy：，例题3-18图3-17 au(n)bu(n)ab-1(n1)的z变换收敛域，|b|a|故收敛域扩大了3.3.8 序列相乘序列相乘n若y(n)x(n)h(n)，且hhxxrzrzhnhrzrzxnx | roc )()( | roc )()(：，：，zzhxhxcrrzrrdvvvhvzxj nhnxnyzy | roc )()(

36、21)()( )()(1 ：，zz那么 (3-41)3.3.8 序列相乘序列相乘其中c+是哑变量v平面上x(z/v)与h(z)公共收敛域内环绕坐标原点的一条反时针旋转的简单闭合曲线，同时满足 | | | xxxxhhrzvrzrvzrrvr，即(3-42)3.3.8 序列相乘序列相乘由两不等式相乘后，得hxhxrrzrr| v平面收敛域为| min| max xhxhrzrvrzr， (3-43)3.3.8 序列相乘序列相乘n由于乘积x(n)h(n)的先后次序可以互调，所以下列等式同样 成立；hxhxcrrzrrdvvvzhvxjnhnxnyzy | roc )()(21)()( )()(1

37、：，zz (3-44)3.3.8 序列相乘序列相乘且闭合曲线c+所在的收敛域为式(3-41)和式(3-44)有时也称为z z域的复卷积定理，可用留数定理来求解式(3-41)和式(3-44)复卷积的积分。| ,min| ,maxhxhxrzrvrzr(3-45) 3.3.8 序列相乘序列相乘n式(3-41)和式(3-44)类似于一般卷积积分，设闭合曲线是一个以坐标原点为圆心的圆，令j jrezev ，那么，式(3-41)变为cjjcjjjjcjjjijjdeherxede jeherxjedeeherexjrey )(21)(21 )()(21)( )()(1 (3-46)3.3.8 序列相乘序

38、列相乘由于c是圆，故的积分限为到，积分是在到的一个周期上进行，称它为周期卷积。当 r=1，=1时，即x(z)与h(z)在单位圆上都收敛时，上式变为 jjjdehexey )()(21)( )(3-47)(3-48)rr )(21)( )(deherxreyjjjhxhxchhcnnhhnncnnnrrzrrrocdvvvzxvhjrvzrrocdvvvznxvhjrvrroczdvvvhjnxznhnxnyzzy:,)()(21:,)()(21:,)(21)()()()()(111证明：3.3.9 初值定理初值定理n如果n0，x(n)=0，即x(n)是因果序列，那么有)(lim)0(zxxz(3-49)3.3.10 终值定理终值定理若x(n)是因果序列，且x(z)zx(n)的极点处于单位圆|z|1以内，那么)() 1(lim)(lim1 zxznxzn (3-50)01212( )( ) ( )( )(0)(1)(2),lim( )(0),0)nnnnzx zx n u n zx n zxxzxzx zxzz显然，(证明（初值定理）：1 (1)( )(1)( ) (1)( )( )( )0,0)