变量与函数知识

1、变量与函数 【学习目标】1知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；2能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值3对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的

2、量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具

3、备两个条件：函数关系式相同（或变形后相同）；自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值是的函数，如果当时，那么叫做当自变量为时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值

4、范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示

5、出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描

6、点和全面反映图象情况.【典型例题】类型一、变量与函数 1、下列等式中，是的函数有（ ） A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个举一反三：【变式】下列函数中与表示同一函数的是（ ）A. B. C. D.2、如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个类型二、函数解析式3、求出下列函数中自变量的取值范围（1）（2）（3）（4）（5）（6）4、如图所示，在ABC中，C90°，AC6，BC10，设P为BC上任一点，点P不与点B、C重合，且CP若表示APB的面积 (1)求与之间的函数关系式； (2)求自变量的取值范围举一反三：【变式】 小明在劳动技术课中要制

7、作一个周长为80的等腰三角形请你写出底边长()与腰长()的函数关系式，并求自变量的取值范围类型三、函数值5、 若与的关系式为，当时，的值为（ ） A5 B10 C4 D4类型四、函数的图象6、（2015春织金县）星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？举一反三：【变式】（2015巴中）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家

8、，下面能反映当天爷爷离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象是（）ABCD【巩固练习】一.选择题1如图，表示是的函数图象是（ ）2. 下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）AS，是变量，是常量 BS，R是变量，2是常量CS，R是变量，是常量 DS，R是变量，和2是常量3.（2015内江）函数y=+中自变量x的取值范围是（）Ax2 Bx2且x1 Cx2且x1 Dx14矩形的周长为18，则它的面积S（）与它的一边长（）之间的函数关系式是（ ）A BC D5某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.

9、下图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ）A修车时间为15分钟 B学校离家的距离为2000米C到达学校时共用时间20分钟 D自行车发生故障时离家距离为1000米6如图，某游客为爬上3千米的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（ ）二.填空题7. 若球体体积为，半径为，则其中变量是_、_，常量是_8如图中，每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有（2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按图的排列规律推断S与之间的关系可以用式子_来表示9.（2015大庆）某工厂有

10、一种产品现在的年产量是20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系应表示为 10甲、乙两人在一次赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：这是一次_米赛跑；甲、乙两人先到达终点的是_；在这次赛跑中甲的速度为_，乙的速度为_11. 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用（元）与托运行李的质量（千克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过_千克，就可以免费托运12已知等腰三角形的周长为60，底边长为，腰长为，则与之间的关系式及自变量的取值范围为_. 三.解答题13. 一个函数的解析式，其中是的

11、函数，为任意实数.（1）若点A（3，4）在这个函数的图像上，求实数；（2）在（1）的条件上，判断点B（4，7）是否在它的图像上.14.（2015春宿州）一游泳池长90米，甲乙两人分别从两对边同时向所对的另一边游去，到达对边后，再返回，这样往复数次图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池固定一边的距离随游泳时间变化的情况，请根据图形回答：（1）甲、乙两人分别游了几个来回？（2）甲、乙两人在整个游泳过程中，谁曾休息过？休息过几次？（3）甲游了多长时间？游泳的速度是多少？（4）在整个游泳过程中，甲、乙两人相遇了几次？15. 如图所示，正方形ABCD的边长为4 ，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F

12、同时从点C均以1 的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止设运动时间为()，运动过程中AEF的面积为，请写出用表示的函数关系式，并写出自变量的取值范围正比例函数（基础）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如 （为常数，且0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且0）.要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数（

13、是常数，0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义1、已知，当为何值时，是的正比例函数？举一反三：【变式】如果函数是正比例函数，那么的值是_类型二、正比函数的图象和性质2、（2014秋灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=x，y=0.6x的图象3、若正比例函数中，随的增大

14、而增大，则的值为_.举一反三：【变式】（2015伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=5x的说法中，正确的是（）A当x=1时，y=5B它的图象是一条经过原点的直线Cy随x的增大而增大D它的图象经过第一、三象限4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、 的图象分别为、，则下列关系中正确的是（）A BC D类型三、正比函数应用5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（ ）A甲比乙快 B乙比甲快 C甲、乙同速 D不一定举一反三：【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，根据图象判断快

15、者的速度比慢者的速度每秒快（ ）A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米【巩固练习】一.选择题1. 直线过点（0，0）和点（ ） A.（1，3） B.（1，3） C.（1，3） D.（3，1）2. 下列函数中，是正比例函数的是（ ）ABCD3（2015春澧县期末）在下列各图象中，表示函数y=kx（k0）的图象的是（）A B C D4. 如图所示，直线的函数解析式是（ ） A B C D5. 结合函数的图象回答，当1时，的取值范围（）A2 B2 C. D. 6点A（5，）和B（2，）都在直线上，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 二.填空题7若直线经过点A（4，3），则_如果这条直

16、线上点A的横坐标4，那么它的纵坐标_8. 已知三角形底边长为4，高为，三角形的面积为，则与的函数关系式为_.9. 2与1成正比例，比例系数为2，将表示成的函数为：_.10.（2015春建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1m）x|m2|，且y随x的增大而增大，则m的值是 11. 若函数是正比例函数，那么_,图象经过第_象限.12. 已知与成正比例，且当1时，2，那么当3时，_.三.解答题13.蜡烛点燃后缩短长度（）与燃烧时间（分钟）之间的关系为，已知长为21的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛缩短了3.6，求： （1）与之间的函数解析式； （2）此蜡烛几分钟燃烧完.14.（2015春衡阳县期中）已知y是x

17、的正比例函数，且函数图象经过点A（3，6）（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y= 15.若正比例函数的图像经过点A（5，3），（1）求的值；（2）判断随的增大如何变化；（3）如果这条直线上点B的横坐标4，那么它的纵坐标的值是多少？一次函数的图象与性质（基础）【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象掌握一次函数的性质利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题【要点梳理】要点一

18、、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且0）的图象是一条直线 ；当0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当0时，直线是由直线向下平移|个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且0）的图象与性质：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与

19、相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，0）中有两个待定系数，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量

20、的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式举一反三：【变式1】已知一次函数的图象与正比例函数的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为_【变式2】（2015春广安校级月考）已知函数y1=2x3，y2=x+3（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示根

21、据图象求出与的函数关系式举一反三：【变式】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟类型三、一次函数的性质3、已知一次函数（1）当、是什么数时，随的增大而增大；（2）当、是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求、的取值范围.4、（2015春咸丰县期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设OPA的面积为S（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=4时，求P点的坐标举一反三：【变式】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）【巩固练习】一.选择题1. 已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ）A B C D2（2015春石家庄期末）关于一次函数y=2x+3，下列结论正确的是（）A图象过点（1，1）B图象经过一、二、三象限Cy随x的增大而增大 D当x 时，y03. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量（件）关于时间（月）的函数图象如图所示