流体运动学与动力学基础课件

1、第3章 流体运动学与动力学基础本章导言本章导言 v本章研究流体流动的基本方法，主要阐述了流体运动的两种描述方法,流体运动的基本概念，应用物理学中的质量守恒定律、牛顿第二定律、动量定理等推导出流体流动的几个重要的基本方程，即连续性方程、欧拉方程、伯努利方程和动量方程等。这些方程是流体流动所共同遵循的普遍规律，是分析流体流动的重要依据。主要讲解内容主要讲解内容v3.1 流场及其描述方法v3.2 流动的分类v3.3 流体流动的基本术语和概念v3.4 系统与控制体v3.5 一维流动的连续性方程v3.6 理想流体一维稳定流动伯努里能量方程v3.6.4 理想流体相对运动的伯努里方程v3.7 沿流线主法线方

2、向的压力和速度变化v3.8 粘性流体总流的伯努里方程v3.9 伯努里方程的应用v3.10 动量方程与动量矩方程学习要求学习要求 v【了解】v本章阐述了流体运动的两种描述方法,流体运动的基本概念，应用物理学中的质量守恒定律、牛顿第二定律、动量定理等推导出流体流动的几个重要的基本方程，即连续性方程、欧拉方程、伯努利方程和动量方程等。这些方程是流体流动所共同遵循的普遍规律，是分析流体流动的重要依据学习要求学习要求 v【掌握】v1、研究流体流动的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。 v2、稳定流、流线、迹线、有效断面、断面平均流速、缓变流、动能修正系数等基本概念； v3、应用物理学中的质量守恒定律、牛顿第二

3、定律、动量定理等推导出流体流动的几个重要的基本方程，即连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程； v4、连续性方程、伯努利方程和动量方程是流体流动所共同遵循的普遍规律，是分析流体流动的重要依据，学会三大方程的工程应用； v5、有泵时管路水力计算，扬程和功率的关系。 学习要求学习要求 v【重点】v1、掌握稳定流、流线、迹线、断面平均流速、缓变流、动能修正系数、泵的扬程、功率等基本概念； v2、一元连续性方程的熟练应用和空间运动连续性方程的物理意义； v3、伯努利的熟练应用（管路一般水力计算、节流式流量计、测速管、流动液体吸力、有能量输入）； v4、伯努利方程的几何表示； v5、动量方程的熟

4、练应用。 学习要求学习要求 v【难点】v1、殴拉法下加速度流场的描述。 v2、缓变流断面水力特性、动能修正系数的物理意义。 v3、伯努利方程的几何表示。 v4、动量方程应用时的受力分析。3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法v【内容提要】v本节主要讨论流体运动的两种描述方法：拉格朗日法与欧拉法。3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法v【主要内容】v1、研究流体运动的拉格朗日法v2、研究流体运动的欧拉法3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法v【两个基本概念】v（1）流体质点：物理点。是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可

5、忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法v【两个基本概念】v（2）空间点：几何点，表示空间位置。 v流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【定义】v以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得

6、整个流场的运动规律。 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【拉格朗日变数拉格朗日变数】v取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【方程方程】v质点的空间位置既随不同质点而异，又随时间不同而变化，也就是说质点的空间位置（x,y,z）是拉格朗日变数（a,b,c）和时间t的函数。3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【方程方程】v设任意时刻t，质点坐标为（x，y，z），则： vx=x（a,b,c,t）vy=y（

7、a,b,c,t）vz=z（a,b,c,t）3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【方程方程】v任一流体质点在任意时刻的速度，可以将上式对时间求偏导数而得出：ttcbaxtxux),(ttcbaytyuy),(ttcbaztzuz),(3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【方程方程】v同理，任一流体质点的加速度，可以将速度方程再对时间求偏导数而得出22),(ttcbaxtuaxx22),(ttcbaytuayy22),(ttcbaztuazz3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【优点优点】v可以描

8、述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化v【缺点缺点】v不便于研究整个流场的特性 3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法（跟踪法、质点法）（跟踪法、质点法）v【适用情况适用情况】v流体的振动和波动问题 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【定义】v以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【欧拉变数欧拉变数】v对于三元流动，各运动要素是空间点的坐标（x，y，z）和时间t的函数，不同的（x，y，z）即表示空间中

9、不同的点，通常称空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v位置： x=x（x,y,z,t）vy=y（x,y,z,t）vz=z（x,y,z,t）3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v速度： ux=ux（x,y,z,t）vuy=uy（x,y,z,t）vuz=uz（x,y,z,t） 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉

10、法（站岗法、流场法）v【方程方程】v同理： p=p（x,y,z,t），=（x,y,z,t） 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v加速度：（x、y、z也是时间t的函数）v（1）研究速度和加速度的分布可以用欧拉法，但是速度求加速度却必须用拉格朗日法，即必须用“质点的观点研究问题”。因为加速度是某一质点在单位时间内的速度变化，为了求这一质点的加速度，必须跟随这个质点观察它的速度的变化情况。v（2）所选空间点不是任意的空间点，而是流体质点在运动过程中先后经过的位置，是同一轨迹上的空间点，即流体质点在流场中空间位置为欧拉变数（x、y、z），都应该与运动过程中的时间

11、变量有关，不同时刻，每个流体质点应该有不同的空间坐标。 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v结论：从欧拉法的观点看，在流动中不仅处在不同空间点位置上的质点可以具有不同的速度，就是同一空间点上的质点，也因时间先后的不同可以有不同的速度，如果只考虑同一空间点上，因时间的不同，由不同速度而产生的加速度，这个加速度并不代表质点的全部加速度。因为即使各空间点的速度都不随时间而变化，但如两个相邻空间点的速度大小不同，则质点也仍应有一定的加速度，否则当质点从前一空间点流到后一空间点时，就不可能改变它的速度。所以流体质点的加速度由当地加速度和迁移加速度两部分组成。v全加

12、速度全加速度=当地加速度当地加速度+迁移加速度迁移加速度3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【方程方程】v当地加速度（时变加速度）：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。 v迁移加速度（位变加速度）：流体质点所在空间位置的变化而引起的速度变化率。 3.1.2 欧拉法（站岗法、流场法）欧拉法（站岗法、流场法）v【两种方法具有互换性两种方法具有互换性】v但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性。所以，采用欧拉法研究问题。3.2 流动的分类流动的分类v【内容提要】v本节主要讨论流体运动

13、的分类3.2 流动的分类流动的分类v【主要内容】按流体性质分类：可压缩流体、不可压缩流体；按与时间的关系分类：定常流、非定常流；按与空间的关系分类：一维流动、二维流动、三维流动；按运动状态分类：旋转和不旋转流动、层流流动和湍流流动、亚音速流动和超音速流动3.2.1按流体性质分类按流体性质分类v流体流动可分为理想（或无粘性）流体流动和实际流体流动；不可压缩流体流动和可压缩流体流动等。3.2.2 按与时间的关系分类按与时间的关系分类3.2.2 按与时间的关系分类按与时间的关系分类不稳定流动（非定常流场）不稳定流动（非定常流场） v定义：经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动（物

14、理参数场与时间有关）。v运动参数是时间和坐标的函数：p=p（x,y,z,t），u=u（x,y,z,t），=（x,y,z,t）。稳定流动（定常流场）稳定流动（定常流场） 3.2.2 按与时间的关系分类按与时间的关系分类稳定流动（定常流场）稳定流动（定常流场） v定义：在流场中流体质点通过空间点时所有的运动参数都不随时间改变，即物理参数场与时间无关的流动。v运动参数：p=p（x,y,z），=（x,y,z,t）， ux=ux（x,y,z），uy=uy（x,y,z）， uz=uz（x,y,z）。3.2.2 按与时间的关系分类按与时间的关系分类稳定流动（定常流场）稳定流动（定常流场） v运动参数： 定常

15、流： （当地加速度为零） 即定常流动的加速度只有迁移加速度：tutututptzyxzuuyuuxuuaxzxyxxxzuuyuuxuuayzyyyxyzuuyuuxuuazzzyzxx3.2.3 按与空间的关系分类按与空间的关系分类1、三元流场：、三元流场：具有三个坐标自变量的流场（空间流动）。 一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：u=u (x,y,z,t)2、二元流场：、二元流场：具有两个坐标自变量的流场（平面流动）。 3、一元流场：、一元流场：具有一个坐标自变量的流场（线流动）。 3.2.4 按运动状态分类按运动状态分类根据流体的运动状态，流体流动可以分为旋转（或有旋）流动和不旋转（或

16、无旋）流动、层流流动和湍流流动、亚音速流动和超音速流动等待。3.3 流体流动的基本术语和概念流体流动的基本术语和概念v【内容提要】v本节主要讨论流体运动的基本术语和相关概念。3.3 流体流动的基本术语和概念流体流动的基本术语和概念v【主要内容】迹线流线流管、流束和总流过流断面及水力要素流量和平均流速稳定流动的类型3.3.1 迹线（基于拉格朗日法提出）迹线（基于拉格朗日法提出）v 【定义】【定义】v流体质点在一段时间内运动所经过的路线。 它给出同一质点在不同时刻的速度方向。v【迹线特点】【迹线特点】v每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 3.3.1 迹线

17、（基于拉格朗日法提出）迹线（基于拉格朗日法提出）v 【迹线方程】【迹线方程】dttzyxudztzyxudytzyxudxzyx),(),(),(3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提出）v 【定义】【定义】v某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切表示流场在某一瞬时的流动方向。 3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提出）v 【流线的特性】【流线的特性】稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化； 稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合； 流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。 3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提

18、出）v 【流线的特性】【流线的特性】特例：点源、点汇、驻点、相切点 3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提出）v 【流线方程】【流线方程】dttzyxudztzyxudytzyxudxzyx),(),(),(3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提出）v 【流线方程】【流线方程】dttzyxudztzyxudytzyxudxzyx),(),(),(流线方程证明v在流场中取一M点，在某瞬时t通过M点的流线s，在M点沿流线方向取有向微元长 。v设 ，M点的速度为 ，因为 ，所以：v则 sdkdzjdyidxsdkujuiuuzyxsdu/0 sdu0dzdydxuuukj

19、izyxxyxudzudyudx3.3.2 流线（基于欧拉法提出）流线（基于欧拉法提出）v 【流线的绘制方法】【流线的绘制方法】v设在某瞬时t， 流场中某点1处流体质点的速度为u1，沿u1矢量方向无穷小距离ds1取点2。在点2 处流体质点在同一瞬时t的速度为u2，沿u2矢量方向无穷小距离ds2取点3。点3处流体质点在同一瞬时t的速度为u3，依此类推可以找到点4、点5、点6。这样在t瞬时,当各线的ds趋近于零时,则折线123456就近似地成为一条光滑曲线s,曲线s就称为瞬时t通过点1的流线,如图所示。如果绘出同一瞬时各空间点的一簇流线，则这些流线的综合就可以清晰地描绘出整个空间在该瞬时的流动图景

20、。所以流线是欧拉法分析流动的重要概念。3.3.3 流管、流束和总流流管、流束和总流v【流管】【流管】v（1）定义：在流场内画一条曲线，从曲线上）定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管状表面。每一点做流线，由许多流线围成的管状表面。 v（2）特性：）特性： v流管内外无流体质点交换流管内外无流体质点交换 v稳定流时，流管形状不随时间而变稳定流时，流管形状不随时间而变 3.3.3 流管、流束和总流流管、流束和总流v【流束】【流束】v充满在流管内部的流体充满在流管内部的流体 v【微小流束】【微小流束】v断面无穷小的流束断面无穷小的流束断面上各点运动要素断面上各点运动要素相

21、等。相等。v【总流】【总流】 v无数微小流束的总和无数微小流束的总和所有问题都归于总所有问题都归于总流问题流问题 3.3.4 过流断面及水力要素过流断面及水力要素v【有效断面】【有效断面】v流束或总流上，垂直于流线的断面。有效断流束或总流上，垂直于流线的断面。有效断面可以是曲面或平面面可以是曲面或平面 。v 过流断面面积用过流断面面积用A表示。表示。3.3.4 过流断面及水力要素过流断面及水力要素v【湿周】【湿周】v在总流的过流断面上，流体与固体边界接触部分的周长，用表示。 3.3.4 过流断面及水力要素过流断面及水力要素v【水力半径】【水力半径】v过流断面面积A与湿周 之比，用Rh表示， 。

22、水力半径与一般圆断面的半径是完全不同的概念，不能混淆。 ARh3.3.4 过流断面及水力要素过流断面及水力要素v【当量直径当量直径de 】heRd43.3.5 流量和平均流速流量和平均流速v【流量】【流量】v定义：单位时间内流过有效断面的流体量定义：单位时间内流过有效断面的流体量 。v三种表达：三种表达：v（1）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体体积，由体积，由 ：得：得： （m3/s） v（2）质量流量：）质量流量： （kg/s） v（3）重量流量：）重量流量： （N/s） udAdqVAAVVudAdqqVmqqVGqq3.3.5 流量和平均流速

23、流量和平均流速v【断面平均流速【断面平均流速v】v假想总流断面上各点流速相等，以假想总流断面上各点流速相等，以v表示，且表示，且其流量等于实际流速其流量等于实际流速u流过该断面的流量：流过该断面的流量：v 则：则：AVqudAvAAqAudAvVA3.3.6 稳定流动的类型稳定流动的类型v【均匀流和非均匀流】【均匀流和非均匀流】v流束的大小和方向沿流线不变的稳定流为均流束的大小和方向沿流线不变的稳定流为均匀流。均匀流中的流线必然是相互平行的直匀流。均匀流中的流线必然是相互平行的直线。线。v速度向量随空间位置而变化的稳定流称为非速度向量随空间位置而变化的稳定流称为非均匀流。非均匀流中的流线不再是

24、相互平行均匀流。非均匀流中的流线不再是相互平行的直线。的直线。3.3.6 稳定流动的类型稳定流动的类型v【缓变流和急变流】【缓变流和急变流】v流线的曲率和流线间夹角都很小的流动称为缓变流，流线的曲率和流线间夹角都很小的流动称为缓变流，及该流动流线近乎是平行直线。及该流动流线近乎是平行直线。v流线具有很大的曲率，或者是流线间夹角较大的流流线具有很大的曲率，或者是流线间夹角较大的流动，称为急变流。动，称为急变流。84页习题3.3流线流线: :速度场的矢量线。速度场的矢量线。vUx=(- /2)y/(x2+y2)，Uy=( /2 )x/(x2+y2) v根据坐标根据坐标A（x,y）得到：）得到：tg

25、 =y/xv根据根据Ux, Uy得到：得到：tg =- Uy/ Ux=x/yv因此因此+ =90度。即：度。即：OA垂直于流线，由于垂直于流线，由于A点具有任意性，点具有任意性，所以，流线每点处的法线均过所以，流线每点处的法线均过O点。流线为圆。点。流线为圆。A(x,y)v1v2OB71页习题3.3方法二v教材教材58页公式页公式3.8czdztzyxucyxydyxdxxdyydxtzyxudztzyxudytzyxudxzzyx0,0),(0),(),(),(22即3.4 系统与控制体系统与控制体v【内容提要】【内容提要】v本节主要阐述系统与控制体的概念及特性，并讨论其在流体力学中的运用。

26、3.4 系统与控制体系统与控制体v【主要内容】【主要内容】v系统与控制体的概念v系统内的某种物理量对时间的全导数公式3.4.1 系统与控制体的概念系统与控制体的概念v【系统】【系统】v定义：定义：一团流体质点的集合。 v特点：特点：（1）系统的边界随系统内质点一起运动，系统内质点始终包含在系统内，系统边界的形状和所围体积的大小，可随时间变化。（2）系统与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用及能量（热和功）交换。3.4.1 系统与控制体的概念系统与控制体的概念v【控制体】【控制体】v定义：定义：指流场中某一确定的空间区域，这个区域的周界称为控制面。v特点：特点：（1）控制体的边界（控制面）相对

27、坐标系是固定不变的。（2）在控制面上可以有质量和能量交换。（3）在质量面上受到控制体以外流体或固体施加在控制体内流体上的力。3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式设N表示在t时刻系统内流体所具有的某种物理量（如质量、动量等），表示单位质量流体所具有的这种物理量， 。IIyzxIIyzxIIIIvnVVNd3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式在t时刻系统（虚线表示）所占空间体积为II，由于流场中流体运动，经过t时间后，即在t+t时刻，系统所占有的空间体积为III+II，控制体（实线表示）的体积II=I+II，I

28、I是系统在t+t时刻与t时刻所占有的空间相重合的部分。 IIyzxIIyzxIIIIvn3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v在t时刻系统内流体所具有的某种物理量对时间的全导数为：v式中，V为系统在t+t的体积，V= III+II，V是系统在t时刻的体积，V=II=I+II tVVVttNtttt)d()d(limdddddVV0V/3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v即：tVVVVVtVVVtNtttttttttttttttt)d()d()d()d()d(lim)d()d()d(limddIIIIIII

29、II0IIIIIII0/)d()d()d()d(limddIIIIIIII0tVtVtVVtNtttttttt3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v因为在t时刻系统与控制体重合。若控制体体积用CV表示，则有II=V（t）=CV。因此右端第一项表示控制体内某种物理量的时间变化率为：)d()d()d()d(limddIIIIIIII0tVtVtVVtNttttttttCVIIIIII0dd)d()d(limVtVttVVtttt3.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v式右端第二、第三项分别表示单位时间内流出和流入

30、控制体II的流体所具有的某种物理量，因此可以用同样时间内在流体所通过的控制面上流出的这种物理量的面积分来表示，单位时间内流出控制体的物理量为：上式中，CSout表示控制面中流出部分的面积；un为沿控制面上微元面积外法线方向的速度。 )d()d()d()d(limddIIIIIIII0tVtVtVVtNttttttttoutoutCSnCStttAuAutVddcos)d(limIII03.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v同理，单位时间内流入控制体的这种物理量为：v式中，CSin表示控制面中流入部分的面积。)d()d()d()d(limddIIIII

31、III0tVtVtVVtNttttttttininCSnCStttAuAutVddcos)d(limIII03.4.2 系统内某种物理量对时间的全系统内某种物理量对时间的全导数公式导数公式v上式即为系统所具有的某种物理量的总量对时间的全导数，它由两个部分组成，一部分相当于当地导它由两个部分组成，一部分相当于当地导数，等于控制体内的这种物理量的总量的时间变化数，等于控制体内的这种物理量的总量的时间变化率；另一部分相当于迁移导数，等于单位时间通过率；另一部分相当于迁移导数，等于单位时间通过静止的控制面流出和流入的这种物理量的差值。静止的控制面流出和流入的这种物理量的差值。这些物理量可以是标量（如质

32、量、能量等），也可以是矢量（动量、动量矩等）。inoutCSnCSnAuAuVttNdddddCV3.5 一维流动的连续性方程一维流动的连续性方程v【内容提要内容提要】v本节应用物理学中的质量守恒定律推导出流体流动的连续性方程。3.5 一维流动的连续性方程一维流动的连续性方程v【主要内容主要内容】1、 一元流动（管流）连续性方程一元流动（管流）连续性方程 2、 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程 流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式，对于不同的液流情形，连续性方程有不同的表现形式。 质量守恒定律：质量守恒定律： 对于空间固定的封闭曲面，dt时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差

33、应等于封闭曲面内的流体质量的减少。即dt时间段内： dttMdMMMdt）（输出输入3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 微小流束的连续性方程微小流束的连续性方程 】v如图，从总流中任取一段，设进口有效断面为1-1，面积为A1，出口有效断面为2-2，面积为A2，然后从该段总流中任取一微小流束，流束的两个有效断面面积分别为dA1和dA2，有效断面dA1上有：速度u1，密度1；有效断面dA2上有：速度u2，密度2。3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 微小流束

34、的连续性方程微小流束的连续性方程 】v在dt时间内：（侧面无液体流入或流出） v流入质量： v流出质量： dtdAuMdt111)(输入dtdAuMdt222)(输出3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 微小流束的连续性方程微小流束的连续性方程 】v对于稳定流动，v即dM0，因此，根据质量守恒定律可得： 0/tMdtdAuMdt111)(输入dtdAuMdt222)(输出222111dAudAu可压缩流体、沿微小流可压缩流体、沿微小流束、稳定流的连续性方束、稳定流的连续性方程程 2211dAudAu不可压缩性不可压缩性流体流体 不可压缩流体沿微小流不可压缩流

35、体沿微小流束定常流动时的连续性束定常流动时的连续性方程方程 3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 总流的连续性方程】总流的连续性方程】v由于总流是由流束组成的，因此总流稳定流连续性方程可以通过微小流束稳定流连续方程的积分得出： 222111dAudAu 积分积分21222111AAdAudAu对于均匀管流对于均匀管流 21222111AAdAudAu2211VVqq222111AvAv3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 总流的连续性方程】总流的连续性方程】2211VVqq222111AvAv可压缩流体、稳定流、沿总可压缩

36、流体、稳定流、沿总流的连续性方程流的连续性方程 21VVqq2211AvAv1221AAvv不可压缩流体稳定流动总流不可压缩流体稳定流动总流的连续性方程的连续性方程 C C 3.5.1 一元流动（管流）的连续性方程一元流动（管流）的连续性方程v【 总流的连续性方程】总流的连续性方程】321VVVqqq汇流汇流321VVVqqq分流分流3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v1、取微元体：如图，在流场中任取一个以点A（x,y,z）为中心的正六面微元体，边长分别为dx，dy，dz，分别平行于坐标轴x,y,z， 设某时刻t，通过中心点

37、A的流体质点的速度为u，在直角坐标中3个速度分量为ux,uy,uz，密度为。3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v1、取微元体、取微元体：v后表面中心点M（x-dx/2,y,z），前表面中心点N（x+dx/2,y,z)，沿着x方向上的速度分量和密度，按泰勒级数展开，略去高阶微量，可得：vM vN2dxxuuxx2dxx2dxxuuxx2dxx3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v2、根据质量守恒定律，以、根据质量守恒定律，以x方向为例，讨论微元体方向为例，讨论微元体空间内部的质量变化，分两个部分：空间内部的质量变化，分两个部分：v （1）dt 时间内流出与流入微

38、元体的质量之差时间内流出与流入微元体的质量之差M vdt 时间内流入的质量：时间内流入的质量：v dxdydzdtxuxudydzdtudydzdtdxxuudxxMxxxxx)()(21)2)(2()(dt输入3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v2、根据质量守恒定律，以、根据质量守恒定律，以x方向为例，讨论微元体方向为例，讨论微元体空间内部的质量变化，分两个部分：空间内部的质量变化，分两个部分：v （1）dt 时间内流出与流入微元体的质量之差时间内流出与流入微元体的质量之差M v dt时间内流出的质量：时间内流出的质量： dxdydzdtxuxudydzdtudydzdtd

39、xxuudxxMxxxxx)()(21)2)(2()(dt输出3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v（1）dt 时间内流出与流入微元体的质量之差时间内流出与流入微元体的质量之差M vdt时间内，净流出量时间内，净流出量 ：v同理：同理：dxdydzdtzuyuxudMdMdMMzyxzyx)()()(dtdt时间内微元体的总净流时间内微元体的总净流出量出量MM dxdydzdtxuxudMxxx)()(dxdydzdtuudMy)y()y(yydxdydzdtuudMz)z()z(zz3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v（2）dt 时间前后，微元体内流体质量变

40、化M vdt 时间前初质量：vdt 时间后末质量：vdt 时间内微元体质量的减少值M为 dxdydzM初dxdydzdttM)(末dxdydzdttMMM末初3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v3、由于流体连续流动，不出现空隙，根据流体的连续流动和质量守恒，dt 时间内质量的减少必然等于流出与流入的质量之差，即： MM3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程MMdxdydzdtzuyuxudMdMdMMzyxzyx)()()(dxdydzdttMMM末初dxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)()()(zuyuxutzyx流体运动的连续

41、性流体运动的连续性微分方程式微分方程式 3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v4、公式说明： v v（1）物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。 0)()()(zuyuxutzyx3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v4、公式说明： v v（2）对稳定流（定常流）：0)()()(zuyuxutzyx0t0)()()(zuyuxuzyx3.5.2 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程v4、公式说明： v v（3）对于不可压流体： 0)()()(zuyuxutzyx0tConst0)()()(zuyuxuzyx， 3

42、.6 理想流体一维稳定流动伯努里能理想流体一维稳定流动伯努里能量方程量方程v【内容提要】【内容提要】v本节主要研究理想流体运动微分方程式及伯本节主要研究理想流体运动微分方程式及伯努利（努利（Bernoulli）方程。）方程。 3.6 理想流体一维稳定流动伯努里能理想流体一维稳定流动伯努里能量方程量方程v【主要内容【主要内容 】v1、 理想流体运动微分方程式（理想流体运动微分方程式（Euler方程）方程）v2、 理想流体微小流束的伯努利方程理想流体微小流束的伯努利方程(Bernoulli方程方程) 3.6.1理想流体运动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程式（欧拉方程）方程）3.6.1理想流体运

43、动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程式（欧拉方程）方程）v1、 取微元体：取微元体：取六面体微元，边长分别为dx，dy，dz。 应为是理想流体，没有摩擦剪切应力，所以在所有表面上仅作用着内法线方向的压力 。中心A点的压力为p，速度为ux，uy，uz 3.6.1理想流体运动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程式（欧拉方程）方程）v2、 受力分析受力分析：以x方向为例，流体微元的受力包括质量力和表面力。 （1）质量力：（2）表面力：对于理想流体0，没有切向力。A1点压力，A2点压力 。 dxdydzfxdxxppp211dxxppp2123.6.1理想流体运动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程

44、式（欧拉方程）方程）v3、 导出关系：导出关系： 根据牛顿第二定律 ，在x方向上应满足： maFdtdudxdydzdydzdxxppdydzdxxppdxdydzfxx)21()21(dtduxpfxx13.6.1理想流体运动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程式（欧拉方程）方程）v4、 得出结论：得出结论： 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程3.6.1理想流体运动微分方程式（欧拉理想流体运动微分方程式（欧拉方程）方程）v4、 得出结论：得出结论： （1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。 （2）适用条件： 理想流体：无粘性、无能量消耗。 可压缩、不可压缩流体

45、稳定流、不稳定流 （3）uxuyuz=0时，得Euler平衡微分方程 3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程vEuler方程三式分别乘以流线上两点坐标增量dx、dy、dz，相加后得： dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(稳定流（条件之一）稳定流（条件之一）0tp0tu3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程0tututuzyx3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程沿流线积分（条件之二）沿流线积分（条件之二） dtdxuxdtdyuydtdzuz

46、 稳定流动时，流线与迹稳定流动时，流线与迹线重合线重合 )(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyx3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程沿流线积分（条件之二）沿流线积分（条件之二） )(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyxdpdzzpdyypdxxp压力只是坐标的函压力只是坐标的函数数 )(211)(2uddpdzfdyfdxfzyx设作用在流体上的质量力只有重力（条件之三）设作用在流体上的质量力只有重力（条件之三） 3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的

47、伯努里方程0yxffgfz)(211)(2uddpdzfdyfdxfzyx0)(2112uddpgdz不可压缩流体（条件之四）不可压缩流体（条件之四）3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程Const0)(2112uddpgdz积分积分22Cupgz不可压缩流体（条件之四）不可压缩流体（条件之四）3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程22CupgzCgupz22gupzgupz2222222111理想流体沿流线的理想流体沿流线的伯努利方程伯努利方程 3.6.2 理想流体微小流束的伯努里方程理想流体微小流束的伯努里方程gupzgupz22

48、22222111适用条件：理想不可压缩，质量力只有重力，沿适用条件：理想不可压缩，质量力只有重力，沿稳定流的流线或微小流束。稳定流的流线或微小流束。 3.6.3 理想流体一维稳定流动能量方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义3.6.3 理想流体一维稳定流动能量方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义v【物理意义】【物理意义】Z单位重量流体流经给定点时所具有的位势能，称为比位能。 单位重量流体流经给定点时所具有的压力势能，称为比压能。 单位重量流体流经给定点所具有的动能，称为比动能。gpgu223.6.3 理想流体一维稳定流动能量

49、方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义v【物理意义】【物理意义】 单位重量流体的总势能，称为比势能。 单位重量流体的总机械能，称为总比能。gpzgugpz223.6.3 理想流体一维稳定流动能量方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义v【几何意义】【几何意义】3.6.3 理想流体一维稳定流动能量方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义v【几何意义】【几何意义】Z微小流束上任意过水断面的中心处流体质点距离基准面的高度，称为位置水头位置水头。曲线AB流束的中心轴线，称为位置水头线位置水头线。 压强高度

50、，称为压强水头压强水头。 曲线CD测压管水头线测压管水头线。 所研究的流体质点在z位置时，以速度u铅直向上喷射到空气中时所达到的高度（不计空气阻力），称为速度水头速度水头。 gpgu223.6.3 理想流体一维稳定流动能量方理想流体一维稳定流动能量方程的物理意义和几何意义程的物理意义和几何意义v【几何意义】【几何意义】直线EF是根据某一流线上（或微小流速过水端面上）各点的Z、和 加在一起形成的，它是水平的，称为理想流体的总水头线总水头线。v理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头

51、之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。gpgu22gupzH223.6.4 理想流体相对运动的伯努里方程理想流体相对运动的伯努里方程3.6.4 理想流体相对运动的伯努里方程理想流体相对运动的伯努里方程v质量力 :gfyfxfzyx,22gdzydyxdxdzfdyfdxfzyx22)(211)(2uddpdzfdyfdxfzyx0)(211222ddpgdzydyxdx3.6.4 理想流体相对运动的伯努里方程理想流体相对运动的伯努里方程0)(211222ddpgdzydyxdx0)(211)(22222ddpgdzdydx积分积分Cpgzr22222Cgpzgr2222

52、23.6.4 理想流体相对运动的伯努里方程理想流体相对运动的伯努里方程v对同一流线或同一微小流束上的任意两点1、2，上式可写成：Cpgzr22222Cgpzgr22222gpzgrgpzgr222222222222211121213.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化【内容提要】【内容提要】v本节主要研究沿流线主法线方向的压强和速本节主要研究沿流线主法线方向的压强和速度变化规律度变化规律3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化【主要内容】【主要内容】v1、 流体沿流线主法线方向速度变化规律流体沿流线主法线方向速度变化规律v2、流

53、体沿流线主法线方向压强变化规律、流体沿流线主法线方向压强变化规律v3、 均匀流断面上压强分布规律均匀流断面上压强分布规律3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化 在稳定流动中，在流线上M点处选一微小圆柱体为控制体，使柱轴与M点处流线的主法线相重合，柱体的两个端面与柱轴相垂直，面积为A，柱体长为r，M点曲率半径为r。作用于微小控制体上沿r方向的力只有两端压强和单位质量流体的质量力在r方向上的分力fr。 3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化应用牛顿第二定律：rrmaF rurArfAAppApr2)(rzgfr作用在流体上的质量作

54、用在流体上的质量力只有重力力只有重力 grugpzr2)(3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化伯努里常数对所有流线具有同一值伯努里常数对所有流线具有同一值的条件下，伯努里常数沿的条件下，伯努里常数沿r r方向不变方向不变 0)2(2upgzrruguruggpzr221)(3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化grugpzr2)(ruguruggpzr221)(0ruru积分积分rCu 3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化 结论结论：在弯曲流线的主法线上，速度随距曲率中心的距离的减小而增大

55、，因此，在弯曲管道中，内侧的速度大，外侧的速度小。rCu 3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化grugpzr2)(流线位于水平面上，或者流线位于水平面上，或者重力变化的影响重力变化的影响 rurp2rCu 2212rCCp3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化2212rCCp结论结论：在弯曲流线主法线方向上压强随距曲率中心的距离的增大而增加，所以在弯曲管道的流动中，内侧压强小，外侧压强大。3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化3.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速

56、度变化grugpzr2)(流线为相互平行的直线的流动，流线为相互平行的直线的流动，即即 r0)(gpzrgpzgpz22113.7 沿流线主法线方向的压力和速度变化沿流线主法线方向的压力和速度变化结论：结论：当流线为相互平行的直线时，沿垂直于流线方向的压强分布具有与流体静压强分布相同规律。即流动为均匀流或渐变流或缓变流时，过流断面上压强分布服从于流体静力学基本方程。gpzgpz22113.8 粘性流体总流的伯努里方程粘性流体总流的伯努里方程【内容提要】【内容提要】 本节主要研究实际流体总流的伯努利本节主要研究实际流体总流的伯努利（Bernoulli）方程。）方程。3.8 粘性流体总流的伯努里方

57、程粘性流体总流的伯努里方程【主要内容】【主要内容】v1、 实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程 v2、 缓变流断面缓变流断面 v3、 动能修正系数动能修正系数 v4、 实际流体总流的伯努利方程的应用实际流体总流的伯努利方程的应用 v5、 水头线与水力坡降（伯努利方程的几何水头线与水力坡降（伯努利方程的几何表示）表示） 3.8.1 粘性流体微元流束的伯努里方程粘性流体微元流束的伯努里方程Cgupz22适用条件：适用条件：（1 1）仅适用于理想流体，而不适用于实际流体；）仅适用于理想流体，而不适用于实际流体； （2 2）仅适用于流线（微小流束），而不适用于总流。）仅适用于流线（微小流束

58、），而不适用于总流。 3.8.1 粘性流体微元流束的伯努里方程粘性流体微元流束的伯努里方程 对于实际流体而言，由于实际流体具有粘性，流动对于实际流体而言，由于实际流体具有粘性，流动时将产生局部阻力和沿程阻力，引起能量损失。因此时将产生局部阻力和沿程阻力，引起能量损失。因此实际流体流动时，沿流线方向总比能将逐渐减小。实际流体流动时，沿流线方向总比能将逐渐减小。 21ee 流线上沿流动方流线上沿流动方向的两点向的两点1 1、2 2 gupzgupz22222221113.8.1 粘性流体微元流束的伯努里方程粘性流体微元流束的伯努里方程gupzgupz2222222111设是设是 1 1、2 2两点

59、间单位重量流两点间单位重量流体的能量损失体的能量损失 21wh212222211122whgupzgupz实际流体沿流线实际流体沿流线（微小流束）的伯（微小流束）的伯努利方程式努利方程式 3.8.2 粘性流体总流的伯努里方程粘性流体总流的伯努里方程 1 1【推到思路】【推到思路】因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。因此， 用v代替 中的u ，使实际流体沿流线（微小流束）的伯努利方程式适用于总流； 实际流体有粘性，存在能量损耗2121wwhh212222211122whgupzgupz3.8.2 粘性流体总流的伯

60、努里方程粘性流体总流的伯努里方程单位重量流体总比能单位重量流体总比能 :单位时间在微小流束有效断面上通过流体重量单位时间在微小流束有效断面上通过流体重量: 单位时间在微小流束有效断面上通过流体的总能量单位时间在微小流束有效断面上通过流体的总能量: gupze22udAdGudAgupzdGedE)2(23.8.2 粘性流体总流的伯努里方程粘性流体总流的伯努里方程单位时间在微小流束有效断面上通过流体的总能量单位时间在微小流束有效断面上通过流体的总能量: 单位时间通过总流有效断面流体总能量单位时间通过总流有效断面流体总能量: udAgupzdGedE)2(2AAudAgupzdEE)2(23.8.