上海工程大高等学(下)期中复习解答

1、prbj a 1.1. 已知已知求求(1) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1, 3,2),a (2, 1,1)b (0, 2,1)c (2) pr().cj ab 解解prba bj ab 1 2( 3) ( 1)2 177 664116 （2）()13235211ijkabijk ()1 03 ( 2)5 11pr()0415cabcj abc . 2 2 求求点点p(3,1,-1)p(3,1,-1)却却到到平平面面3x+y+z-20=03x+y+z-20=0的的距距离离。解解23 31120111111311d 1113.l123yzx直直线线：与与2210l320 xyxz

2、：的的的位置关系是（的位置关系是（ c ）a. 平行但不重合；平行但不重合；b. 相交；相交；c. 重合；重合；d. 异面直线异面直线.111l123yzx：的的方方向向向向量量解解1( 1,2,3)s 2210l320 xyxz ：的的方方向向向向量量2(2,1,0)3 0 1 =s （ ， ， ）（1 1，-2,-3)-2,-3)1212/ /ssss与与 对对应应坐坐标标成成比比例例，12/ /ll所所以以12l1 -1 -1)l又又上上点点（ ， 在在上上，所所以以两两直直线线重重合合。32104.l,21030 xyzxyz 设设直直线线 ：:4220,xyz 平平面面lc )则则直

3、直线线 （.b.a平平行行于于 ；在在 上上；c.d.垂垂直直于于 ；与与 斜斜交交。解解l(1,3,2) (2, 1, 10)( 28,14, 7)s 直直线线 的的方方向向向向量量(4, 2,1)n 平平面面 的的法法向向量量sn与与 对对应应坐坐标标成成比比例例，两两向向量量平平行行，所以直线与平面垂直。所以直线与平面垂直。105.l10 xyzxyz 求求直直线线 ：:+0 x yz 在在平平面面上上的的投投影影直直线线方方程程。解解直线直线l的平面束方程的平面束方程 110 xyzxyz 11110 xyz 过过l与已知平面垂直的平面：与已知平面垂直的平面：法向量法向量 1,1, 1

4、n 已知平面法向量已知平面法向量 01,1,1n 00n n 1110, 1, 2220yz所所求求直直线线方方程程10+0yzx yz 116.l111xyz 求求直直线线 ：:210 xyz 在在平平面面上上的的投投影影直直线线方方程程。直线直线l的平面束方程的平面束方程: 110 xyyz 110 xyz过过l与已知平面垂直的平面：与已知平面垂直的平面：法向量法向量 1,1,n 已知平面法向量已知平面法向量00n n 1120, 2, 3230 xyz所所求求直直线线方方程程3230210 xyzxyz 解解10l10 xyyz 直直线线 ： 01, 1,2n 7.写写出出下下列列曲曲线

5、线绕绕指指定定轴轴旋旋转转所所生生成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程25zoxzxx 面面上上的的抛抛物物线线绕绕 轴轴旋旋转转。8. 说说明明下下列列曲曲面面是是怎怎样样形形成成的的2221.949xyz解解22xyz绕绕 轴轴旋旋转转, ,将将原原曲曲线线方方程程中中x x不不变变，z z改改写写成成 225yzxx绕绕 轴轴旋旋转转。解解2221194yxz曲曲面面方方程程 （）221194yxy曲曲面面可可以以看看成成 xoy xoy平平面面上上曲曲线线绕绕轴轴旋旋转转一一周周而而成成。9. 填填空空：041limln(1)();xyxyxy 0000(11)(11)(11)limlim

6、sinsin11xxyyxyxyxyxyxyxyln(1)(0,4xyxyxy 当当时时）解解0004441limln(1)=limlim2xxxyyyxyxyyxyxy2222211cos()()(0,12xyxyxy 当当时时）解解解解22222222000222111()()2limlimlim011cos()()()2xxxyyyxyxyxyxyxyxyxyxy 0011limsin211xyxyxyxy 10. 填填空空：21)arctan()2cos ,_;zxyxydz则则12),(ln )()xxxzydzyy dxxydy 则则13)sin(ln )cos(ln )(cos(

7、ln )zxydzxy dxxydyy则则2224) zxyz则则解解2141()zyxxxy 21sin1()zxyyxy 22(4 )(sin )1()1()yxdzx dxy dyxyxy1)222222222xyzdzdxdydzxyzxyzxyz000011.( , )p,)( , )pzf x yxyf x y 函函数数在在点点 ( (可可微微，是是z=z=在在处处b两两个个一一阶阶偏偏导导数数存存在在的的（）a.b.必必要要条条件件；充充分分条条件件；c.d.充充要要条条件件；既既非非充充分分条条件件也也非非必必要要条条件件。000012.( , )p,)( , )pzf x y

8、xyf x y 函函数数在在点点 ( (偏偏导导数数存存在在，是是z=z=在在处处d连连续续的的（）a.b.必必要要条条件件；充充分分条条件件；c.d.充充要要条条件件；既既非非充充分分条条件件也也非非必必要要条条件件。222231413.3 2 18xyzxyz 求求曲曲线线在在点点（ ， ， ）处处的的切切线线和和法法平平面面方方程程。解解22223148xyzxxyz 将将每每一一个个方方程程两两边边对对 求求导导：22220(1)1230(2)yzxyzxxyzyzxx 0p 3 2 1将将 （ ， ， ）代代入入（1 1）和和（2 2）：0000pppp6420(3)1430(4)y

9、zxxyzxx 00pp=5=4zyxx ， 1, 4,5s 所所求求切切线线的的方方向向向向量量所所求求切切线线的的方方程程321145xyz 所所求求法法平平面面方方程程 342 +51 =0 xyz214.( , )sin1 0(1,1)xyf x yx yeyl 求求在在点点（ ， ）处处沿沿的的方方向向导导数数，并并指指出出函函数数在在该该点点沿沿什什么么方方向向函函数数值值增增加加最最快快？沿沿什什么么方方向向函函数数值值减减少少最最快快？解解2sinxyfxyyyex 2sincosxyxyfxxyeyey (1,0)0fx (1,0)1fey 011(,)22l 11cos,

10、cos22(1,0)1110(1)(1)222feel (1,0)(0,1)gradfe(1,0)(0,1)grad fe函函数数在在该该点点沿沿梯梯度度方方向向，即即，函函数数值值增增加加最最快快(1,0)(0, 1)grad fe 沿沿，函函 数数 值值 减减 少少 最最 快快15.1 0(1, 1,1)zxyel 求求u u在在点点p p（1,1,， ）处处沿沿的的方方向向导导数数，并并指指出出函函数数在在该该点点沿沿什什么么方方向向函函数数值值增增加加最最快快？沿沿什什么么方方向向函函数数值值减减少少最最快快？解解uyx uxy (1,1,0)1ux (1,1,0)1uy 0111(,

11、)333l 111cos, cos,cos333 (1,0)111311 ( 1)13333fl zuez (1,1,0)1uz (1,1,0)(1,1,1)gradu (1,1,0)(1,1,1)gradu 函函数数在在该该点点沿沿梯梯度度方方向向，即即，函函数数值值增增加加最最快快; ;(1,1,0)( 1, 1, 1)gradu 沿沿，函函 数数 值值 减减 少少 最最 快快 . .16.求求下下列列函函数数的的极极值值221( , )(2 );yf x yeyxx）22( , )(2).xyf x yexy 2 2）解解1)2( , )(22)0yxfx yex22222( , )2(

12、2 )(2421)0yyyyfx yeyxxeexxy112xy 驻驻点点：2( , )2yxxfx ye 22( , )2(2422)yyyfx yexxy2( , )(44)yxyfx yex1)2在在驻驻点点(-1,(-1,处处：1a=( 1, )22xxfe1( 1, )02xybf1( 1, )22yycfe240acbe11)1,222ef 所所以以驻驻点点(-1,(-1,是是极极小小值值点点，极极小小值值a=20e 解解2)2222( , )(2)2(22)0 xyxyxyxfx yexyxeexxy1100 xy 驻驻点点：22( , )(2).xyf x yexy 2 2）2

13、222( , )(2)4(42)0 xyxyxyyfx yexyyeexyy 2242xy 22( , )(22)(22)xyxyxxfx yexxyex22(422)xyexxy 22( , )(42)(44 )xyxyyyfx yexyyey 22(824)xyexyy 2222( , )(22)4(224 )xyxyxyxyfx yexxyyeexxyy )在在驻驻点点(0,0(0,0 处处：a=(0,0)2xxf (0,0)0 xybf(0,0)4yycf 280acb 2)4,-28fe 所所以以驻驻点点(-4,-2(-4,-2 是是极极大大值值点点，极极大大值值)驻驻点点(0,0(

14、0,0 是是非非极极值值点点)驻驻点点(-4,-2(-4,-2 ：2a=( 4, 2)6xxfe 2( 4, 2)8xybfe 2( 4, 2)12yycfe 2480acbe 2a=60e 17.(,)0,y zfzx yzx 方方程程确确定定 是是的的函函数数，其其中中( , )0,vfu v zzxyzxy求求证证：证证明明 , ,(,)y zf x y zfzx xzfzxf 2222, ,(,)(,)xy zzzy zfx y zffzxxxzx 1111, ,(,)(,)yy zy zfx y zffzxzzzx 12122211, ,(,) ()(,)()(,)(,)zy zyy

15、 zyy zy zfx y zffffzxzzxxzzxxzx yzfzyf xyzxfyfzzxyzxyf2222218.1( ln(sin()3)_;xyxxyd 填填空空：（ ） 21019.,yydyfx y dx交交换换二二次次积积分分的的次次序序。22222( ln(sin()3)xyxxyd 22222222ln(sin()303 2xyxyxxydd2: 01,dyyxy解解xd将将 改改成成 型型区区域域：201,xxyx 221100,=,yxyxdyfx y dxdxfx y dy所所以以20. 计计算算二二重重积积分分：22()xydedxdy 22d4xyyxx其其中

16、中 由由与与和和 正正半半轴轴所所围围成成。解解 ：: 0, 024dr dxdydrdrd 22222()440018xyrrddedxdyerdrdderdre 21.( , , )f x y z dxdydz 将将三三重重积积分分化化为为三三次次积积分分，其其中中是是以以 0,0,01,0,00 2 00 0 3点点、 ， ， 、 ， ， 为为顶顶点点的的四四面面体体。解解 ： 1,0,00 2 00 0 3过过、 ， ， 、 ， ， 的的平平面面方方程程：123yzx3332zyx四四面面体体在在xoyxoy平平面面上上的的投投影影：d: 01, 022xyxyx 3:,0332xyx

17、 ydzyx 12 23332000( , , ), ,xyxf x y z dxdydzdxdyfx y z dz 2222.,ixyd 计计算算其其中中为为由由平平面面曲曲线线220yzx z绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得曲曲面面与与z=2z=2所所围围成成。解解 ： 旋转曲面方程旋转曲面方程222zxy22d:4xyxoyxy 在在平平面面上上投投影影 22:,22xyxyx ydz 用柱坐标表示：用柱坐标表示：2: 02 ,02,22rrz 22222223002rixydr rdrd dzdr drdz 2230162223rrdr 2223.xoyxyax计计算算以以平平面面上

18、上的的圆圆周周围围成成的的闭闭区区域域为为底底，22zxy而而以以曲曲面面为为顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体体体积积。解解 ：vdv 222d: ()24xyaaxoyxy 在在平平面面上上投投影影 22:, 0 xyx ydzxy 用柱坐标表示：用柱坐标表示：2:,0cos, 022razr24coscos34222000222cos4araavdvdrdrdzdr drd 442021313cos4242232ad 12132124ll1121120 xzxyzy 求求两两直直线线：与与：公公垂垂线线的的方方程程及及它它们们的的距距离离。解解 ：11:23xtlyzt 222:1xtlytzt 1111p1 23ltt设设上上任任一一点点 （， ，），22222p2lttt 上上任任一一点点 （2 2， +1+1， ）， 22212122122313dp pttttt 222121221212,2313( ,)l t ttttttt tr121212(23)2(3)0lttttt 1221224(23)212(3)0ltt