第十一章全等三角形教材分析

1、第十一章全等三角形教案第十一章“全等三角形”简介 一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图： 本章的学习目标如下： 1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2、探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明格式 ；3、了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。 二、本章编写特点 （一）注重探索结论 探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等； 探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等； 探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否

2、一定全等；探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等； 探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等； 探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。 （二）注重推理能力的培养 1、注意减缓坡度，循序渐进。 2、在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。 3、注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。 （三）注重联系实际 三、几个值得关注的问题 （一）关于内容之间

3、的联系 （二）关于证明 “全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：13.1全等三角形1课时 13.2三角形全等的条件5课时13.3角的平分线的性质2课时 数学活动 小结2课时人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。11.1全等三角形教学目标：1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等。2.知道全等三角形的有关概念，能正确找出对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边、对应角

4、相等的性质。3.运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。4.让学生了解并体会图形变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。重难点：全等三角形的有关概念和性质是重点；理解全等三角形的边、角间对应关系是难点。教学过程：一、情景引入同一张底片洗出的照片观察：两个全等三角形、四边形、五边形、六边形。思考：每组的两个图形有什么特点?能够完全重合的两个图形叫做全等形。议一议(1) 你还能说出生活中全等图形的例子吗?(2) 如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？全等图形的特征( 1 )( 2 )全等图形的形状和大小都相同观察下面两组图形，它们是不是全等图形？能够完全重合的两个三角形,叫全

5、等三角形.记作:ABCDEF读作 :ABC全等于DEFABCDEF互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角.全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。旋转：两个三角形的关系：AOCBOD DC0ABSOTMN1.对应边是：OA与OB ，OC与OD，AC与BD2.AOC的对应角是BOD，A的对应角是B翻转： 两个三角形关系：ABDABCAD的对应边是AC；AB的对应边是AB DAB的对应角是CAB若已知ABCDEF，则对应边有：AB与DE,BC与EF,AC与DF;对应角有A与D，B与E，C与F;思考1：请同学们认真想一想:全等三角形的对应边与对应角之间有什么

6、关系?DACB1、若AOCBOD，对应边是 ，对应角是 ；ABOCD2、若ABDACD，对应边是 ，对应角是 ；3、若ABCCDA,对应边是 ，对应角是 ；A BCD从以上你能总结出找全等三角形的对应边,对应角的规律吗?找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角1、 ABE ACF对应角是： A和A、 ABE和ACF、 AEB和AFC；对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、 BCE CBF对应角是： BCE和 CBF、 BEC和CFB、 CBE和 BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、 BOF COE随堂练习1：BDAFC1、全等用符号 表示，读作： 。 2、若

7、 BCE CBF，则CBE= , BEC= ,BE= , CE= . 3、判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ ） 4）周长相等的三角形是全等三角形。 （ ）随堂练习2：如图:ABCDBF,找出图中的对应边,对应角.答:B的对应角是( ) C的对应角是( ) BAC的对应角是( )AB的对应边是( )AC的对应边是( )BC的对应边是( )复习小结：1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？全等三角形的概念、性质、表示方法、对应写法等、找全等三角形对应边、对应角的方法（1）有公共边的，公

8、共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；板书设计：课后反思： 11.2三角形全等的条件（1）教学目标：1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作归纳获得数学结论的过程。2. 掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性。3. 通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神。ABCABC教学重难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件是重点。三角形全等条件的探索过程是那么点。教学过程：复习回顾：1、全等三角形的定义2、已知ABC A

9、BC问题1：其中相等的边有：（全等三角形的对应边相等）AB=A B BC=B C AC=A C 问题2：其中相等的角有：（全等三角形的对应角相等）A=A B=B C=C 两个三角形全等 三组对应边、三组对应角六个条件分别相等。问题1：若两个三角形三组对应边、三组对应角分别相等，则这两个三角形是否一定全等？两个三角形全等 三组对应边、三组对应角 六个条件分别相等。问题2：两个三角形满足六个条件中的几个条件才能确保这两个三角形全等呢？探究一 1.给定一个条件：（1）一条边 失 败 30º6cm（2）一个角 失 败2.给定两个条件：6cm30º（1）两边 失 败4cm6cm4cm

10、6cm（2）一边一角 失 败 （3）两角 失 败30º20º30º20º千万别泄气哦！俗话说：失败是成功之母！我们继续探究：探究二三边对应相等的两个三角形全等。（可以简写成“边边边”或“SSS”）给定三个条件：（1）三边 （2）两边一角 （3）一边两角 （4）三角动手画：先任意画一个ABC，再画一个ABC，使得AB=AB，BC=BC，AC=AC； 观察所得的两个三角形是否全等。想一想：我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，即三角形具有稳定性，你能解释其中的道理吗？应用举例例1：如图所示，ABC是一个钢架

11、，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架。ABCD求证：ABDACD。证明：D是BC的中点BD=CD在ABD和ACD中AB=AC BD=CD AD=ADABDACD（SSS）像上述判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。证明两个三角形全等的书写格式：（1）准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；（2）写出在哪两个三角形中；AB=DCBC=ADAC=AC ABCCDA(SSS)在ABC和CDA中（3）摆出三个条件用括号括起来； （4）写出全等结论。SSS公理的书写方式DABC思考ACEFDB已知如图所示，AC=FE，BC=DE，AD=FB，要用“边边边”证明ABCFDE，需要那

12、些条件？如何证明？ACEFDB练一练 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线。为什么？变式：如图是用图规与直尺画已知角的平分线的示意图，ABDC 作法如下：（1）以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C（2）分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧， 两弧交于点D；（3）画射线AD。AD就是BAC的平分线。你能说明该画法正确的理由例2：如图，AD=BC，AC=BD，ABCD 求证（1）DAB= CBA （2）ACD= BDCABCDEF例

13、3：如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF， 求证：AEDF小结：经过本节课的学习，你有哪些收获？课外练习：已知三角形三条边分别是4cm，5cm，7cm，画出这个三角形板书设计：课后反思：11.2三角形全等的条件（2）教学目标：1. 经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能力。2. 在探索三角形全等条件极其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理论证。3. 通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神。A教学重难点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等是重点；指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件是难点。教学过程：创设情景：因铺设电线的需要，

14、要在池塘两侧A、B处各埋设一根B电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？知识回顾：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）用 数学语言表述：ABC在ABC和 DEF中AB=DEED BC=EF CA=FD ABC DEF（SSS）探究1对于三个角对应相等的两个三角形全等吗？如图， ABC和ADE中，如果 DEAB，则A=A，B=ADE，C= AED，但ABC和ADE不重合，所以不全等。三个角对应相等的两个三角形不一定全等探究2做一做：画ABC,使AB=3cm，AC=4cm。这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行

15、比较，它们互相重合吗？若再加一个条件，使A=45°，画出ABC画法：1. 画MAN= 45° 2. 在射线AM上截取AB= 3cm3. 在射线AN上截取AC=4cm 4.连接BCABC就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？问：如图ABC和 DEF 中，AB=DE=3 ， B= E=300 ， BC=EF=5 35300ABC 则它们完全重合？即ABC DEF ？35300DEF三角形全等判定方法1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”DEFABC用符号语言描述为：在ABC与DEF中AB=DE

16、B=EBC=EFABCDEF（SAS）练一练：分别找出各题中的全等三角形DCABAB40° C40° DEF(1) (2)ABCEFD 根据“SAS” ADCCBA 根据“SAS”ABCD例1已知：如图， AB=CB ， ABD= CBD ABD 和 CBD 全等吗？分析: ABD CBD边: AB=CB(已知)角: ABD= CBD(已知)边:？ABCDO例题推广：现在例1的已知条件不改变,而问题改变成:问AD=CD，BD平分ADC吗？ 练习 (2) 已知:AD=CD， BD 平分 ADC 。 问A= C 吗？补充题：ABCD例1 如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC

17、，OB=OD，说明AOBCOD的理由。例2如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。探究新知：因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。AC=DC  ACB=DC

18、EEFDH BC=EC ACBDCEAB=DE小明做了一个如图所示的风筝，其中EDH=FDH, ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流。EDHFDH 根据“SAS”，所以EH=FH探究2以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手画一画，ABC3.5cm40°2.5cm你发现了什么？DE3.5cm2.5cmF40°结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等猜一猜：BACD是不是二条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？你能举例说明吗？如图ABC与A

19、BD中，AB=AB，AC=BD， B=B他们全等吗？注：这个角一定要是这两边所夹的角课堂小结:1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三角形3、会判定三角形全等作业板书设计：课后反思：11.2三角形全等的条件（3）教学目标：1. 探索并掌握两个三角形全等的条件“ASA”“AAS”，并应用之判别两个三角形是否全等。2. 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维。3. 敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难。

20、教学重难点：理解、掌握三角形全等的条件“ASA”“AAS”是重点；探究“ASA”“AAS”以及应用是难点。教学过程：复习：1.什么是全等三角形？2.判定两个三角形全等要具备什么条件? 边边边：三边对应相等的两个三角形全等。边角边：有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。创设情景,实例引入一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？探究1先任意画出一个ABC，再画一个A/B/C/，使A/B/=AB，A/ =A， B/ =B 。把画好的A/B/C/剪下，放到ABC上，它们全等吗？已知：任意 ABC，画一个 A/B/C/，使A/B/A

21、B， A/ =A，B/ =B ：画法：1、画A/B/AB；2、在 A/B/的同旁画DA/ B/ =A ， EB/A/ =B， A/ D，B/E交于点C/。A/B/C/就是所要画的三角形。问：通过实验可以发现什么事实？探究反映的规律是：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。用数学符号表示在ABC和DEF中A=D （已知 ） AB=DF（已知 ）B=F（已知 ABEACD（ASA）1342例题讲解：例1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C。求证： ABEACD例2.如图，1=2，3=4 求证：AC=AD探究2在ABC和D

22、EF中，A=D， B=E ，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？DEFABC有两角和它们中一角所对的边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。证明：在ABE和ACD中A=A （已知 ） B=C（已知 ）AE=AD（已知 ） ABEACD（AAS）练习：1.如图，应填什么就有 ADC BOD12A=B（已知） （已知） C=D （已知）ADCBOD（ ）2.已知，如图，1=2，C=D 求证：AC=AD证明：在ABD和ABC中1=2 （已知）D=C（已知） AB=AB（公共边）ABDABC （AAS）AC=AD （全等三角形对应边相等）课堂小结：（1

23、）学习了角边角、角角边 （2）注意角角边、角边角中两角与边的区别。（3）会根据已知两角一边画三角形 （4）进一步学会用推理证明。布置作业：板书设计：课后反思：11.2三角形全等的条件（4）教学目标：1. 探索出直角三角形全等的条件HL并掌握，能进行简单证明。2. 经历作图、比较、证明等探究过程，提高归纳、表达、逻辑推理能力。3. 通过探究交流，解决问题，获得成功体验，进一步激发学生探究的积极性。教学重难点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法HL是重点；熟练选择判定方法判定两个直角三角形全等是难点。教学过程：回顾与思考：1、判定两个三角形全等方法， SSS ， SAS ， ASA ， AAS。

24、2、如图，Rt ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜边 AB 。ABCDEFABC3、如图，AB BE于B，DE BE于E，（1）若 A= D，AB=DE，则 ABC与 DEF 全等 （填“全等”或“不全等”）根据 HL （用简写法）情景引入：如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)做一做：已知线段a、c(ac)和一个直角，利用尺规作一个RtABC,使C= ，CB=a

25、，AB=c.a c 想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：  作MCN=90°CMNCMN  在射线CM上截取线段CB=a;B  以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;CMNBA  连接ABCMNBA ABC就是所求作的三角形吗？ 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”.想一想你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有

26、直角三角形特殊的判定方法“HL”.CDAB练一练：1 如图，AC=AD，C，D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？解：在RtACB和RtADB中,则AB=AB, AC=AD RtACBRtADB (HL).BC=BD(全等三角形对应边相等).2. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD 因为ADB=ADC=90° AB=AC AD=AD所以RtABDRtACD(HL)所以BD=CD议一议：3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度D

27、F相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？ABC+DFE=90°.解：在RtABC和RtDEF中,则BC=EF, AC=DF . RtABCRtDEF (HL).ABC=DEF(全等三角形对应角相等). DEF+DFE=90°,ABC+DFE=90°.小结：这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流作业：板书设计：课后反思：11.3角的平分线的性质（1）教学目标：1. 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。2. 能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定。3. 会用尺规作已知角的平分线。4. 能对角平分线性质进行简单的推理，

28、解决一些实际问题。教学重难点：角平分线的画法、性质和判定是重点；运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题。教学过程：试一试你能获得成功! DCBEA1、如右图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC，将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线:(1)利用平分角的仪器,画出图中各角的角平分线.(2)为什么 AE一定是A的角平分线,你能说明它的道理吗?大胆地说出你的想法：证明：在ACD和ACB中 AD=AB DC=BC AC=AC ACD ACB（SSS） CAD=CAB AC是A的角平分线OMNABC如何用尺规作角平分线？动动手，你也可以做

29、到2、尺规作角的平分线画法：以为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点N分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于作射线 射线即为所求B其实你能做得更好OC3、练习(1)平分平角AOB通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线，直线与是什么关系？ (2)在(1)的基础上,作出一个45º的角.A则我们得到作一条直线垂线的方法相信自己!4、将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察O两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？由此我们得到角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等你能用三角形全等证明这个性质吗？已知：OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E求证: PD=PEAOBEDPC12证明：OC平分AOB 1=2 又PDOA,PEOBPDO=PEO=90° 在OPD和OPE中 1=2 PDO=PEO OP=OP(公共边)ACDEB12 OPDOPE(AAS) PD=PE随堂练习：1、 1= 2,DCAC, DEAB DC=DE（角平分线上的点到角的两边