7-5-1组合的基本应用（一）教师版

1、1. 使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2. 了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3. 掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等.一、组合问题日常生活中有很多“分组"问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选岀几人参加某 项活动等等.这种“分组''问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多

2、少种分组方法的 问题.一般地，从刃个不同元素中取出加个(m < h )元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元 素中取出加个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完 全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的 组合.从n个不同元素中取出m个元素(m<n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出加个不同元素的 组合数.记作c；,.一般地，求从舁个不同元素中取出的加个元素的排列数匕可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出加个元素组成一组，共有c；种方法;第

3、二步：将每一个组合中的加个元素进行全排列，共有梯”种排法.根据乘法原理，得到斗；=c:弋：因此,组人数cn,=空=m(一 d(n-2)(并一加+ d ' ""p1： 加(加d(加一2)-3-2-1这个公式就是组合数公式.二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：c;： = c：ss)这个公式的直观意义是：c：表示从n个元素中取岀加个元素组成一组的所有分组方法.c：；""表示从n个 元素中取出(n-m)个元素组成一组的所有分组方法.显然，从n个元素中选出加个元素的分组方法恰是从个 元素中选加个元素剩下的(n-m)个元素的分组方法.例如，从

4、5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即c； = c；. 规定 c；：=l , q = i.模块一、组合之计算问题【例1】计算：(1) c：, c：；c；, c；.【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答= 15, c：=写= 6x5x4x3=15 2x1马4 4x3x2xl用一用用一厅= - / 7 1 27x6=21 ,7x6x5x4x35x4x3x2xl=21【小结】注意到上面的结果中，有c； = c：, c； = c；.【答案】c：=15, c：=15(2) c； =21, c, =21【例21计算：c；幣喙醞-2%【考点】组合之基本运用【难度】1星【

5、题型】解答【解析】(1)g©叫血手二弩罟19900；cuca晋= 56； c-2ci, = cit0-2xl = -2 = -2 = 4948.【答案】19900564948 .【巩固】计算：(1) g；尬；p-cl【考点】组合之基本运用【难度】1星【解析(1) ca2xllxl() = 2201-3x2x1雄= 499500x x 7(3)用空=8x7 = 56 28 = 28.8*2x1【答案】cf2 = 220(2) cx =499500(3) 圧一&=28 【题型】解答模块二、组合之体育比赛中的数学【例3】某校举行排球单循环赛，有12个队参加.问：共需要进行多少场比赛

6、？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【解析】因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个 队的选取有关而与两个队选出的顺序无关.所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题. 由组合数公式知，共需进行空1 = 66(场)比赛.2x1【答案】c$=66【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加.问：共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答74x【解析】由组合数公式知，共需进行/严兰一仝= 276（场）比赛.2x1【答案】c：=276【例4】六个人传球，每两人之间至多传一次，那么最多共进行次传球.【考点】组

7、合之基本运用【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，7题【解析】本题是一道比赛场数计数问题，“每两个人之间至多传一次”，让6个人最多次地传球，则是5+4+3 +2+1 = 15 （次）.但要看是否可以传回去，在传递过程中两人是否重复5条线，代表传球15次， 根据一笔画问题，行不通，应减少奇数点的个数，共有6个奇数点，应该去掉两条直线，也就是去 掉4个奇数点，还剩下2个奇数点，就可以传递回来了.所以答案为5+4+3+2+1-2=13 （次）.【答案】13次【例5 一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行 78场，那么共有多少人参加循环赛

8、？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】从若干人中选出2人比赛，与选出的先后顺序无关，这是一个组合问题.依题意，假设有个人参 加循环赛，应该有c； = i5_d =78,所以 （/? d=78x2 = 13xl2,所以;? = 13,即一共有13人 2x1参加循环赛.【答案】n = l3【例6某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个 小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小 组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场 决赛，确定1至4名的名次

9、.问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】第一阶段中，每个小组內部的6个人每2人要赛一场，组内赛c= = 15场，共8个小组，有 2x115x8 = 120 场；4x3第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛c；= = 6场，共4个小组，有6x4 = 24 2x1场；第三阶段赛2 + 2 = 4场.根据加法原理，整个赛程一共有120 + 24 + 4 = 148场比赛.【答案】148【例7】有8个队参加比赛，采用如下图所示的淘汰制方式.问在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不 同的比赛安排表？再考虑组合的方法.【答案】c；=10(2)

10、p = 20【考点】组合之基本运用【解析】（法1）先选4人,8选4有c：=70种组合，其中实质不同的有一半，即70-2 = 35种;对每一边的4个人，共有实质性不同的c：+2 = 3种， 所以，可以得到35x3x3 = 315种实质不同的比赛安排表.12345678一二三四ab（法2）先考虑所有情况，再考虑重复情况首先是8! = 8x7x6x5x4x3x2xl考虑到实质相同：1、2; 3、4； 5、6; 7、8; 一、二；三、四；a、b, 以上7组均可交换，即每一种实际上重复计算了 2?次，答案为：8x27=315.【答案】315模块三、组合之数字问题【例8】从分别写有1、3、5、7、9的五张

11、卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：（1）有多少个不同的乘积？（2）有多少个不同的乘法算式？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】（1）要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少 个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式，共有=与二5x4=10（个）不同的乘积.2x1 要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有用=5x4 = 20（种）不同的乘法算式.【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、

12、0这1（）个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】相当于在10个数字选出7个划去，一共有10x9x8x7x6x5x44- （7x6x5x4x3x2xl） =10x9x8- （3x2x1） = 120 种.【答案】120【巩固】从分别写有1、2、3. 4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题, 有多少种不同的和？【考点】组合之基本运用【难度】2星【题型】解答【解析】心=纟=也= 28（种）.pf 2x1【答案】cl =28【例9有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，且每种颜色的卡片上分别标有1, 2, 3, 4, 5

13、,从这些 卡片中取出5张，要求1、2、3、4、5各一张，但四种颜色都要有，求共有种取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第14题【解析】四种颜色都有，则有两个数是同一种颜邑即可，其它三个数字和三种颜色对应。cxcjx3! = 240 种【答案】240种 【例10在1 100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出 的两个数与顺序无关，所以是组合问题.50x49从50个偶数中取出2个，有c：=

14、=1225（椚取法；2x150x49从50个奇数中取出2个，也有cf0= =1225（种）取法.2x1根据加法原理，一共有1225 + 1225 = 2450 （种）不同的取法.【小结】在本题中，对两个数的和限定了条件.不妨对这个条件进行分类，如把和为偶数分成两奇数相加或 两偶数相加.这样可以把问题简化.【答案】2450【巩固】从19、20 93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】19、20、.、93、94中有38个奇数，38个偶数，从38个数中任取2个数的方法有： c：=t = 703（种），所以选法总数有

15、：703x2 = 1406（种）.2x1【答案】1406【例11 一个盒子装有10个编号依次为1, 2, 3, 10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：（1）5奇1偶，这时对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择.由乘法原理，有lx5 = 5（种）选择：（2）3奇3偶，这时对奇数有c； = 'x4x3 = 0（种）选择，对偶数也有c3 = 5x4x3 = |（）（种）选择.由乘3x2x13x2x1法原理，有10x10 = 100（种）选择

16、；（3）1奇5偶，这时对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择.由乘法原理，有5xl=5（种）选择.由加法原理，不同的摸法有5 + 100 + 5 = 110（种）.【答案】（1）5（2）100（3）110【例12】用2个1, 2个2, 2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0, 2个1, 2个2可以组成多少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答6x5【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓，故是组合问题，有c：= 15（种） 2x14x3选法；再从剩下的4个数位上选2个放2,有 =6（种）选法；剩下的2个数位放3,只有1种 2x1选法.由乘

17、法原理，这样的六位数有15x6x1 = 90（个）.在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个.如果将3全部换成0,这30个 首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数90-30 = 60（个）.【答案】60【例13】从1, 3, 5 , 7, 9中任取三个数字，从2, 4, 6, 8中任取两个数字，组成没有重复数字的五 位数，一共可以组成多少个数？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】整个过程可以分三步完成：第一步，从1, 3, 5 , 7 , 9中任取三个数字，这是一个组合问题，有 种方法；第二步，从2, 4, 6 , 8中任取两个数字，也

18、是一个组合问题，有c：种方法；第三步， 用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有尺种方法.所以总的个数为：cxc；x/f=7200 （个）【答案】7200【例14】从（）、（）、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ （这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）.【考点】组合之基本运用【难度】1星【题型】解答【关键词】陈省身杯，五年级【解析】若三位数不含有0,有5x4x3 = 60 （个），若含有一个（），有5x4x2 = 40 （个），若含有两个0 ,有 5 （个），所以共有60 + 40 + 5 = 105 （个）.【答案】105【例15】用2个1, 2个2, 2个3可以组成多少个互不相同的六位数？用2个0, 2个1, 2个2可以组成多 少个互不相同的六位数？【考点】组合之基本运用【难度】3星【题型】解答【解析】先考虑在6个数位上选2个数位放1,这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有=15种选法；再 从剩下的4个数位上选2个放2,有c：=6种选法；剩下的2个数位放3,只有1种选法.由乘法原 理，