第3章2pp课件

1、3.6 用 dft 计算线性卷积( ),0,1,1x nnn( ),0,1,1h nnm( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk都是非周期1lnm如何用dft来实现dft有快速算法存在什么矛盾( )0,1,1x nnn( )0,1,1h nnm补零补零( )0,1,1x nnl( )0,1,1h nnldftdft( )0,1,1x kkl( )0,1,1h kkl相乘( )( )( )y kx k h kidft( )( )x nh n1lnm( )y n( )( )( )y nx nh n 没有全部进入，如何实现卷积全部进入再卷积，又如何保证实时实现长序列卷积的计

2、算：( )x n( )h n( )y n( )x n数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：( )( )( )( ) ()ky nx nh nx k h nk关键是将 分段和 卷积( )h n( )x n( ):( ):( ):1x nnh nmy nnm将 分成 段，每段长( )x nl/kn l1212( ),( ),( )( ),( ),( )1llx n x nxny ny nynkm(1)1l kmnlmlnmoverlap add method 叠接相加法overlap save method 叠接舍去法自己看书及使用matlab文件来掌握另外：

3、 较短（fir：长度在2050之间，iir: 尽管无限长，但有限长度要小于50）， 可能很长，也不适宜直接卷积。( )h n( )x n一、分辨率 分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。 频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度； 时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；3.7 与dft有关的几个问题 窗函数的“宽度”越小越好！ 窗函数的“宽度”能随信号的变化 自适应当调整！希望 频率分辨率又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。 频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。 时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。de

4、jxtxdtetxjxtjtj)(21)()()(nnjjenxex)()(1( )()2jj nx nx eedft dtft对 ft: 设 长度为 ，则 ( )tx tt()txj的分辨率1/ (hz)ft ( )d tat2t/ 2t()sin(/2)/2d jtatt 2t 主瓣宽度反比于时间长度( )( ) ( )tx tx t d t对 dtft: 设抽样间隔为 ， 则 ( )( ),0,1,1( )( ) ( )()()*()tnnjjjnx txnnnxnx n d nxex ed est/snt t()sin(/2)sin(/2)jgd en2n-0.5-0.4-0.3-0.

5、2-0.100.10.20.30.40.5-20246(a) n=6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-505101520(b) n=18主瓣宽度反比于时间长度124kn 用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出 处的两个频谱，数据长度必须满足：对矩形窗， ，其他类型的窗函数，1k 1k 这为数据长度的选择提供了依据。12, 1/4ftt 4kn“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。对dft:210210( )( )0,1,11( )( )0,1,1njnknnnjnknkx kx n eknx nx k ennnsff

6、n此为 相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出 处的两个谱峰， 必须大于 。( )x k12,ff12fff例：123123( )sin(2) sin(2) sin(2)2hz,2.02hz,2.07hz,10hz,ssssx nf n ff n ff n fffff试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。210.02hz22 0.002sfffff 在本例中，最小的由 124n有42 (0.002)1000n即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从dft的角度看若令10 10240.00976hzsffn 1024n 则下图， 分别等于256和1024，可见，

7、时无法分辨三个谱峰。256n n1.71.81.922.12.22.32.42.5050100150hz1.71.81.922.12.22.32.42.50200400600hz 由信号的最高频率 确定抽样频率 ；cfsf使用dft的步骤：n 根据分辨率的需要，确定 数据长度 ； 根据 dft 的结果，再适当调整参数。 要根据分辨率的要求确定模拟信号的长度 , 若 可以无限长，则ttdft和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。f 不变，若增加 ,nnt“计算分辨率”如何增加数据的点数nn1. 提高抽样率；2. 在数据后面补零。能提高分辨率吗/ssssnt

8、tffnnt tffnf 不能提高分辨率 不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！例：123123( )sin(2) sin(2) sin(2)2.67hz,3.75hz,6.75hz,20hz,ssssx nf n ff n ff n fffff令16n ()jx e在正频率处应该有三根谱线。 数据后补零的影响：为什么要补零？ 数据过短，补零后可起到一定的插值作用； 使数据长度为 2 的整次幂，有利于fft。051002468hz051002468hz05100246810hz05100246810hz16n （几根谱线？）补 个零（？）n补7 个零n补29 个零n三个正弦二、dft 对 ft

9、 的近似原：( )ax t频谱：()axj 抽样： 频谱：( )ax n()jaxe 截短： 频谱：( )x n 是否是 的准确抽样？( )x k()axj( )x k 只要满足抽样定理； 做 dft 时数据的长度保证所需的频率分辨 率；则 是 的极好近似。( )x k()axj为什么 不是 的准确抽样关键取决于信号时宽带宽的不定原理：( )x k()axj 2221| ( )|tetx tdt 22212|(|exd信号的时宽信号的带宽t 信号时宽带宽积12t (uncertainty principle)14tf 或： 所以，若信号是有限时宽的，那么在频域必然是无限带宽的，反之亦然。这一现

10、象也可从加窗的角度来理解，即矩形窗的频谱是无限宽的。这一现象，来自傅立叶变换的性质：ft( )x t()x j()x at1()x jaaft做 dft 时，总不可避免的取有限长，“有限长”带来了 对 的近似。( )x k()axj要求：1. 由图3.7.3，搞清（3.7.8) (3.7.14)式的含义；1()()sjataslsxexjjlt()()()jjjax exed e2( )()0,1,1jnknxkx ekn( )()0,1,1nlx kxklnkn( )( ),saat ntx nx tn ( )( ) ( ),0,1,1naxnx n d nnn( )(),0,1,1nlx

11、nxnlnnn2. 总结在导出dft的过程中，有几个“周期延 拓”？3. 理解例 3.7.4 和例 3.7.5;4. 思考：什么情况下， 是 的准 确抽样？( )x k()axj00000( )sin(2),2( )sin(2)sin()(0)0,(1)0,( )cos(2),2(0)1,(1)1,sssx tf tffx nf n fnxxx tf tffxx3.8 关于正弦信号的抽样02sff 窄带信号抽样定理：若信号 的频谱仅在 的范围内有值，我们称该信号为窄带信号。若保证 ，则可由 恢复 。lhff2()shlfff( )x n( )x t( )x t 问题的关键是由于正弦信号是一类特

12、殊的信号，特殊在它是单频率信号，带宽为零，所以要单独考虑。又：11122212( )cos(2),20hz( )cos(2),100hz( )cos(220 /80)cos(/2)( )cos(2100 /80)cos(/2)x tf tfx tf tfx nnnx nnn80hzsf 几点建议： 1. 抽样频率应为正弦频率的整数倍； 2. 抽样点数应包含整周期，数据长度 最好是2的整次幂； 3. 每个周期最好是四个点或更多； 4. 数据后不要补零。 按以上要求，对离散正弦信号做 dft 得到的频谱正好是线谱，完全等同于连续正弦信号的线谱。22121112(0,0)(0,1)(0,1)(1,0

13、)(1,1)(1,1)( ,)(1,0)(1,1)(1,1)xxxnxxxnx n nx nx nx nn3.9 二维傅立叶变换多用于图像处理：12121212121 12 212121 12 21121112121200111200111212200( ,)( ,)(,)( ,)( ,)( ,)nnnnnnnnjjjnjnnnnnn kn knnnnx z zx n nx eex n n eex k kx n n wwz z 先对行作dft，作 次，对其中间结果，再对列作变换，作 次。或反之。1n2n例：2d hamming 窗及其频谱时域窗频谱3.11 hilbert 变换1( )( )x

14、x tdt信号处理中重要的理论工具1()( )x tx td1( )( )x tx tt( )x t( )x t1t01( )()sgn()0jh th jjjt )()()(jejhjh()1h j 02/02/)()h j1()j22)( )()(tx jtxtz()()()z jx jjx j 000)(2)(jxjz令： 的解析（analytic)信号( )x t0()()0jx jjx jj ()()()x jjh jx j 解析信号 的频谱只有正频率成分！显然，若对 抽样，抽样频率可降低一倍。另外，做时频分析时，可减轻正、负频率处的交叉干扰。( )z t( )z t()x j()z

15、 j()x jdtxtxttx)( 1)( 1)(hilbert 反变换：例： 若0( )cos(2)x taf t可求出：0( )sin(2)x taf t02( )( )( )jf tz tx tjx tae正、余弦函数构成一对 hilbert 变换离散信号的离散信号的 hilbert 变换：变换：0()0jjh ejmmmnxnhnxnx) 12() 12(2)()()( 1( )()2jj nh nh eed01 ( 1)( )2nnh nnnn 为偶数为奇数hilbert 变换器的单位抽样响应如何有效的计算如何有效的计算hilbert变换？变换？step 1. 对 做 dft, 得：

16、( )x n( ),0,1x kknstep 2. 令1,2012, 2 , 1)(20)()(nnknkkxkkxkzstep 3. 对 做逆 dft, 得( )z k( )z nstep 4. 由( )idft( ( )( )x nj z kx k得)()()( nxnzjnxhilbert 变换的性质：1. 信号通过hilbert变换器后，幅度谱不发生变化；0)(2)(2)()(21)( )(0202djxjdjxjdjxjxdttxtx0)()(21)( )(dexexnxnxjjn但我们并不把hilbert变换看作是正交变换2. 信号和其hilbert变换是正交的：3. 卷积性质 1

17、122( )( )( )( )( )( )x tx tletx tx tx tx t121212:( )( )( ):( )( )( )( )ifx tx tx tthenx tx tx tx t( )x t: ( )( ),( )00let x nx nx nfor ndexexjrji)2cot()(21)()0()2cot()(21)(xdexexjijrhilbert 变换 关系实因果信号傅立叶变换的一些内部关系：实因果信号()()()jjjrix exejxe直角坐标()arg()()()()jjjjjjx ex ex eex ee 极坐标()ln()arg()jjjx ex ejx e取对数dexexjj)2cot()(ln21)(arg1ln()arg()cot()(0)22jjx ex edxhilbert 变换关系()( )jx ex n 的复倒谱( )x nspectrumcepstrum与本章有关的 matlab 文件fftfilt.m 用叠接相加法实现卷积。格式是 y=fftfilt(h,