第3导数习题课

1、1求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xyydd 关关 系系)(dddddxoyyxyyyxy 高阶导数高阶导数第三章第三章 导数导数24 4、已已知知2)2()22(lim0 hfhfh，则则 )2(f . . 1 解解hfhfh)2()22(lim0 hfhfh2)2()22(lim20 )2(2 f ,2 3解解5 5、设函数设函数)(xf可导，可导，0 a，则，则 )()(1lim0arxfarxfrr( ( ). ). (a) (a) )(2xf (b)(b)(1xfa (c)(c) )(2xfa (d) (d) 以上都不对以上都不对. . c

2、)()(1lim0arxfarxfrr)()()()(lim1)()(lim1/00hxfhxfhxfhxfahhxfhxfaharhh )(2xfa 47 7、设设)e1eln(2xxy , , 求求y . . 解解)e12e2e (e1e1222xxxxxy .e1e2xx 5p105.三、三、4.解解.,e1elnearctan22yyxxx 求求化简：化简：xxxxy222e1e1e1e .e11e2xx )e1ln(221earctan)e1ln(eln21earctane1eln21earctan22222xxxxxxxxxy )e1ln(21earctan2xxx 6.,)(si

3、ncosyxxyx 求求解解 yyxxxxxsincossinlnsin12 xxxxxyxsinlncosln)(sinlnlncos )sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxyx p105.三、三、9.7).(,)1(lim)(tfxtttxxtf 求求解解p105.三、三、13.txxxtttf)1(lim)( txxxtt)1(lim2t2ett )e()(2 tttftttt2ee22 .)e21(22tt 88 8、设设函函数数)(xf在在 11， 上上连连续续，xxfxg2sin)()( ，求求)0(g . . 解解0)0()(lim)0(0 xgxgg

4、x用定义做，用定义做，xxxfx20sin)(lim xxfx20lim)0( .0 9求求双双曲曲线线 2axy 上上任任一一点点处处的的切切线线与与两两坐坐标标轴轴构构成成的的三三角角形形的的面面积积. . 2 2、解解设设曲曲线线2axy 上上任任一一点点为为),(00yx， 则则 200ayx ， 切切线线方方程程为为 )(020202xxxaxay ， 它它在在两两坐坐标标轴轴上上的的截截距距的的绝绝对对值值分分别别为为|2|0 x和和022xa， 于是构成的三角形的面积为于是构成的三角形的面积为 .222212020axaxs 10设设)(xyy 是是由由方方程程 yxxy e所所

5、确确定定的的隐隐函函数数, ,求求: :)0(),0(yy . . 解解例例方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 (1) 1e)(，yyxyxy ,1)0( y而而.0)0( y(1)(1)式两边再关于式两边再关于x求导：求导： ，yyxyyxyxyxy )2(e)(e2代代入入，将将0)0(,1)0( yy.1)0( y得得11可可导导可可微微。 微分的定义微分的定义:，)( xoxay xxfyd)(d 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()()()(000 xxxfxfxf )(0 xx 常用近似公式常用近似公式)(很很小小时时x;1e)1(xx )()0()0()(

6、很很小小时时，特特别别xxffxf ;)(sin)4(为为弧弧度度xxx .tan)5(xx ；xx )1ln()3(;1)1()2(xx .211cos)6(2xx 12解解设设)1ln(122xxxxy ，求求yd. . 22221111xxxxy ，212x .d12d 2xxy p105.三、三、10.13解解求求02. 1arctan的的近近似似值值. . )()()()(000 xxxfxfxf 利用近似计算公式利用近似计算公式，有有)1(1111arctanarctan2 xx)(0 xx .7954. 002. 021402. 1arctan 所所以以p105.三、三、14.1

7、4内容提要内容提要一、一、导数定义导数定义 )(xfy 在在ax 处处可可导导 )(),(afaf 存存在在且且相相等等； 第一种形式：第一种形式：axafxfafax )()(lim)(第二种形式：第二种形式：xafxafafx )()(lim)(0关系：关系：可导可导连续，反之不然；连续，反之不然； 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率.15xxxxxxxctansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(l

8、ogln)( xxxx1)(lne)e( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cotarc(11)(arccosxxxx 16求导的四则运算法则求导的四则运算法则设设)(xuu , ,)(xvv 可可导导, ,则则vu , ,uv, ,vu均均可可导导, ,且且有有 .)()1(vuvu .)()2(vuvuuv .)()3(2vvuvuvu . )()()2(是是常常数数cuccu 复合函数的求导法则复合函数的求导法则的导数为的导数为)(xfy )()()(xufxy 隐函数求导法；隐函数求导法；对数求导法；对数求导法；17高阶导数；高阶导数；常用常用n阶导数公式

9、阶导数公式:)2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx18导数在经济分析方面的应用导数在经济分析方面的应用: :边际函数边际函数: : 即导数；如边际成本，边际收益等。即导数；如边际成本，边际收益等。yyxxy ee弹性函数：弹性函数：19典型例题典型例题例例1 1设设 1 , 1 , )(2xbaxxxxf处处处处可可导导，求求a, , b的的值值. .

10、 )(xf在在1 x处处连连续续， 而而)(xf在在1 x处处可可导导, , 解解，ba 1 ，ab 1 1)1()(lim)1(1 xfxffx11lim21 xxx，2 11lim1 xbaxx1)1()(lim)1(1 xfxffx1lim1 xaaxx,a ，2 a.1 b于于是是20设设 0 , 00 , 1sin)(2xxxxxf，求，求)0(f . . 解解0)0()(lim)0(0 xfxffxxxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 .0 有界变量乘有界变量乘以无穷小以无穷小例例2 221).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设0)0()(li

11、m)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 解解例例3 3xxxxxx)100()2)(1(lim0 22解解例例4 4设设)(xf是是可可导导函函数数, ,则则 xxfxxfx)()(lim220（ ）. . （a a） 2)(xf （b b）)(2xf （c c）)()(2xfxf （d d）不不存存在在 xxfxxfx )()(lim220)()(lim)()(lim00 xfxxfxxfxxfxx )()(2xfxf 这这里里用用到到)(xf的的连连续续性性: : )()(lim0 xfxxfx . . 或解或解：直接利用复合函数的求导法则，：直接利用复合

12、函数的求导法则， )(2 xf原式原式. )()(2xfxf c23例例5 5求下列函数的导数：求下列函数的导数：1.322 )e(xxy )e211()e(322 31 2 xxxy 2.xaaxy aaxaaxyxaxaln1 ln1axaaxxa 解解解解243.解解)ln(2222222axxaaxxy 2222221axxxaxy .22ax 2222212axxaxxa 2222221axxax 22221axa 254.解解xxxxy222e1eln)1ln( 先化简先化简,，)e1ln(21)1ln(22xxxxy xxxy222e1e111 .e111122xx 26解解这是

13、这是抽象函数求导抽象函数求导，5.设设)(e)(lnxfxfy , ,其其中中)(xf可可微微, ,求求 y . . )(e1)(lnxfxxfy .)(ln)()(ln1e)( xfxfxfxxf)(e)(ln)(xfxfxf 注意：注意：这这里里)(xf和和)(ln xf表表示示不不同同的的函函数数。 27设设)1(12 xxy, ,求求)(ny. . 解解例例6 6， xxxy2111121先分解，先分解，再利用再利用，1)(!)1(1 nnnxnx所以所以.2) 1(1) 1(12!) 1(111)( nnnnnxxxny28求求由由方方程程0)cos(sin yxxy所所确确定定的的

14、隐隐函函数数)(xyy 的的导导数数. . 隐函数求导隐函数求导 ：解解例例7 7方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 ，0)1()sin(cossin yyxxyxy解得解得.)sin(sin)sin(cosyxxyxxyy 29解解例例9 9对数求导法对数求导法，)ln(ln)ln(ln)ln(lnlnaxbxbabaxy 设设baxaxxbbay) () () ( , ,)0, 0( ba, ,求求 xydd. . 两边取对数，两边取对数，两边关于两边关于x求导求导, ,得得 xbxabayy lnln，xabba ln. ) ln() () () ( xabbaaxxbbayb

15、ax 30设设xxy)1(3 ，求求y 。 解解例例1010，)1ln(ln3xxy ，33313)1ln(xxxyy .13)1ln()1(3333 xxxxyx31，由方程由方程设函数设函数)0, 0()( yxxyxfyyx两边取对数，两边取对数，,ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy .)1(ln)1(ln)1(ln322 yxyxxyy解解例例1111.dd22,xy求求所确定所确定32解解例例1212若若曲曲线线baxxy 2与与312xyy 在在点点 )1, 1( 处处相

16、相切切, ,求求ba,. . 因因为为曲曲线线baxxy 2过过点点)1 , 1( , , ，11 ba对对方方程程312xyy 两两边边关关于于x求求导导, , ，2332xyyy 将将)1, 1( 代入代入, , .1 y得得，求导求导对对baxxy 2，得得axy 2将将1 x代代入入, , .12 ay得得，所所以以1 a.1 b于于是是33解解例例1414求求02. 1arctan的的近近似似值值. . )()()()(000 xxxfxfxf 利用近似计算公式利用近似计算公式，有有)1(1111arctanarctan2 xx)(0 xx .7954. 002. 021402. 1

17、arctan 所所以以34练习：练习：p146 复习题三复习题三三、三、1. 4. 6. 7. 12. 14. 16.四、四、2. 3.选做选做 4.五、五、1.35补充题补充题1.1.2.2.ba,为何值时为何值时, , , 2, 2, 1)(2xbaxxxxf在点在点2 x 处处可导可导? ? 3.3.设设211ln)(xxxf , ,求求)0(f . . .11)(22nyxxy求求设设， 4.4.25552yxxy 求求设设，5.5.设设)()2)(1()(nxxxxf ，求求)0(f . . 366.6.求求曲曲线线023222 yxyx的的切切线线, ,使使该该切切线线 平平行行于

18、于直直线线 012 yx. . 7.7.,)(sincosyxxyx 求求设设8.8.设设函函数数)(xyy 由由方方程程yyfx )(ee 确确定定, 其其中中f可可导导, ,求求yd. . 3738解解先化简，先化简，所以所以设设211ln)(xxxf , ,求求)0(f . . ，)1ln()1ln(21)(2xxxf ， 2121121)(xxxxf.23)0( f， 2222)1()1(2)1(121)(xxxxf391122 xxy，11111 xx.)1(1)1(1!)1(11)( nnnnxxny40.25552yxxy 求求设设，41设设)()2)(1()(nxxxxf ，求求)0(f . . 解解 用用对对数数求求导导法法 42求求曲曲线线023222 yxyx的的切切线线, ,使使该该切切线线 平平行行于于直直线线 012 yx. . 4344解法一解法一方方程程两两边边关关于于x求求导导, ,得得 ，yyyfxyyfyf )()(e)(ee解得解得，)( )(e