【大学课件】拉压杆变形

1、 安全功能是否完全保证？安全功能是否完全保证？ 有时候虽然没有破坏，可是有时候虽然没有破坏，可是变形变形大，也不行大，也不行 还要保证还要保证 不过度变形不过度变形, , 即解决即解决 刚度问题刚度问题 于是提出于是提出变形计算变形计算问题问题2.5 2.5 拉压杆变形（拉压杆变形（tensile or compressivetensile or compressive deformation deformation） 前面从前面从应力应力方面实现了方面实现了安全功能安全功能 如何计算？因线应变是单位长度的线变形如何计算？因线应变是单位长度的线变形思路：思路：线应变线应变 线变形线变形 变形变

2、形不超过限度不超过限度 安全功能安全功能的第二个保证的第二个保证即解决了即解决了强度问题强度问题（不破坏）（不破坏） 待求待求 杆的轴向总变形杆的轴向总变形 伸长（伸长（elongationelongation） 拉应力为主导拉应力为主导 缩短（缩短（compressioncompression） 压应力为主导压应力为主导求解出发点求解出发点 线应变线应变 （1 1）平均线应变）平均线应变 （此路不通此路不通）l ll ll ll ll l1 1 （2 2）一点线应变）一点线应变 （可行）（可行）一、轴向变形一、轴向变形（axial deformationaxial deformation）l

3、ll1llll1任意任意 x 点处的纵向线应变点处的纵向线应变dxdx )(eaxne )(另一方面，由本构关系另一方面，由本构关系 于是于是 x 点处的微小变形为点处的微小变形为eadxxndx)()(pq)(dxxdlll1qp得到得到整个杆的纵向线变形整个杆的纵向线变形 把所有点处的变形加起来（积分）把所有点处的变形加起来（积分）eadxxndx)()(lleadxxndx00)()(leadxxnl0)(（ea 杆的抗拉压刚度）杆的抗拉压刚度）出发点出发点lxeaxdxnl0)()(niiiiiaelnl13 3、阶段等内力、阶段等内力（n段中分别为常量）段中分别为常量）n(x)xdx

4、2 2、变内力变截面、变内力变截面)( xaa ppeapll 拉压杆的纵向线变形拉压杆的纵向线变形leadxxnl0)(拉压杆的刚度条件拉压杆的刚度条件l1 1、等内力等截面、等内力等截面pxn)(横向线应变横向线应变横向变形横向变形accaacacacppacca二二 横向变形横向变形（ lateral deformationlateral deformation） 泊松比泊松比（ poissons ratiopoissons ratio） 你观察到了吗？你观察到了吗？ 伴随杆的纵向伸长伴随杆的纵向伸长横向收缩横向收缩 你思考了吗？你思考了吗？ 纵向伸长纵向伸长横向收缩，有什么规律性？横向

5、收缩，有什么规律性？实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时 泊松比是个小于泊松比是个小于1 1的常数的常数横向变形系数（或泊松比）横向变形系数（或泊松比） 横向应变（横向应变（lateral strainlateral strain）与）与 纵向应变（纵向应变（axial strainaxial strain）之比）之比 或 如果你是如果你是1919世纪初的善于思考者，该系数会以你的世纪初的善于思考者，该系数会以你的名字命名，而不是法国的泊松（名字命名，而不是法国的泊松（simon denis poissonsimon denis pois

6、son，1781-18401781-1840）现在能想到现在能想到主观创造，主观创造，意义也很大意义也很大1、怎样画小变形节点位移图？、怎样画小变形节点位移图？（2 2）严格画法）严格画法 弧线弧线目的目的 求静定桁架节点位移求静定桁架节点位移 （3 3）小变形画法）小变形画法 切线切线三、三、 小变形的节点位移小变形的节点位移 画法与解法画法与解法abcl1l2p1l2lcc（1 1）求各杆的变形量）求各杆的变形量li 1lub解：变形图如图解：变形图如图2， b点位移至点位移至b点，由图点，由图sinctg21llvbabcl1l21l2lbubvb2、怎样计算小变形节点位移？、怎样计算小

7、变形节点位移？ 目前目前几何学几何学 以后以后计算机程序计算机程序 例例 写出图中写出图中b点点 位移与两杆变位移与两杆变 形间的关系形间的关系060sin6 . 12 . 18 . 060sin0ooatptm kn55.113/ptmpa1511036.7655.119at例例 截面积为截面积为 76. .36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮的钢索绕过无摩擦的定滑轮 p=20=20kn，求刚索的应力和，求刚索的应力和 c点的垂直位移。点的垂直位移。 （刚索的（刚索的 e =177=177gpa，设横梁，设横梁abcd为刚梁）为刚梁）解解 1 1）求钢索内力）求钢索内力（abcd为对象）为对象

8、）2) 2) 钢索的应力和伸长分别为钢索的应力和伸长分别为800400400dcpab60 60pabcdttyaxamm36. 1m17736.766 . 155.11eatllcpab60 60800400400dab60 60dbd12cc3 3）变形图如左）变形图如左 c点的垂直位移为：点的垂直位移为：260sin60sin 221ddbblcmm79. 060sin236. 160sin2ol1、问题的提出、问题的提出 两杆桁架变成两杆桁架变成三杆桁架，缺一个三杆桁架，缺一个方程，无法求解方程，无法求解一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法cpabd123cpab120

9、sinsin21nnx0coscos321pnnny 三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 拉压杆截面上有无穷个应力，单凭拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程静力平衡方程静不定（静不定（ static indeterminate static indeterminate ）静力不能确定静力不能确定超静定问题（超静定问题（hyperstatic hyperstatic ）超出了静力范围超出了静力范围其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题补充补充变形协调方程变形协调方程不能求解不能求解 超静定问题：超静定问题：建立建立本构

10、（或物理）方程本构（或物理）方程予以沟通予以沟通结合结合平衡方程平衡方程联立求解联立求解个性：杆件，桁架（杆件组合）个性：杆件，桁架（杆件组合）2、超静定的处理方法、超静定的处理方法 平衡方程平衡方程 变形协调方程变形协调方程 本构方程本构方程共性：共性：超静定问题超静定问题单凭静平衡方程不能确定出单凭静平衡方程不能确定出全部未知力（全部未知力（外力、内力、应力外力、内力、应力）例例：求三杆桁架内力求三杆桁架内力 杆长杆长 l1 1= =l2 2， l3 3 = =l 面积面积 a1=a2=a，a3 3 弹性模量弹性模量 e1 1= =e2 2= =e，e3 3cpabd123解解 (1)(1

11、)静力静力平衡方程平衡方程力学力学0sinsin21nnx0coscos321pnnnypan1n3n211111aelnl 33333aelnl (3) (3) 本构方程本构方程物理物理 （4 4）联立求解）联立求解代数代数解法一解法一力法：力法：a a、由几何和物理方程消除位移由几何和物理方程消除位移b b、此此方程于平衡方程是方程于平衡方程是3 3个方程（含个方程（含3 3个力未知量），解得个力未知量），解得cos31llcos33331111aelnaeln333113333331121121cos2 ; cos2cosaeaepaenaeaepaenncabd123a11l2l3l(

12、2)(2)变形协调方程变形协调方程几何几何解法二解法二混合法：混合法：a a、由几何和物理方程消除由几何和物理方程消除n1 1和和n2 2； b b、解解3 3个方程（含个方程（含1 1个力未知量，个力未知量，2 2个位移未知量）个位移未知量）p33-39 例例 2.4- 2.9 自己做，再对书自己做，再对书例例 2.4 （1）轴力图；（）轴力图；（2）变形求和）变形求和 例例 2.5 定义定义例例 2.6 （1）应变定义；（）应变定义；（2）略掉高阶项）略掉高阶项例例 2.7 微元当成等内力单元微元当成等内力单元 例例 2.8 （1）内力；（）内力；（2）单独变形；（）单独变形；（3）切线代

13、弧）切线代弧例例 2.9 （1）刚体；（）刚体；（2）切线代弧）切线代弧 p33-39 例例 2.4- 2.9 自己做，再对书自己做，再对书例例 2.4 （1）轴力图；（）轴力图；（2）变形求和）变形求和 例例 2.5 定义定义 例例 2.6 （1）应变定义；（）应变定义；（2）略掉高阶项）略掉高阶项 例例 2.7 微元当成等内力单元微元当成等内力单元 例例 2.8 （1）内力；（）内力；（2）单独变形；（）单独变形；（3）切线代弧）切线代弧例例 2.9 （1）刚体；（）刚体；（2）切线代弧）切线代弧（1 1）静力平衡方程）静力平衡方程力学力学原有基地原有基地3、超静定问题的解法、超静定问题的

14、解法（2 2）变形协调方程变形协调方程几何几何新开方向新开方向（3 3）材料本构方程）材料本构方程物理物理构筑桥梁构筑桥梁（4 4）方程联立求）方程联立求解解代数代数综合把握综合把握例例 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个4040 4040 4 4的等边角钢加固，角的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为钢和木材的许用应力分别为 1 1=160=160m pa和和 2 2=12=12mpa，弹性模量分别为弹性模量分别为e1 1=200=200gpa 和和 e2 2 =10 =10gpa；求许可载荷求许可载荷p0421pnny21ll2222211111laelnaelnl(2)(2)变

15、形方程变形方程(3)(3)本构方程本构方程解：解：(1)(1)平衡方程平衡方程p1m250250ppy4n1n2（4 4） 联立求解得联立求解得pnpn72. 0 ; 07. 021)21,ianiii ( （5 5）求结构的许可载荷求结构的许可载荷方法方法1 1角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得 a a1 1=3.086cm=3.086cm2 2kn anp104272. 0/1225072. 0/72. 0/22222 kn anp4 .70507. 0/1606 .30807. 0/07. 0/1111p1m250250ppy4n1n2 mm8 . 0/111elmm2 . 1/2

16、22el所以在所以在 1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷即角钢决定最大载荷 07. 0 07. 0111anpkn4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积缩小若将木的面积缩小10倍，又怎样？倍，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着方法方法2 2（2 2）变形方程）变形方程解：（解：（1 1）平衡方程平衡方程2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力0sinsin21nnx0coscos321nnny13cos)(

17、ll二、装配应力二、装配应力1、静定问题无装配应力、静定问题无装配应力 下图，下图，3 3号杆的尺寸误差为号杆的尺寸误差为 ，求各杆的装配内力求各杆的装配内力abc12abc12da13aa13l2l1l11113333cos)(aelnaeln（3 3） 本构方程本构方程（4 4）联立求解）联立求解 / cos21cos33113211321aeaeaelnn / cos21cos23311331133aeaeaelna1n1n2n31 1、静定问题无温度应力、静定问题无温度应力。三三 、温度应力、温度应力 下图，下图，1 1、2 2号杆的尺寸及材号杆的尺寸及材abc12bcad123a11

18、l2l3l2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。料都相同，当结构温度由料都相同，当结构温度由t1 1变到变到t2 2时时, ,求各杆的温度内力（各杆线求各杆的温度内力（各杆线膨胀系数分别为膨胀系数分别为 i ; ; t= = t2 2 - -t1 1) )（2 2）变形方程）变形方程解：解： （1 1）平衡方程平衡方程0sinsin21nnx0coscos321nnnycos31ll) 3, 2, 1 ( iltaelnliiiiiii（3 3）本构方程）本构方程pan1n3n2bcd123aa11l2l3lbcd123aa11l2l3l由变形和本构方程消除位移未知量由变形

19、和本构方程消除位移未知量cos)(333333111111ltaelnltaeln联立求解得联立求解得 / cos21)cos(331132311121aeaetaenn / cos21cos)cos(233113231113aeaetaenaa aan1n2 例例 阶梯钢杆的上下两端在阶梯钢杆的上下两端在t1 1=5=5时被固时被固 定定, ,上下两段的面积为上下两段的面积为 = = cm2 ， = =cm2， 当温度升至当温度升至t2 2=25=25时时, ,求各杆的温度应力求各杆的温度应力 弹性模量弹性模量e=200=200gpa，线膨胀系数，线膨胀系数 =12.5=12.5 c1106（2 2）变形方程）变形方程解：（解：（1 1）平衡方程平衡方程021nny0ntlll（3 3）本构方程）本构方程（4 4）联立求解得）联立求解得kn 3 .3321 nn由变形和本构方程消除位移未知量由变形和本构方程消除位移未知量2211 ; 2eaaneaanltalnt22112eaneant（5 5）温度应力）温度应力mpa 7 .66111anmpa 3 .33222an p42-49 例例 2.10- 2.13 自己做，再对书自己做，再对书例例 2.10 p42