高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件2新人教A版必修

1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【知识提炼知识提炼】1.1.向量向量既有既有_，又有，又有_的量的量. .2.2.有向线段有向线段带有带有_的线段，它包含三个要素：的线段，它包含三个要素：_、方向、长度、方向、长度. .大小大小方向方向方向方向起点起点3.3.向量的表示法向量的表示法(1)(1)几何表示：用几何表示：用_表示，此时有向线段的方向就是向量的方表示，此时有向线段的方向就是向量的方向向. .向量的大小就是向量的向量的大小就是向量的_(_(或称模或称模) )，记作，记作_._.(2)(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b

2、，c，表示向量，表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母书写时，可写成带箭头的小写字母 ，.还可以用表示向量的有还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以向线段的起点和终点字母表示，如以a a为起点，以为起点，以b b为终点的向量记为终点的向量记为为 . .有向线段有向线段长度长度ab a b c ， ，ab 4.4.几种特殊的向量几种特殊的向量(1)(1)零向量：长度为零向量：长度为_的向量，记作的向量，记作_._.(2)(2)单位向量：长度等于单位向量：长度等于_的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量. .(3)(3)相等向量：长度相等向量：长度_且方向且方向_的向量的向量. .(

3、4)(4)平行向量：方向平行向量：方向_的非零向量，如果向量的非零向量，如果向量a和和b平行，记平行，记作作_；规定零向量与任意向量；规定零向量与任意向量_._.001相等相等相同相同相同或相反相同或相反ab平行平行【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题. .(1)(1)向量向量 与向量与向量 是相等向量吗？是相等向量吗？提示：提示：不是不是. .向量向量 与向量与向量 的方向相反不是相等向量的方向相反不是相等向量. .(2)(2)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行吗？两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行吗？提示：提示：不一定不一定. .两个向量

4、平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合或重合. .ab ba ab ba 2.2.有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速. .其中可以看成是向量的个数其中可以看成是向量的个数( () )a.1a.1b.2b.2c.3c.3d.4d.4【解析解析】选选b.b.因为质量、温度、角度只有大小，没有方向，所以他们因为质量、温度、角度只有大小，没有方向，所以他们不是向量，而弹力、风速既有大小，又有方向，所以它们可以看成向不是向量，而弹力、风速既有大小，又有方向，所以它们可以看成向量量. .3.3.已知向

5、量已知向量a如图所示，下列说法不正确的是如图所示，下列说法不正确的是( () )a.a.也可以用也可以用 表示表示b.b.方向是由方向是由m m指向指向n nc.c.始点是始点是m md.d.终点是终点是m m【解析解析】选选d.d.终点是终点是n n而不是而不是m.m.mn 4.4.如图，以如图，以1cm1cm3 cm3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以则以a a为始点，可以写出为始点，可以写出_个不同的向量个不同的向量. .【解析解析】由图可知，以由图可知，以a a为始点的向量有为始点的向量有共有共有7 7个个. .答案：答案：7 7

6、 ab ac ad ae af ag ah 、 、 、 、 、 、 ，【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量的物理背景及概念向量的物理背景及概念观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：上面图中的两种力有何特点？你还能举出物理学中力的一些：上面图中的两种力有何特点？你还能举出物理学中力的一些实例吗？实例吗？问题问题2 2：这样的量与数量有怎样的区别，与有向线段有何区别？：这样的量与数量有怎样的区别，与有向线段有何区别？【总结提升总结提升】1.1.理解向量概念应关注的三点理解向量概念应关注的三点(1)(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，本书

7、所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移这样的向量可以作任意平移. .(2)(2)判断一个向量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个判断一个向量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素因素. .(3)(3)向量与向量之间不能比较大小向量与向量之间不能比较大小. .2.2.向量与有向线段的区别向量与有向线段的区别(1)(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关向量只有大小和方向两个要素，与起点无关. .只要大小和方向相同，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量这两个向量就是相等的向量. .(2)(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、

8、大小和方向三个要素，有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. .【拓展延伸拓展延伸】向量与数量的区别和联系向量与数量的区别和联系向量向量数量数量区区别别方向方向有有无无表示表示方法方法可以用有向线段表示，可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示也可以用字母符号表示因为实数与数轴上的点一一对因为实数与数轴上的点一一对应，所以数量常用数轴上的一应，所以数量常用数轴上的一个点表示个点表示实例实例位移、力、速度、加速位移、力、速度、加速度度年龄、身高、长度、面积、体年龄、身高、长度、面积、

9、体积、质量、功积、质量、功联系联系(1)(1)向量与数量都是有大小的量向量与数量都是有大小的量(2)(2)向量的模是数量向量的模是数量知识点知识点2 2 向量与向量的关系向量与向量的关系观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：两个向量的长度相等，这两个向量就是相等向量吗？与已知：两个向量的长度相等，这两个向量就是相等向量吗？与已知向量相等的向量是唯一的吗？向量相等的向量是唯一的吗？问题问题2 2：平行向量与共线向量的含义一样吗？：平行向量与共线向量的含义一样吗？【总结提升总结提升】1.1.对平行向量、相等向量概念的理解对平行向量、相等向量概念的理解(1)

10、(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量量平行，即对任意的向量a，都有，都有0a，这里注意概念中提到的，这里注意概念中提到的“非非零向量零向量”. .(2)(2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关并且与有向线段的起点无关. .在平面上，两个长度相等且指向一致的在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方

11、向和模确定的. .(3)(3)相等向量是平行相等向量是平行( (共线共线) )向量，但平行向量，但平行( (共线共线) )向量不一定是相等向向量不一定是相等向量量. .2.2.平行向量与共线向量的含义平行向量与共线向量的含义(1)(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称，根据定义可知，平平行向量与共线向量是同一概念的不同名称，根据定义可知，平行行( (共线共线) )所在的直线可以平行，也可以重合所在的直线可以平行，也可以重合. .(2)(2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线共线”含义不含义不同同. .(3)(3)平行向量可以在同一条

12、直线上，与平面几何中平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行直线平行”不同，不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点平面中两直线平行是指两直线没有公共点. .【题型探究题型探究】类型一类型一 向量的概念、零向量、单位向量向量的概念、零向量、单位向量【典例典例】1.1.下列各量中是向量的是下列各量中是向量的是( () )a.a.时间时间b.b.加速度加速度c.c.面积面积d.d.长度长度2.2.给出下列说法给出下列说法零向量是没有方向的；零向量是没有方向的；零向量的长度为零向量的长度为0 0；零向量的方向是任意的；零向量的方向是任意的；单位向量的模都相等；单位向量的模都相等；由于由于

13、0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任一向量平行；不能与任一向量平行；其中正确的是其中正确的是_(_(填上序号填上序号).).【解题探究解题探究】1.1.向量的特征是什么？向量的特征是什么？提示：提示：既有大小又有方向既有大小又有方向. .2.2.零向量和单位向量的特征是什么？零向量的方向是怎么规定的？零向量和单位向量的特征是什么？零向量的方向是怎么规定的？提示：提示：零向量的长度为零向量的长度为0.0.单位向量的长度为单位向量的长度为1.1.零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的. .【解析解析】1.1.选选b.b.加速度是既有大小又有方向的量，是向量加速度是既有大小又有方向的量，是向量

14、. .而时间，而时间，面积，长度是只有大小的量，是数量面积，长度是只有大小的量，是数量. .2.2.由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知正确；由单位向量的模正确；由单位向量的模1 1，知正确，知正确. .依据规定：依据规定：0与任一向量平行，与任一向量平行，错误错误. .答案：答案：【方法技巧方法技巧】1.1.判断一个量是否为向量的两个关键条件判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素：关键看它是否具备向量的两要素：(1)(1)有大小有大小.(2).(2)有方向有方向. .两个条件缺两个条件缺一不可一不

15、可. .2.2.理解零向量和单位向量应注意的问题理解零向量和单位向量应注意的问题(1)(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等. .(2)(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向单位向量不一定相等，易忽略向量的方向. .【变式训练变式训练】(2015(2015邢台高一模拟邢台高一模拟) )汽车以汽车以100km/h100km/h的速度向东行驶的速度向东行驶2 h2 h，而摩托车以，而摩托车以50 km/h50 km/h的速度向南行驶的速度向南行驶2 h.2 h.则关于下列说法：汽车则关于下列说法：汽车的速度大于摩托车的速度，汽车的位移大于摩托车的

16、位移，汽车行的速度大于摩托车的速度，汽车的位移大于摩托车的位移，汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程驶的路程大于摩托车行驶的路程. .其中正确的个数是其中正确的个数是( () )a.0a.0个个 b.1b.1个个 c.2c.2个个 d.3d.3个个【解析解析】选选b.b.向量不能比较大小，速度、位移是向量向量不能比较大小，速度、位移是向量. .数量可以比较大数量可以比较大小，所以只有正确小，所以只有正确. .类型二类型二 相等向量与共线向量相等向量与共线向量【典例典例】1.1.给出下列说法给出下列说法若向量若向量a与与b同向，且同向，且| |a|b| |，则，则a b；若若| |a|=|=|b|

17、 |，则，则a与与b的长度相等且方向相同或相反；的长度相等且方向相同或相反；若若ab，则，则a= =b若若ab，则，则a与与b不是共线向量不是共线向量. .向量向量a与与b不共线，则不共线，则a与与b都是非零向量都是非零向量. .其中错误的说法是其中错误的说法是_._.2.2.如图所示，如图所示，o o是正六边形是正六边形abcdefabcdef的中心，且的中心，且(1)(1)与与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)(2)与与a共线的向量有哪些？共线的向量有哪些？(3)(3)请一一列出与请一一列出与a，b，c相等的向量相等的向量. .oaoboc. ，a

18、bc【解题探究解题探究】1.1.两个向量能否比较大小？相等向量与共线向量有怎样两个向量能否比较大小？相等向量与共线向量有怎样的关系？的关系？提示：提示：两个向量不能比较大小；相等向量一定是共线向量，但共线向两个向量不能比较大小；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量量不一定是相等向量. .2.2.典例典例2 2中的正六边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段中的正六边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系？所在直线有什么位置关系？提示：提示：正六边形的对边平行且相等；表示共线向量的有向线段所在直正六边形的对边平行且相等；表示共线向量的有向线段所在直线平

19、行或重合线平行或重合. .【解析解析】1.1.不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小所以两个向量不能比较大小不正确由不正确由| |a|=|=|b| |只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系的关系不正确，不正确，ab，则向量，则向量a与与b方向不一定相同，模也不一定相等，无方向不一定相同，模也不一定相等，无法得到法得到a= =b. .不正确，若不正确，若ab则则a与与b模可能不相等但方向可能相同，所以有可能模可能不相等但方向可能相同，所以有可能是共线向量是共线向量. .正

20、确，若向量正确，若向量a与与b有一个为零向量，则有一个为零向量，则a与与b一定共线，所以一定共线，所以a与与b不共线时，一定有不共线时，一定有a与与b都是非零向量都是非零向量. .答案：答案：2.(1)2.(1)与与a的长度相等、方向相反的向量有的长度相等、方向相反的向量有(2)(2)与与a共线的向量有共线的向量有(3)(3)与与a相等的向量有相等的向量有 ；与；与b相等的向量有相等的向量有 ；与；与c相等的向量有相等的向量有od bc ao fe. ， ， ，efbcod fe cbdo ao da ad. ， ， ， ， ， ， ， ，efdo cb ， ，dc eo fa ， ，fo e

21、d ab. ， ，【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )本例本例2 2中条件不变，试写出与向量中条件不变，试写出与向量 相等的向量相等的向量. .【解析解析】与向量与向量 相等的向量有相等的向量有bc bc od ao fe. ， ，2.(2.(变换条件变换条件) )本例本例2 2中，若中，若| |a|=1|=1，则正六边形的边长如何？，则正六边形的边长如何？【解析解析】由正六边形性质知，由正六边形性质知，foafoa为等边三角形，所以边长为等边三角形，所以边长af=|af=|a|=1.|=1.【方法技巧方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法相等向量与共线向量的探求方法(1)(

22、1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线再确定哪些是同向共线. .(2)(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量线段的终点为起点，起点为终点的向量. .【补偿训练补偿训练】1.1.在下列说法中，正确的是在下列说法中，正确的是( () )a.a.两个有公共起点且共线的向

23、量，其终点必相同两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同b.b.模为模为0 0的向量与任一非零向量平行的向量与任一非零向量平行c.c.向量就是有向线段向量就是有向线段d.d.两个有公共终点的向量一定是共线向量两个有公共终点的向量一定是共线向量【解析解析】选选b.b.在选项在选项a a中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项终点也未必相同；在选项c c中，向量与有向线段是两个不同的概念；中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项在选项d d中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们

24、是否共线. .2.2.如图所示，四边形如图所示，四边形abcdabcd和和abdeabde都是平行四边形都是平行四边形(1)(1)写出与向量写出与向量 相等的向量相等的向量. .(2)(2)写出与向量写出与向量 共线的向量共线的向量ed ed 【解析解析】(1) (1) 与向量与向量 相等的向量有相等的向量有(2)(2)与向量与向量 共线的向量共线的向量ed dc ab. ，ed cd ec dcce abba de. ， ， ， ， ， ，类型三类型三 向量的几何表示及应用向量的几何表示及应用【典例典例】1.1.如图所示，已知如图所示，已知ad=3ad=3，b b，c c是线段是线段adad

25、的两个三等分点，分的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于别以图中各点为起点和终点，长度大于1 1的向量的个数为的向量的个数为( () )a.3a.3b.4b.4c.5c.5d.6d.62.(20152.(2015渭南高一检测渭南高一检测) )一辆汽车从一辆汽车从a a点出发向西行驶了点出发向西行驶了100100千米到达千米到达b b点，然后又改变方向向西偏北点，然后又改变方向向西偏北5050走了走了200200千米到达千米到达c c点，最后又改点，最后又改变方向，向东行驶了变方向，向东行驶了100100千米到达千米到达d d点点(1)(1)作出向量作出向量 ；(2)(2)求求|

26、|.| |. abbccd ， ，ad 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中长度大于中长度大于1 1的向量的模应为多少？的向量的模应为多少？提示：提示：长度大于长度大于1 1的向量的模为的向量的模为2 2或或3.3.2.2.典例典例2 2中画平面向量的关键是什么？与中画平面向量的关键是什么？与 相等的向量是哪个向量？相等的向量是哪个向量？提示：提示：画平面向量的关键确定平面向量的起点和终点画平面向量的关键确定平面向量的起点和终点. .与与 相等的向相等的向量是量是ad ad bc. 【解析解析】1.1.选选d.d.根据题意可得：模等于根据题意可得：模等于2 2的向量有的向量有 模等于模

27、等于3 3的向量有的向量有 . .故图中长度大于故图中长度大于1 1的向量共有的向量共有6 6个个. .2.(1)2.(1)如图所示如图所示acca bd db ， ， ， ，ad da ，(2)(2)由题意，易知由题意，易知 与与 方向相反，故方向相反，故 与与 共线即共线即又又所以四边形所以四边形abcdabcd为平行四边形为平行四边形所以所以 =200(=200(千米千米) )ab cd ab cd ab cd. |ab| |cd| ，|ad| |bc| 【方法技巧方法技巧】用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量的方法. .(1)(1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最

28、后依据向用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点量模的大小确定向量的终点(2)(2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向( (即夹角即夹角) )或长度或长度( (即模即模) )，选择合适的比例关系作出向量，选择合适的比例关系作出向量【变式训练变式训练】在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量，在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量，每个小方格边长为每个小方格边长为1 1(1) (1) ，使，使| |= | |= ，点，点a a在点在点o o东偏北东偏北4545；(2) (2) ，使，使| |=

29、4| |=4，点，点b b在点在点a a正东方向；正东方向；(3) (3) ，使，使| |=7| |=7，点，点c c在点在点b b正北方向正北方向oaoa4 2ab ab bc bc 【解析解析】(1)(1)由于点由于点a a在点在点o o东偏北东偏北4545，所以在坐标纸上点，所以在坐标纸上点a a距点距点o o的横的横向小方格数与纵向小方格数相等，又向小方格数与纵向小方格数相等，又 ，小方格边，小方格边长为长为1 1，所以点，所以点a a距距o o点的横向小方格数与纵向小方格数都为点的横向小方格数与纵向小方格数都为4 4，于是点，于是点a a的位置可以确定，画出的位置可以确定，画出oao

30、a如图所示如图所示. .|oa| 4 2(2)(2)由于点由于点b b在点在点a a正东方向处，且正东方向处，且| |=4| |=4，所以在坐标纸上点，所以在坐标纸上点b b距点距点a a的横向小方格数为的横向小方格数为4 4，纵向小方格数为，纵向小方格数为0 0，于是点，于是点b b的位置可以确的位置可以确定，画出定，画出abab如图所示如图所示. .(3) (3) 由于点由于点c c在点在点b b正北方向，且正北方向，且| |=7| |=7，所以在坐标纸上点，所以在坐标纸上点c c距点距点b b的的纵向小方格数为纵向小方格数为7 7，横向小方格数为，横向小方格数为0 0，于是点，于是点c

31、c的位置可以确定，画的位置可以确定，画出出 如图所示如图所示. .ab bc bc 【补偿训练补偿训练】飞机从飞机从a a地按北偏西地按北偏西1515的方向飞行的方向飞行1400 km1400 km到达到达b b地，地，再从再从b b地按东偏南地按东偏南1515的方向飞行的方向飞行1400 km1400 km到达到达c c地，那么地，那么c c地在地在a a地什地什么方向？么方向？c c地距地距a a地多远？地多远？【解析解析】如图所示，如图所示， 表示飞机从表示飞机从a a地按北偏西地按北偏西1515方向飞行到方向飞行到b b地的地的位移，位移，则则| |=1 400 km.| |=1 400 km. 表示飞机从表示飞机从b b地