极限存在准则与两个重要极限,无穷小的比较课件

1、1二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限的夹逼准则一、函数极限的夹逼准则第五节极限存在准则两个重要极限 第一章 2一、极限存在的夹逼准则定理定理1.0(, ),xxr当时Axhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且（2）limlimnnnnyza关于数列的夹逼准则：设数列 满足：111,nnnnnnxyz（1）,nnnyxzNnN当时a则 存在且等于limnnx3证明：证明：下面仅对 时的函数极限来证明夹逼准则。0 xx对 ，因为 ，故存在 ，当 时，有 ，从而0 0limxxg xA10010 xx g

2、 xA g xA 又因为 ，故存在 ，当时，有 ，从而 0limxxh xA20020 xx h xA h xA4取 ，则当 时，不等式 同时成立，并注意到12min , r 00 xx ,g xA h xA g xf xh x就得到 g xAf xAh xA 故 f xA这就证明了 0limxxf xA51sincosxxx圆扇形AOB的面积重要极限重要极限 （一）（一） 0sin01. lim1()0 xxx特点：型证证: 当即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的

3、面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有6当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注7说明： 1) 几个附带的有用结论：(1), sin,xRxx 0;x其中等号成立0(2)limsin0 xx0limcos1;xx8( )0sin ( )lim1( )xxx 3) 在保证 时,有 lim()0 x 4) 注意区别：sinlimxxx 1limsinxxx 0sinlimxxx 01limsinxxx 1.0.1.0.9例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0

4、xxcos1lim01.sinlim0 xxkx解解: xkxxsinlim0 xkxkkxsinlim0kxkxkxsinlim0k例例1. 求10.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3. 求例例4. 求.arctanlim0 xxx解解: 令,arctanxt 则,tantx 因此原式ttttanlim0 1lim0t1tttan11例例5. 求xxIx2sin3tanlim0 xxxxxxx232sin233tanlim023例例6. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220

5、sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21解解: 原式 12nnnRcossinlim2Rn证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx例例7. 已知圆内接正 n 边形面积为132. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab只给出几何解释：只给出几何解释：14例例7. 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证

6、明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n1511nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn比较可知16根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1 e 为

7、无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n17故极限存在，例例8 8 设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故axnnlim利用极限存在准则,0nx18重要极限（二）重要极限（二）1lim( 1)xxxe证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn

8、)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim119当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1时, 令201)该极限的特点:(1)1; 型未定式型未定式(2)括号中数1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.2)极限呈1,型但第二个特点不具备时,通常凑指数幂使(2) 成立.则说明21 10(1)lim 1; ; xxxe(1 )()()1(2

9、)lim1( ) xxex 1( )( )0(3)lim1( );xxxe 3) 重要极限2的不同形式22例例1. 求下列极限.)1 (lim. 11xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：利用,)1 (lim)()(1)(exxx则 原式111)1 (limexxxxxkx)1 (lim. 2解解原式kkxxkx)1(limke23例例2 求xxxxI102121lim解法一：解法一： I221021limxxx)2(21021limxxx22ee4e解法二：解法二： xxxxI102141limxxxxxx214421

10、02141lim4e124limx.)cos(sinlim. 211xxxxI解解: I =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1.)cos1 (lim. 1sec22xxx解解: 原式 =2cos2lim(1 cos ).xxx2e例例3. 求下列极限1125例例4 求nnnn)221 (lim2解解: 原式 =nnnn)221 (lim2nnnnnnn222222)221 (lim2e例例5 求nnnn)11(lim2解解: 原式 =nnnnn) 1() 1(lim22nnnnnnnn)11 ()11 (lim22n

11、nnne212)11(lim1201eee11126例例6 已知4)1(limxxcx，求常数 C。解解: 原式 =ccxxxc1limce44ln c272. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式28 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,第六节引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较29,0limCk定义：定义：,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1

12、lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义30例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且机动 目录 上页 下页 返回 结束 31例例1. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nn

13、xxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb机动 目录 上页 下页 返回 结束 32例例2. 当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故113026kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 33定理定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx机动 目录 上页 下页 返回 结束

14、2. 性质性质这时也称 为 的主要部分34定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052机动 目录 上页 下页 返回 结束 35说明说明1) 等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替可由它们的等价无穷小之比的极限代替.,给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便.0036.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21机动 目录 上

15、页 下页 返回 结束 32210limxxxx求解解: 原式 例如，例如，2)称定理称定理2为为等价替换定理，定理，进行等价替换时,代换式中不能出现加减号,必须是整体因子的替换.37sin(0)xxx 1(0)xexxtan(0)xxx 211 cos(0)2xxxtan(0)arcxxx sin(0)arcxxx ln(1) (0)xxx11(1)1(0)nxxxn3)牢记常见的等价无穷小.1ln(0)xaxax(1)1(0)xxx38231x221x例例3. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32机动 目录 上页 下页 返回 结束 39例例4.求极限cot01lim.1xxxx解:cot01lim.1xxxxcot02lim 1.1xxxxcot21ln(1)0limxxxxe210limcotln(1)xxxxe2211ln(1) (0)xxxxxcos2sin10