期中复习2011通达重修课件

1、 期中复习 2011.4一、多元函数微分学及其应用一、多元函数微分学及其应用1、会求二元函数的极限、会求二元函数的极限00limyx22)()cos(12222yxeyxyx 例例2 2xyxyyx11lim00 求求)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 例例1 1)()(21lim222220022yxeyxyxyx 0lim21222200 yxyxeyx2、能利用一元函数的求导法则计算多元函数的、能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。 例例1.（1）计算）计算z = x2y+y3的

2、全微分；的全微分； （2）计算）计算z = x2y+y3在点在点(2，1)处的全微分；处的全微分；解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 解解3、多元函数连续、偏导数存在、可微、偏导、多元函数连续、偏导数存在、可微、偏导 数连续的关系数连续的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏导存在4、会求多元复合函数、会求多元复合函数(特别抽象函数特别抽象函数)的一阶，二阶的一阶，二阶偏导数偏导数例例1 1解解.)(),(2

3、yxzfyxxyfz ，求，求具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数设设yff yxz121 )(11)(22221222121112yxfxfyfyyxfxfyfyxz 223221111fyxfyfxyf 221fyxfxyz 5、 隐函数的偏导数（单个方程的情况）隐函数的偏导数（单个方程的情况）解解22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 求偏导求偏导两边对两边对在在xzzyx04222 ,zxxzxzxzzx 24226会求空间曲线的切线、法平面及空间会求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的曲面的切平面、法线切平面、法线 例例1 求曲线求曲

4、线 在在 处的切线处的切线与法平面方程与法平面方程. .)21,31,41(10Mt对应的点对应的点 1 , 1 , 1| ,123 ttttT点处曲线的切向量为点处曲线的切向量为0M解解: :2,3,4234tztytx 1 t切线方程切线方程,121131141 zyx法平面方程法平面方程, 0)21()31()41( zyx. 01213 zyx即即解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2

5、(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx7.会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数与函会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数与函数在某一点的梯度数在某一点的梯度解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向导导数数 cos2cos lz.22 21cossin,21coscos 所所以以解解 令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143cos

6、.141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故例例3 求函数求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点在点M0(1，1，2)处的梯度处的梯度 解：解： grad f=2x，2y，2z，grad f (1，1，2)=2，2，4 8. 会求多元函数极值会求多元函数极值例例1 求函数求函数f (x，y)= x3y3+3x2+3y29x的极值的极值 解解 先解方程组先解方程组 .063),(,0963),(22yyyxfxxyxfyx求得驻点为求得驻点为( (1，

7、0),(),(1，2),(),(3，0),(),(3, ,2).). 在点（在点（1，0）处，）处，ACB2 = 126 0，又，又 A0fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 所以函数在（所以函数在（1，0）处有极小值）处有极小值f（1，0）=5； 同理：同理：f（1, ,2）, ,f（-3,1）不是极值；不是极值； 函数在（函数在（3，2）处有极大值）处有极大值3131 9. 会用拉格朗日乘数法解决多元函数的条件极值问题。会用拉格朗日乘数法解决多元函数的条件极值问题。例例1 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。而体积为最大的长方体的

8、体积。 解：解：设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为x，y，z，则问题就是在，则问题就是在条件条件下下求求函函数数)1( 0222),(2 axzyzxyzyx V = xyz (x0，y0，z0)的最大值。的最大值。 构成辅助函数构成辅助函数求其对求其对x，y，z的偏导数，并使之为零，得到的偏导数，并使之为零，得到 )2(0)(20)(20)(2 yxxyzxxzzyyz F(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)， 再与（再与（1）联立求解。）联立求解。因因x，y，z都不为零，所以由（都不为零，所以由（2）可得）可得.,zxyxzyzyzxyx 由以上两式解得由以上两式解得

9、 x = y = z。将此代入（将此代入（1）式，便得）式，便得,66azyx 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。处取得。.3663aV 最大体积为最大体积为1、 会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次次 积分积分,会交换积分次序会交换积分次序二、重积分二、重积分例例1 交换以下积分的积分顺序交换以下积分的积分顺序 yydxyxfdyI),()1(101110(1)( , )yyIdyf x y dx 解解 x

10、xdyyxfdx2),(101yxxy xy 分分化化为为极极坐坐标标下下的的二二次次积积将将例例xyxDdxdyyxfD2:,)(22222 Ddxdyyxf)(22解解 22cos20)( rdrrfd2、 会适当选取坐标系来计算二重积分会适当选取坐标系来计算二重积分.D例例1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD,2 将将下下列列积积分分化化为为极极坐坐标标形形式式 并并计计算算例例积积分分值值。2222(1),:2Dxy dxdyDxyx

11、 其其中中。2222(2)()arctan,:14 ,0DyxydxdyxDxyyx y 其其中中所所围围成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。22:2Dxyx 积积分分区区域域xyo2 Ddxdyyx22 22cos20 rdrrd 223cos38 d3238I 132238 2222(1),:2Dxy dxdyDxyx 其其中中解解。:02cos ,22Dr 。932 Ddxdyxyyx,arctan)()2(22 Ddxdyxyyxarctan)(22:D积积分分区区域域 的的图图形形为为rdrrd 21240 drrd 21340 。212815 22:14 ,0Dxyyxy 所

12、所围围成成的的位位于于第第象象限限的的部部分分。40 , 21: rDxyo123、 会把三重积分化成直角坐标，柱坐标、球面会把三重积分化成直角坐标，柱坐标、球面坐标下的三次坐标下的三次 积分积分,会用截面法、柱面坐标、球面会用截面法、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。坐标来计算三重积分。为为三三次次积积分分化化三三重重积积分分例例 dvzyxf),(1所围。所围。1,:22 zyxz xyDyxzyx ),( , 1:22 解解：1yxzO而而Dxy可用不等式组可用不等式组11,1122 xxyx于是于是 111112222),(),(yxxxdzzyxfdydxdvzyxf ,2 dxdy

13、dzz计计算算例例所所围围其其中中1,:22 zyxz 解解用截面法。用截面法。222zy:xDz zozDxyzo1zDz ,zxoyD 用用平平行行于于面面的的平平面面去去截截空空间间区区域域得得平平面面闭闭区区域域 zdv zDzddz 10 zDdzdz 10 102)(dzzz 103dzz 1044z 。4 1:22 zyx 解解法法二二用柱面坐标。用柱面坐标。xyzo1 zdvxyDyxzyx ),.(1:22 .20 ,101: rzr， 12010rzdzrdrd 。4 解解由由 zzryrx sincos,交线的投影为交线的投影为:xyDyxyxzyx ),.(43:222

14、2 3:22 yxDxy.20, 3043:22 rrzr， 23242030rrzdzrdrdI .413 ,)(4222 dxdydzzyx计计算算例例 dxdydzzyx)(222解解54 drrrdd2102020sin 1:222 zyx 4、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。间立体的体积。例例1平面平面x+2y+3z8=0被柱面被柱面割割下下部部分分的的面面积积12222 byax1(82 )3zxy解解 dddA31494911 xyDdA 31412,33zzxy 314 。ab 314Dxyyxoabo

15、zxy三、三、 曲线积分曲线积分1、 掌握两类曲线积分的直接计算。掌握两类曲线积分的直接计算。例例1. 设设 C 是下列曲线是下列曲线0,222 yxyayx所围区域的边界所围区域的边界, 求求sICyxde22 2e)24(aa解解: 分段积分xIaxde0de40aaxaxd2e202xyOa4xy 0yar ddas cdsyxayxL22222,:)2(为为圆圆周周已已知知2222)2(aadsdsyxcc 解解例例2. 计算计算,22ydxxdyxL 其中其中L为为(1) 抛物线抛物线 ;,:2BOxyL到到从从 (2) 抛物线抛物线 ;,:2BOyxL到到从从 (3) 有向折线有向

16、折线 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xx xdx 1034(2) 原式原式yyy222 yy d5104 (3) 原式原式 dyxxdyxOA22 01 )0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xdxx)22 10(dyy )4 ydxxdyxAB 22 10yd1 1 yxO2、 掌握格林公式及其应用。掌握格林公式及其应用。.1|:|,|1逆时针方向逆时针方向计算计算例例 yxLyxydxxdyIL DLAdxdyydxdyxI42)11(逆逆时时针针方方向向的的有有向向弧弧。为为上上半半圆圆周周其其中中计计算算2,)cos()sin(xaxyLdymyedxmyye

17、ILxx 例例2myPxQ 解解利利用用格格林林公公式式：添添上上,OA DOAxxLxxmdxdydymyedxmyyedymyedxmyye)cos()sin()cos()sin(228)2(21maam 0)cos()sin( OAxxdymyedxmyye28ma 原原式式DyaLxoAO逆逆时时针针方方向向为为计计算算2)1()()(2222 yxLyxdyyxdxyxL例例3时时，易易验验证证当当解解)0 , 0(),( yx取适当的取适当的l：x2+y2=r2，使其位于圆，使其位于圆L内，取逆时内，取逆时针方向针方向,则则 lLdyyxdxyxryxdyyxdxyx)()(1)()(222 2212 Ddxdyr22222)(2yxyxyx yPxQ 3、 掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当掌握曲线积分与路径无关的条件，会选择适当的路径来计算曲线积分的路径来计算曲线积分解解：直接化为定积分需先求直接化为定积分需先求OAB的方程，此法不好。的方程，此法不好。 ;,yyeyPxeP ;,2yyexQyxeQ CBOCLdyyedxxy 2010)2()1(202102|)(|2)1(yexy 例例1 设设L是以是以O（0，0）为起点，经）为起点，经A（0，1）