换元法与分部积分法课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法 第五五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则

2、, ,)(baCxf设函数所证等式两边被积函数都连续,目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: :1) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t2) 必需注意 , 原函数中的变量不必代回 .换元必换限换元必换限目录 上页 下页 返回 结束 例例1 计算).0(d022axxaa解解 令令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tt

3、a0242a20ttdcos2O22xayxyaS且目录 上页 下页 返回 结束 例例2 计算520cosdcosxx 520cossind .xx x解解 令令cos ,tx则dsind ,txx ,0时当x,2x时0.t 原式 =051dtt1606t16; 1t且 在该题解题过程中，若不写出新变量，则上下限也不要变更：520cossindxx x620cos6x 16目录 上页 下页 返回 结束 例例3 计算3220sincos dxx x350sinsind .xx x350sinsindxx x解解52202sin5x35sinsinxx32sin(1 sin)xx在 上|cos |

4、cos ,xx,245在 上0,2|cos | cos ;xx32sin|cos |,xx5222sin5x所以322sin( cos )dxxx3220sind(sin )xx322sind(sin )xx由于注意：如果忽略 的正负变化，将导致计算错误.cosx目录 上页 下页 返回 结束 例例4 计算.d12240 xxx解解 令令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 目录 上页 下页 返回 结束 例例5, ,)(aaCxf设证证 (1) 若, )()(xfxfaaa

5、xxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令目录 上页 下页 返回 结束 例例6 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解 (1) 记记01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0无关，与可见aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa

6、并由此计算则即xxfxxfTTaad)(d)(0目录 上页 下页 返回 结束 (2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此计算,) 1 (akTa中的看作将 )(d)(0NnxxfnT为是以x2sin1周期的周期函数周期的周期函数xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0则有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0目录 上页 下页 返回 结束 xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)

7、sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0目录 上页 下页 返回 结束 2, 0,( )1, -0,1 cosxxexf xxx202101tan22tte220dttet4211(2)d( )df xxf t t01d1 costt4111tan222e41(2)d .f xx例例 7设函数计算解解则dd ,tx当 时，4x 2.t 当 时，1x 1;t 且 2,xt设于是目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2 , ,)(, )(1baCxvxu设则)()

8、(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证 )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba目录 上页 下页 返回 结束 例例8 计算.darcsin210 xx解解 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231目录 上页 下页 返回 结束 2(1)ee102( )tee1100d2dxtexte t11002(d )tttee

9、t2.10d .xex例例 9计算解解当 时，1x 1.t 当 时，0 x 0;t 且 ,xt设于是102d( )tte则d2 d ,xtt2,xt目录 上页 下页 返回 结束 20dcosttn20dcosxxn例例1020dsinxxInn证证 令20dcosxxn,22143231nnnnn 为偶数,3254231nnnnn 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0证明Walls公式目录 上页 下页 返回 结束 2022d

10、cossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习思考与练习1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100

11、sin目录 上页 下页 返回 结束 2. 设,0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考: 若改题为xttfxlnd)(313?(e) f提示提示: 两边求导, 得331)(xxfe1d)(e)xxff得目录 上页 下页 返回 结束 3. 设, 1 ,0)(连续在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解 xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部积分分部积分)目录 上页 下页 返回 结束 补充题补充题1. 证明 证证 2dsin)(xxxxxf是以 为周期的函数.2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以