利用不动点解决高考数学

1、优秀学习资料欢迎下载利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型， 对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题， 充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数 “不动点” 问题的研究结果， 来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中， 不断总结探究反思， 对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结， 以期对同学们解题有所帮助1 不动点的定义一般的，设 f (x) 的定义域为 D , 若存在 x0D ，使 f (x0 )x0 成立，则称 x0 为

2、f ( x) 的不动点，或称 ( x0 , x0 ) 为 f ( x) 图像的不动点。2 求线性递推数列的通项定理 1设 f(x) axb(a0，1)，且 x0 为 f ( x) 的不动点， an 满足递推关系 anf ( an 1 ) ， n2,3,，证明 anx0 是公比为 a 的等比数列。证： x0 是f ( x) 的不动点，所以ax 0bx0 ，所以 bx0ax0 ，所以anx0 (a· an 1b) x0a· an1ax0a(an 1x0 ) ，数列 anx0 是公比为 a 的等比数列。例 1（ 2010 上海文数 21 题）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn

3、 ，且 Snn 5a n 85，n N *(1) 证明： an1 是等比数列； (2)求数列 Sn的通项公式，并求出使得 Sn 1Sn成立的最小正整数 n .； 当时 ， n， 即证 ： (1) 当 n 1时 ， a114n2nn 1nn 11aSS5a5a6an5an 11( n2 )即 an5 an 11 ( n2) ，记 f ( x)5 x 1 ，令 f ( x)x ，求66566出不动点 x01 ，由定理 1 知： an1(an 11)(n 2) ，又 a1115 0，所以6数列 an 1 是等比数列。 (2) 解略。3 求非线性递推数列的通项定理 2 设 f (x)axb (c 0，

4、adbc0) ，且 x1 、 x2 是 f ( x) 的不动点，数cxd列 an 满足递推关系 anf (an 1) ， n2,3,，（）若 x1x2，则数列 anx1 anx2优秀学习资料欢迎下载是公比为ax1 c的等比数列；（） x1x2x0 ，则数列 1 是公差为2caadx2 canx0的等差数列。证：（）由题设知 ax1bx1bdx1x1dx1b(acx1 ) x1 ；cx1dacx1同理 dx2b(a cx2 )x2.aanbx1an 1x1cand(a cx1 )anb dx1a cx1anx1，an 1x2aanb( a cx2 )anb dx2a cx 2anx2x2cand

5、所以数列 anx1 是公比为 acx1 的等比数列。anx2acx2（）由题设知axb x 的解为 x1x2x0 ， x0ad 且 bdx0cxd2cacx0x0。所以11candan 1x0aanbx0( a cx 0 ) anb dx0candcandcand( acx0 )(anbdx0)(acx0 )( anx0 )acx0cancx0 dcx0cdcx01cdcad12c(a cx0 )( anx0 )a cx0a cx0 anx0a cxaca d a x02cn0can1x012c，所以数列 an1 是公差为2c的等差数a cx0an x0 a dx0a d列。例 2（20XX

6、年全国 卷 22题）设数列 an的 前 n 项和为 Sn，且方程x2anxan0有一根为 Sn1 ( n N * ) 。求数列 a的通项公式。n解：依题 11，且(S 1)2an(S 1) an0，将anSnSn 1代入上式，nna2得 Sn1，记 fx1，令 f ( x)x ，求出不动点 x01，由定理 2（）2Sn2x1优秀学习资料欢迎下载知：12Sn1，所以数列1是公差为1的等差数列，11Sn 1Sn 1 1 SnSn1所以 Snnn ，因此数列 an的通项公式为 an1。1n1例 3 （ 20XX 年全国卷 22 题）已知数列 an 中， a11,an 1c1 .an（）设 c5 ,

7、bn1，求数列 bn 的通项公式 . （）求使不等式 anan 1 32an2成立的 c 的取值范围 .解：（）依题 an 1 515an 2 ，记 f ( x)5x2 ，令 f ( x)x ，求出不动2an2an2x1点 x11； 由 定 理 2 （ ） 知 ： an 1112an, x2 22an2 ，22anan 1 21 1 1 an2 ；2an2 an两式相除得到an 121an 2，所以an2是以1为公比，a122为a14a1a14a1nn 122n212an21n 1324n 1首项的等比数列，所以，2, an2, 从而bn142 4n 13.an32（）解略。定理 3设 f (

8、x)ax2b ( a0)，且 x1 、 x2 是 f ( x) 的不动点，数列 an 满2axd足递推关系 anf (an 1 ) ， n2,3,，则有 an 1x1( anx1 )2 ；若 a1x10，an 1x2anx2a1x2则 ln an x1 是公比为 2 的等比数列。 an x2证 ： x1 、 x2是 f (x) 的 不 动 点 ， dx1bax12 ， dx2 b ax22 。an 1x1a an2b(2a and )x1a an2b2a an x1ax12baxa a 2b(2a ad )x2a a 2b2a ax2ax2bn 12nnnn2优秀学习资料欢迎下载a(an22a

9、nx1x12 )( anx1 )2 ，又 a1x10，则 anx10，a(an22anx2x22 )anx2a1x2anx2 ln an1x12lnanx1，故 lnanx1 是公比为 2 的等比数列。an 1x2anx2anx2例 4（ 2010 东城区二模试题） 已知数列 xn 满足 x14 ， xn1xn23 求证：2 xn4xn3 ；求证： xn1xn ；求数列 xn 的通项公式证： 、证略；依题xn23，记x23，令 f ( x)x ，求xn 14f (x)42 xn2x出 不 动 点 x11,x2 3；由定理 3知 ： xn1xn231( xn1)2142xn，2xn4xn 13x

10、n233( xn3)22xn42xn，4xn 11xn12x1 1 4 1xn 11xn1所以，又3，所以 log2logxn13xn3x134 33 xn 133 xn3又 log3x111 ，令alogxn1 ，则数列 a 是首项为1，公比为 2 的等比数x13n33nxna2n 1a loxn1xn1an列所以n 由g， 得3 所 以n3xn33xnxn3an 1132n 1 113an132n 11 利用函数 “不动点” 法求解较复杂的递推数列的通项问题， 并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度， 本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理 4 设 f ( x)ax 2bxb22b (a0), 且 x0 是 f ( x) 的最小不动点，数列4a an 满足递