对数与对数函数-知识点与题型归纳

1、第与对数函数高考明方向1 .理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的 作用.2 .理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点.3 .知道对数函数是一类重要的函数模型.4 .了解指数函数y = ax与对数函数y = logax互为反函数（a>0, 且 aw 1）备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容 在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题 的形式命题，也有填空题和解答题.主要考查对数运算、换 底公式等.及对数函数的图象和性质.对数函数与幕、指数函数结合考查，利用单

2、调性比较大小、解不等式是高考的热百八、.、知识梳理名师一号 P27汪忠：知识点一对数及对数的运算性质1 .对数的概念一般地，对于指数式ab=N,我们把 以a为底N的对 数b”记作logaN,即b=logaN（a>0,且a力）.其中，数a叫 做对数的底数，N叫做真数，读作b等于以a为底N的对 数”.注意：（补充）关注定义一指对互化的依据2 .对数的性质与运算法则对数的运算法则如果a>0且a力，M>0, N>0,那么 lOga(MN) =lOgaM +logaN； lOgaN" = lOgaM lOgaN ；logaMn= nlogaM(n R)； lOgamMn

3、=m110gaM.(2)对数的性质a10gaN=N； 1ogaaN = N (a>0,且 a力).（3）对数的重要公式换底公式：1ogbN =b均大于零且不等于1）;赤1 10gab=j推广 lOgab lOgbC 1ogcd= lOgad.注意：（补充）特殊结论：1oga1 0, 1oga a 1知识点二对数函数的图象与性质a>11 .对数函数的图象与性质（注意定义域！）0<a<12 .反函数指数函数y= ax与对数函数y= logax互为反函数, 它们的图象关于直线y=x对称.(补充)设y=f(x)存在反函数，并记作y = f 1(x),1)函数y= f(x)与其反

4、函数y=f1(x)的图象关于直线 y x 对称2)如果点P(x0, y0)在函数y = f(x)的图象上，则必有 f(yo) = xo，反函数的定义域、 值域分别为原来函数的值域、 定义域3)函数y= f(x)与其反函数y=f1(x)的单调性相同.二、例题分析：(一)对数式的运算例 1.(1) 名师一号 P27 对点自测 1(2013陕西文3)设a, b, c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A . logab logcb= logca8. logab logca= logcbC . loga(bc) = logab logacD . loga(b+ c)= logab+ log

5、ac解析 由对数的运算性质：lOga(bC)= lOgab+ lOgaC,可判断选项C, D错误；选项A,由对数的换底公式知,logab logcb=logca? Igb 盘=翳 lg2b=lg2a,此式不恒成立，故错误；对选项 B,由对数的换底公式知，logab logcalogcb,故恒成立.lgb lga lgb : =. = lga lgc Igc答案 B例1.(2)(补充)计算下列各式的值2lg2 lg311 1 lg0.36 lg823(2)温故知新P22第8题lg5 2 lg2 lg50 4log23 1.1.1 10g 2 瓦 10g3 d 10g5 % 2589答案：(1)

6、1(2)10(3)-12注意：准确熟练记忆对数运算性质多练1g 2 1g5 1名师一号P28高频考点例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定 义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式 子进行包等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.例2.(1)名师一号P27 对点自测2（2014 陕西卷）已知 4a = 2, 1gx = a,贝U x =1 .1斛析 . 4=2, . .a= log42 = 2.由 lgx = 2,1得 x=102 =航.例2. (2)名师一号P28高频考点 例1(1)若 x=log43,则（2x 2一x）2 等于（）D.3解析：由 x= log43,

7、得 4x= 3 即 2x=43, 2 x=13,所以(2x 2 x)2=.2=3注意：指数与对数的互化ab=N? b= log a N (a>0, aw 1, N>0).-a.b_ 11一练习：(补充)已知35yb2求k 答案:k .159例3.名师一号P28高频考点例1(2)已知函数f(x)=lOg2X, X>0,3 X+1, x磷,一一 _1 ，一则 f(f(1) +f log32 的值是()A. 5B. 3C. -1D.2因为 f(1) = log2l=0,所以 f(f(1) =f(0)=2.,_11ilog32因为 lOg32<0,所以 f lOg3 =3+ 1

8、 = 3lOg32+1 = 2+1 = 3.1所以 f(f(1)+f 10g32 =2 + 3 = 5.二、对数函数的图象及性质的应用例1.(补充)求下列函数的定义域.(1)y= V1ogo.5(4x 3).(2)y=1og(x+1)(16 4x).ii解析：（1）由函数定义知:log0.5(4x -3p04x 3>04x3 司4x-3>0,一 3即 4<x， 3故原函数的止义域是x|4<x白.x + 1>0(2)由函数有意义知 x+1声164x>0x> 一 1x 为 即1<x<2,且 x 用.x<2故原函数的定义域为x|1<x

9、<0,或0<x<2.练习：已知集合x y log2 x2 ax a R求实数a的取值范围.解析：设 f(x)=x2 ax a,则 y = log2*x),依题意，f(x)>0包成立，；A= a2+4a<0.4<a<0,即 a 的范围为(一4,0)例2.名师一号P27对点自测5(2014重庆卷)函数f(x) =log2以log 及 (2x)的最小值为.解析根据对数运算性质，f(x) = 1og2x 1ogg2 (2x)12 ,=210g2x 2log2(2x) = log2x(1 + log2x) = (log2x) + log2x =lOg2X + ；

10、2 4，当乂 =岑时，函数取得最小值一1.一、/汪忠：换元后“新元”的取值范围.练习：1、求下列函数的值域(1) y=log1(x2 + 2x+4)5答案 1, +S1(2) f(x) = log2x 3log2x? + 2 2双或一 人1解析令t=iog2x, .2今磴 1磷，.函数化为 y=t2 6t+2=(t 3)27''' 1 q司.二当 t= - 1 ,即 X=2时，ymax=9.当 t= 1 ,即 X = 2 时，ymin= 3, .函数的值域为 3,9.2、已知集合y y log2 x2 ax a R求实数a的取值范围.分析当且仅当f(x) =x2 ax-

11、 a的值能够取遍一切正实数 时，y = log2(x2 ax a)的值域才为R.而当A <0时，f(x)>0包成立，仅仅说明函数定义域为R,而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏).要使f(x)能取 遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x轴有交点(但 此时定义域不再为R)正解要使函数y= 10g2(x2 axa)的值域为R,应使f(x) = x2 ax a能取遍一切正数，要使 f(x)=x2ax a能取遍一切正实数，应有A= a2 + 4ai> 0,a0或a0 4,所求a的取值范围为(一00, - 4 U 0, +oo)例3. (1)名师一号P27 对点自测4已知

12、a>0且a力，则函数y=loga(x + 2 015)+2的图象 恒过定点.解析 令x+2 015= 1,即x= 2 014时，y = 2,故其 图象恒过定点(一2 014,2).练习：无论a取何正数(aw1)函数y loga x 33恒过定点.【答案】4,3汪忠：对数函数y loga x a 。，且a 1图象都经过定点（1,0）例3. （2）（补充）如右下图是对数函数 丫 = 1。9寸，y=logbX,y=logcX,y = logdX 的图象，贝U a、b> c、d与1的大小关系是(A. a>b>1>c>dB. b>a>1>d>c

13、C. 1>a>b>c>dD. a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y=1,分别与、交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1),由图可知 c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x=1右侧的部分是 底大图低利用logaa 1 ,图象都经过a,1点，作直线y 1,则该直线与图象的交点的横坐标即为底数 ao例3. (3)名师一号P28高频考点例2(?*y=l呻舁(2014 福建卷)若函数 y = logax(a>0,且a为)的图象如图所示，%则下列函数图象正确

14、的是()答案： B.例 4.名师一号P28 高频考点 例 3已知函数 f(x) = log4(ax2+ 2x + 3).(1)若f(1) = 1,求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解析:(1)= f(1) = 1,.log4(a+ 5)=1,因此 a+ 5 = 4, a= - 1.这时 f(x)=log4(x2+2x+3).由 x2 2x 3>0 得 1<x<3，函数f(x)的定义域为(-1,3).令 g(x)= x2 + 2x+3,则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减.又y= l

15、og4x在(0, + oc)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(1,1),单调递减区间是(1,3).假设存在实数a使f(x)的最小值为0,则h(x) = ax2 + 2x+3应有最小值1,a>0,因此应有3a 1二二 1，-11解彳导a= 2. 1 一 一一，一故存在头数a= 2使f(x)的取小值为0.练习：温故知新P32第5题三、比较大小例1.名师一号P29特色专题典例f 1 电也*已知口三5运二5崛川产二|15 / ，则（）A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>a>b【规范解答】=丁八=5loe>方

16、法1：在同一坐标系中分别作出函数y=log2x, y=log3x, y = log4x的图象，如图所示.41由图象知：log23.4>log310>log4363即 5 %声，> (- > 5gM>故仃*>， j J方法 2: . log310>log33= 1,且0<3.4, 33 log3V<log33.4<log23.4.3log43.6<log44= 1, log3>1, 3log43.6<log310.3log23.4>log310>log43.6.3由于y=5x为增函数,故 a>c>

17、;b.注意：名师一号P28问题探究问题3比较幕、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性.练习:1、若 Ovxvyvl，则()A. 3y<3xB.Iogx3<logy31 x 1 vC. Iog4xv|og4yD.解析：:Ovxvyvl,由y=3u为增函数知3x<3y,排除A;: Iog3u在(0,1)内单调递增，Iog3x<log3y<0, Iogx3>logy3, B 错.由y=log4u为增函数知Iog4x<log4y, C正确.111由y=彳u为减函数知3 0 z V,排除D.答案：c2、对于Ovavl,给出下列四个不等式1 l

18、oga(1 + a)<loga(1 + -)；1 loga(1 + a)>loga(1 + -)；111+-1+a+ava ；a1+%a其中成立的是()A.与B.与C.与D.与答案：D11解析：由于 Ovavi? a<_? 1 + a<1 + , aa1 .lOga(1 + a)>lOga(1+1), ai+a a1a>aa2 .选 D.四、对数方程与不等式例1.（1）（补充）方程 lOg3（X210）=1+ lOg3X 的解是答案x=5解析原方程化为 log3（x2 10）= 10g3（3x）, 在（0, +多上严格单增，则x210=3x,解之得 =2.二

19、,要使1og3x有意义，应有x>0, x = 5.一、/汪忠：由于10g3xx1 =5, x2依据对数函数恒单调求解例1.(2)温故知新P32第9题log2 x x 0已知函数f x3x,且关于x的方程3X0f x x a 0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是练习：温故知新P31第5、6题温故知新P29第10题例 2. (1)(补充)已知 0<a<1, loga(1x)<logax 贝版1A. 0<x<1 B. x<2 C.c 1- 1 .0<x<2D.2Vx<1分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y=logax的单调性脱去对

20、数符号转化为整式不等式求解.解析：: 0<a<1时，y = logax为减函数，1 x>01 原不等式化为x>0,解得0<x<2.1 x>x例2.(2)(补充)设 0<a<1,函数 f(x) =loga(a2x2ax2),贝U使 f(x)<0 的 x取值范围是()A.(0)B. (0, 十 多C. (8, loga3)D. (loga3, + oc)解析：0<a<1 . loga(a2x 2ax 2)<0即 a2x-2aX-2>1. . a2x-2ax-3>0 .ax>3或 ax<1（舍）.

21、.x<loga3,故选 C.汪忠:关于含对数式（或指数式）的不等式求解,一般都是用单调性或换元法求解.例2. （3）名师一号P28高频考点 例2（2）当0<x4时，4x<logax,则a的取值范围是（）A. 0,* B.兴 1 C.（1,的 D.他,2）1解析：由题意得，当0<a<1时，要使得4x<logax 0<x , 即当0<x§时，函数y = 4x的图象在函数v= logax图象的下方.1又当x=2时，42 =2,即函数y=4x的图象过点2, 2 , 把点；，2代入函数y = logax,得a=*,若函数y=4x的 图象在函数y=

22、logax图象的下方，则需乎<a<1（如图所示）.当a>1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是乎，1 .答案：B.练习:当x (1,2)时，不等式(x 1)2 logax恒成立，则实数 a的取值范围是 c分析: 若将不等号两边分别设成两个函数,loga故可以通过观察图象求解。解：设 fi(x) (x 1)2, f2(x)则左边为二次函数，图象是抛物线, 右边为常见的对数函数的图象，则fi(x)的图象为右图 所示的抛物线，要使对一切x (1,2), fi(x)f2(x)恒成立，a 1,观察图象得:lOga2 1只需f2(2)fi(2)即可。故a 1取值范围是a 1 a

23、2 o变式：名师一号P28变式思考2(2)不等式logax>(x 1)2恰有三个整数解，则a的取值范围为()A. 16/5, 94 B. 165, 94)C. (1, 165 D, (1, 94解析:不等式lOgaX>(x 1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a>1,其整数解为2,3,4,loga4> 4 1 2,169则应满足2得凄行也loga5< 51 2,答案:B五、反函数的概念例1.(补充)已知函数f(x) =2x+1(x冷)，记f(x)的反函数为f1(X),那么 f1(5)=()5八1A. B. 4C.4 D. - 2分析：利用函数f(x)及其反函数1(

24、x)的关系求解.解析：设 f 1(4)=a,则 f(a) = 5,a 5 .2+1=3， - a= - 2.汪忠：如果点(a, b)在反函数y=/1(x)的图象上，则点(b, a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称例2.(补充)函数y= lg(x +1)的反函数的图象为()解析：.函数y = lg(x + 1)的图象过点(0,0),故反函数图象过点(0,0),排除A、B、C,选D.练习：如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数 函数图象的公共点，那么称这个点为 世博点”.在下面的五 一_1 .个点 M(1,1), N(1,2), P(2,1), Q(2,2)

25、, G(2, 1)中，世博点”的个数为()A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个答案B解析二.指数函数与同底的对数函数的图象关于直 线y = x对称，故若它们有交点，则交点一定在直线 y=x上，而M(1,1)不适合题意，故只有点 Q满足题意. 计时双基练P226培优第1题六、指数、对数函数的综合问题第11周周练第13题设a 1,则当y ax与y log a x两个函数图像有且只有一个公共点时，ln ln a答案：-1第11周周练第10题课后作业计时双基练P225基础1-9课本P28变式思考1、2、3;二、计时双基练P226基础10、11;培优1-4课本P29对应训练1、2预习 第二章 第五节 幂函数与二次函数补充练习 1:已知函数 y 4x 3 2x 3 的值域为 1,7 ，则 x 的范围是( )A. 2,4B. (,0)C. (0,1)2,4 D.,01,2答案 :D练习 2:已知方程9x 2 3x