定积分的证明题44题

1、题目1证明题 容易d x证明 一 (x -t) f (t)dt = f (x) 一 f (a) dx a题目2证明题容易利用积分中值定理证明：lim 4sinnxdx=0 n )0 0题目3证明题一般b设函数 f(x)在a,b内可导,且 f(a) =0J f(x)dx = 0 a证明：在a,b内至少存在一点亡使f区)=0。题目4证明题一般设f (x) = f (x +a),naa证明：当n为正整数时° f (x)dx = n 0 f (x)dx题目5证明题11证明：0xm(1-x)ndx=0xn(1-x)mdx题目6证明题一般设f (x)在a,b上有定义，且对a,b上任意两点x, y

2、,有 f (x) - f (y) E|x - y.则f (x)在a,b上可积，且b,，一12a f (x)dx (ba)f(a) <-(b-a)。题目7证明题一般设f (x)在a,b上的连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f (b) =0.b2证明：4 1 f (x) dx <M (b - a)，其中 M = sup f '(x)。a-x :b题目8证明题一般之，设f (x)在a,b上正值，连续，则在(a,b)内至少存在一点b1 b使 f(x)dx = f (x)dx = f (x)dxa-2 a题目9证明题一般证明：0< 户sinn噂xdx< 户sinn

3、xdx。题目10证明题一般1 1 dx 二求证:一 < f； <一 。00.232 4 -x x 6题目14证明题般题目11证明题一般设f (x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。题目12证明题 一般若函数f (x)在0,1上连续，a 321 a2证明：°x f (x )dx=5 ° xf (x)dx (a 0)。题目13证明题一般设函数f(x)和g(x)在a,b上连续,b2证明：f(x)g(x)dxa- 2b 2f (x)dx g g (x)dx 。a设f (x)在0,1上连续，证明：02 f (

4、sin 2 )cos d = 04 f (sin2 )(cos ： sin ： )d ：题目15证明题一般设 f (x)在a,b上可导，且 f '(x) EM, f(a) =0,一 bMc证明：f (x)dx < (b - a)。题目16证明题一般设 f(x)在Q2a,(a >0)上连续， 2aa证明：I f (x)dx = 口 f (x)十 f (2a -x)dx题目17证明题一般设k为正整数，证明：(1) 1%os2 kxdx = n ;(2)/sin 2kxdx = n 。题目18证明题设f(x)在0,1上有一阶连续导数.且f(1) - f(0) =1.i2试证:。f

5、 (x) dx _1。题目19证明题一般若m为正整数，TEf2 cosm xdx 。- 01证明：2 cos x sin xdx =-02m题目#证明题一般若函数f(x)在区间a,b上连续， bb则 a f (x)dx =(b a) fa (b -a)xdx题目21证明题一般设函数f(x)在0,1上连续，_1 2 -证明：02 f (cosx)dx =z |0 f (cosx )dx。题目22证明题一般x若函数f(x)在Rt续,且f(x)=f(t)dt,则f(x)三0 a题目23证明题一般设f(x)是以n为周期的连续函数，2 -证明:0 (sinx +x)f (x)dx= J0 (2x + .

6、)f (x)dx。题目24证明题一般设f(x)在0,1上连续且单调递减，试证明：对于任何qw 0,1,都有不等式q1、10 f (x)dx >q f f (x)dx成立。题目25证明题一般设f (x)在a,b上单调增加.且f x)>0.证明:(b -a) f (a):二 a f (x)dx ： (b - a) (a) (b) 题目#证明题一般设函数f(x)在a, b上连续且单调递增。1 xF(x) = f (t)dt ,(a < x<b) x - a aF(a) = f(a),证明：5仪)在32上单调增.。题目27证明题一般设f (x)在a,b上二阶可导且f "

7、;(x) oO, ba b证明：a f (x)dx <(b -a) f ( 2 ) °题目28证明题一般设f (x)在a,b上连续，在a,b可导，且f'(x)<0,证明函数x f (t) F(x)dta x - a在(a,b)内满足 F '(x) <0 。题目29证明题一般试证：如果f(x)在a,b上连续，且对于一切xwa,b, f(x) >0-一 b同时至少存在一点tea,b,使f(W)A0,则f(x)dx>0。 a题目30证明题一般bc _a试证 f f (c x)dx = f f (x)dx 。-a-c _b题目31证明题 一般设函

8、数f(x)在0,1上可微，且满足等式：1f (1) -2 02 xf(x)dx =0试证在(0,1)内至少存在一点 J使£仁)=-2。题目#证明题一般设f(x)在a,b上连续，并且对于每一个在a,bb上的连续函数g(x).都有g(x) f(x)dx = 0证明：f (x) = 0 (a < x < b)。题目33证明题难设函数f(x)在a,b上有连续导数f'(x,且f(a) = 0,bb - a b 12则f (x) f '(x)| dx < 2a f (x) dx。题目#证明题难设f(x)在a,b上二阶连续可微，其中a<0<b,则在该区

9、间上必存在一个使b1f(x)dx =bf(b) -af (a)b2 f (b) -a2f a2!1 .+(b3 _a3)f 仁 0) 03!题目35证明题难若f(x)关于x =T对称，且a<T cb,bb2T b则 la f (x)dx = 2 |T f (x)dx+|af (x)dx题目37证明题难1 x4dx=.o1 x4dx =JI2. 2题目37证明题难证明奇函数的一切原函数皆为偶函数, 偶函数的原函数中有一为奇函数。题目#证明题难,x 1f(t)dtdtb f(t)x设f (x)在a,b上连续，且 f(x) >0,又 F(x)= f a证明：F (x) = 04 a, b内有且仅有一个实根。题目39证明题难a ra2 1f (x +)-dx。1x xaa2 1证明：当 a>1 时，有 f f (x +)-dx =1x x1题目40证明题难若函数f (x)在0,+好连续，且lim f (x) = A, x .二则:1 x lim x"J x 0f (t)dt = A。题目41证明题难b证明：右 ff (x)dx =0则f (x) =0xa,b0a题目#证明题难设函数f(x)在a,b上连续，1 x证明：limf (t h) - f (t)dt = f(x) - f(a) (a :二