第四章 信号分析

1、第四章 信号分析第四章 信号分析为诊断故障而测的信号多是时间历程函数，为了更充分的利用所测信号，有必要从多个侧面对它进行加工处理，这个过程就是信号分析与处理。目前信号分析处理的方法很多，在这里详细介绍了目前已经应用和正在应用研究中的信号处理方法，包括时域分析、频域分析、时间序列分析、Winger分析、短时Fourier分析、小波分析、分形几何、混沌。信号从不同角度可以有不同的划分，不同的分类标准反映了信号的不同侧面。根据能否用明确的数学表达式描述信号，可将信号分为：确定性信号和不确定性信号随机信号。确定性信号能用数学表达式进行描述，其又可分为周期性信号和非周期性信号。随机信号是指单次试验发生与

2、否不能事先确定，而在大量的重复试验中表现出某种统计特性的一类信号。根据统计特性的不同，又可将随机信号分为平稳随机信号和非平稳随机信号。平稳随机信号是指其统计特性不随时间起点的变化而改变的一类信号，其中，若信号的各阶矩都不随时间的变化而改变，则此信号是严平稳（强平稳的）；如果信号的统计特性中只有均值和方差不随时间的变化而改变，则此信号是宽平稳的（弱平稳的）。4.1时域分析从机组监测系统采集的信号首先是时间上的函数，因此对信号进行时域上的处理具有很直接的物理意义。若对这样的时间历程函数直接实行各种运算的结果仍属于时域范畴，那么这样的分析运算就称为时域分析。时域分析有统计特征量分析、相关分析等。4.

3、1.1统计特征量分析统计特征参量分析又称为信号幅值域分析，在各态历经的假设前提下，对随机过程的分析便变为对其任一样本的统计分析。1.概率与概率分布概率密度函数定义为信号幅值为的概率，其数学表达式为 （4-1） 式中 -样本长度-信号幅直落在和之间的时间和。对于正态分布过程，其概率密度函数为 （4-2）式中 -数学期望标准差概率密度函数可直接用于机组的故障诊断。机组运行过程中正常和异常的振动信号的概率密度不一样。概率分布函数是信号幅值不大于某一值x的概率，其数学表达式为 （4-3）2. 有效值（均方根值）、均方值以及均值对振动而言，其有效值与振动能量相对应，其数学表达式为 （4-4a）其离散化计

4、算公式为 （4-4b）均值又称一次矩，它描述了信号的平均变化情况，代表信号的静态部分或直流分量。其数学表达式为 （4-5a）其离散化计算公式为 （4-5b）均方值反映了信号相对于零值的波动情况，表示信号的平均能量，其数学表达式为 ： （4-6a）对公式4-6a进行离散化为： （4-6b） 3.方差和标准差方差用来描述信号相对于其均值的波动情况，反映信号的动态分量，其数学表达式为: （4-7a）将其离散化为： （4-7b）方差的开方称为标准差，用表示， （4-8a）即其离散化的计算公式为 （4-8b）由于平稳信号的方差比较小，对于机组而言，当机组运行正常时，采集的信号多为平稳信号。因此，可以利用

5、这一特性粗略地进行诊断。4.偏态指标和峭度指标偏态指标和峭度指标用来描述信号偏差正态分布的程度，偏态指标对信号分布的影响如图4-1a，峭度指标影响如图4-1b。偏态指标 （4-9a）对其离散化为： （4-9b）（a） (b)图4-1偏态指标和峭度指标对P(x)的影响(a)偏态指标；(b)峭度指标峭度指标： （4-10a）对其离散化为： （4-10b）从图4-1可以看出，当,的绝对值越大，信号偏离正态分布的程度越大。若信号为反映机组状态的参量，则可利用偏态指标和峭度指标来近似描述机组偏离正常的程度。5.其它无量纲指标除上述统计特征参量外，在水电机组故障诊断中还采用了其它一些无量纲的指标。这些无量

6、纲指标都具有以下基本特性：对机组运行状态足够敏感，当机组运行状态的变化引起所测参数发生变化时，这些无量纲指标已有更明显的变化。无量纲指标有波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标，它们都是由信号的幅值参数演化而来的。a)波形指标K （4-11）b)峰值指标C （4-12）c)脉冲指标I （4-13）d)裕度指标L （4-14）式中 -方根幅值，其值为绝对平均幅值 其值为峰值，其值为4.1.2相关分析相关分析是信号时域分析的主要方法，用于分析两个信号之间的关系以及单信号在一定时移前后之间的关系，因此，相关分析又称为时延域分析。其是提取信号中周期成分的常用手段。相关分析包括自相关分析和互相关分析。1

7、.相关系数当两个变量之间存在某种关系，当某一个变量取值一定，而另一变量可以取许多不同值，但是取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量之间存在相关关系。对于变量x,y之间的相关程度常用相关系数： （4-15） 式中 E数学期望 随机变量x的均值，2.信号自相关分析自相关函数描述的是同一信号中不同时刻的相互依赖关系。假如信号x(t)是某各态历经随机过程的一个样本纪录，是时移后的样本。 （4-16）自相关函数的定义式为： （4-17）则 （4-18）对自相关函数进行离散化为 （4-19）式中 -采样点数（样本长度）；-时延数；-时序号。自相关函数具有如下性质：a) 由式4-18得 （4-20）因

8、为，所以 （4-21）b)为实偶函数，即因此作图时只需画出为正的一半即可。c)自相关函数在时值最大，等于信号的均方值，即。d)自相关函数不改变信号的周期性。对于非周期函数的随机信号而言，频带越宽衰减愈快，而周期信号的自相关函数，当时也不为零。因此，自相关函数的这一性质常用于提取随机信号中的周期成分。3.互相关分析信号x(t)与y(t)之间的互相关系数为： （4-22）互相关函数描述的是两个不同信号不同时刻的相互依赖关系。互相关函数的定义式为： （4-23）其离散化计算公式为： （4-24）互相关函数的性质如下： a）由于，所以 （4-25）b)互相关函数是实值函数，可正可负。当时，称x(t)与

9、y(t)不相关；而当时，表示x(t)与y(t)完全相关。C)互相关函数是反对称函数，即互相关函数的这些性质使其在机组故障诊断的信号处理中具有一定的应用价值。它在噪声背景下提取有用信息十分有效，而且这种方法被称为相关滤波。4.2频域分析用于机组故障诊断的原始信号一般是时间历程函数，因此如果对这些信号进行其它分析，就需要从时域到频域的转换工具。一般常用的数学工具是付里叶变换及其快速算法、从实变函数域到复变函属域的拉普拉斯变换、从连续域到离散域的Z变换以及希尔伯特变换。4.2.1数学变换工具4.2.1.1付里叶(Fourier)变换付里叶变换，即从时域到频域的变换或其逆变换，是频谱分析的工具。1.付

10、里叶级数与积分若满足 ，则称为周期函数，而最小正数T称为周期。根据付里叶级数理论，对于任何一个周期为T的周期函数，如果在上满足狄利赫利条件，即函数在上满足：1）连续或只有有限个第一类间断点；2）只有有限个极值点。则可展开为如下的付里叶级数： （4-26） 式中以上展开式称为周期函数的付里叶级数，其中为付里叶系数。在信号处理中，这种展开又叫做频谱分析，其中常数表示信号的静态部分，成为直流分量，而、依次叫做一次谐波、二次谐波、次谐波。根据欧拉公式 （4-27）可将式4-26改写成: （4-28） 若令 把和统一来表示，即 (n=0,±1,±2,) （4-29）得到 （4-30）

11、式4-30就是付里叶级数的复指数形式。在式4-30中，的模直接反映了n次谐波幅值大小，而的幅角则反映n次谐波的相位。付里叶级数是对周期函数信号进行频率分析的有效工具，它以角频率为横坐标，分别以幅值和相角为纵坐标作图，形成幅频图和相频图，从而可以对各次谐波分量加以研究。由于付里叶级数展开式所形成的是离散频谱，当宽度保持不变而周期增加时，因，故必然缩小，离散谱线加密，当时，离散的频谱就变成了连续频谱，该周期函数也演变为非周期函数。任何一个非周期函数都可以看作是由周期为（时）的函数。因此，可以用周期函数的频谱分析方法来分析非周期函数。令，式4-30就可看作为的展开式，即 （4-31）令当时，积分式的

12、积分上下限变成和变成。离散的频率分布沿整个轴上密布，变成连续的分布；和式又是无限累加，可以把这一和式看成积分 （4-32）这就是非周期函数的展开式，称为付里叶积分公式。付里叶积分的存在条件由付氏定理确定，即函数分段连续，且在区间上绝对可积。2.付里叶变换在式中，是定义在上绝对可积的函数，无穷积分 （4-33）叫做的付里叶变换，常记作，其中称为的象函数，是实变量的复函数；称为的原函数，是实变函数。由于工程上习惯用频率为自变量，上述付里叶变换公式可以写成另一种常用形式，即： （4-34）由于付里叶变换是一对一的变换，所以存在逆变换，设是的实变量的复变函数，则无穷积分 （4-35）称为付里叶逆变换，

13、常记作。上式也可写作 （4-36）在频率分析中，称为的谱函数谱特性或谱密度函数。付里叶变换的基本性质：（1）线性性质 若分别是，且都是常数，则有 （4-37）同理有 （4-38）该性质表明付理叶变换适用于线性系统的分析；时域上的叠加对应于频域上的叠加。 （2）相似性质若，且为实数则有比例尺度变化： （4-39a）频率尺度变化： （4-39b）该性质表明：快录慢放可以提高频率的分辨力（对时间尺度变化而言）。 （3）位移性质 若将时间函数沿时间轴平移，则需乘以；反之，若时间函数乘以，则将平移。信号处理中的细化技术多采用了上述复调制性质。（4）对称性质 如果是偶函数，则也是偶函数；如果是奇函数，则也

14、是奇函数。（5）帕斯维尔定理 （4-40）（6）乘积与卷积 两个函数之积的付里叶变换等于这两个函数付里叶变换的卷积；反之，两个函数卷积的付里叶变换等于两个函数的付里叶变换的乘积。即若则有 （4-41） （4-42）卷积运算是滤波计算及系统的输入输出分析等的数学工具，其数学表达式为， （4-43）（7）微分性质和积分性质微分性质 （4-44）推论 （4-45）积分性质 （4-46）由于机组振动传感器采集的信号含有位移、速度以及加速度，所以加速度、速度和位移函数之间的付里叶变换即利用了上述性质3.离散付里叶变换（DFT）连续付里叶变化的离散化实现过程就是所谓的付里叶离散变换，简称DFT（Discr

15、ete Fourier Transform）。连续时间信号在上经过变换后，得到长度为的时间序列，其中为采样频率，满足采样定理，即分析信号的最高频率，则付里叶变换式为： （4-47）在实际运算中，由于只能对有限项计算，因此，必须对连续无限项的频率抽取离散值，以便与时域采样相对应，取，结果把信号以为周期加周期延拓。对该周期离散信号进行付里叶变换 （4-48）用表示，表示，并省略，则有 （4-49） （4-50）式中n 时序号k 频序号上式表明：是以为周期的周期函数，因此只须计算个值就行了。离散付里叶变换是一个可逆过程，因此，可以借助其逆变换重复原时间序列。离散付里叶变换简记为“IDFT（Inver

16、se Discrete Fourier Transform）”,其定义式为 。 （4-51）若对IDFT式取两次共轭，其形式就与DFT统一起来了。即 （4-52） DFT具有线性性质、时移性质、频移性质、对称性质、共轭性质、奇偶性质等基本性质，并满足卷积定理和帕斯维尔定理。4.快速付里叶变换（FFT）DFT为离散信号的分析处理从理论上提供了变换工具，而快速付里叶变换则是作为一种快速算法而发展起来的。目前，该算法已在数字序列的频谱分析、数字滤波、相关技术以及数字网络综合分析方面得到了广泛应用。基2时间选抽算法是1965年由Cooley和Tukey提出来的，所以又称为Cooley-Tukey算法，

17、简记为DIT，该算法的基本原理如下：若时间序列，长度时，则原序列可以分成含有偶函数点和含有奇函数点的两个点的序列，即偶序列：奇序列：因此，的点DFT可写成 （4-53）所以 （4-54）式4-54是从0到之间的点序列的前一半，序列的后一半，由于和得 （4-55）FFT算法的基本公式为 （4-56）上式的运算称为“蝶形运算”，因为它的流程图形状犹如蝴蝶，如图4-2所示。 图4-2 蝶形运算由于所以仍可以被2整除，因此，和的计算又可以按奇偶分解为两个点的来得到。如此继续分解下去，直至没有必要再分解为止，则总共可以进行次分解，而最后一次，每个蝶形只有一次加（减）法而没有乘法，这样的分解结果，最后只需

18、次复数乘法和次复数加法，比直接算法的次复数乘法和次加法的运算量大为减少4.2.1.2拉普拉斯变换(Laplace Transform)设是定义在上的实值函数，则无穷积分 （4-57）叫做的Laplace变换,简称拉氏变换，记作。叫做的象函数，叫做的原函数。设是的复变函数，无穷积分 （4-58）叫做的拉氏逆变换，记作，其中为大于零的实变数。定理4.1 若函数满足下列条件：当时，；在的任意有限区间上分段连续；随着的增大，存在、实常数使得成立，称为增长指数。则的拉氏变换在半平面上一定存在，这时该式右端积分绝对一致收敛，且在半平面内为解析函数。拉氏变换具有线性性质、微分性质、积分性质、相似性质、位移性

19、质以及延迟性质。这些性质在拉氏变换时具有简化计算的作用。（1）线性性质 （4-59）（2）延迟性质 若，且时，则有 （4-60）（3）积分性质 （4-61a） （4-61b）（4）微分性质 （4-62a）推论： （4-62b）当初始值时时，则有 , （4-62c） （5）相似性质 （4-63）该性质表明,当放大或缩小若干倍后，其象函数（或原函数）形式不变,只是相对的缩小或放大相同的倍数。（6）位移性质 （4-64）4.2.1.3希尔伯特变换希尔伯特变换是一种线性变换，意义在于它揭示了可实现的系统函数其实部与虚部之间的相互依赖关系，它构成了一个希尔伯特变换对。在机械故障诊断方面许多工作者正在积极

20、探索它的应用。设有实值函数，,它的希尔伯特变换定义为 （4-65）常记作。即是函数与的卷积，故可写成 （4-66）希尔伯特变换的性质可以简化运算。线性 若且为任意常数，则有 （4-67）位移性 （4-68）希尔伯特变换的二重变换 （4-69）两重希尔伯特变换的结果仅是原函数加一负号。推论： （4-70）奇偶性如果原函数是的偶（奇）函数，则其希尔伯特变换就是的奇（偶）函数相似性 ，为常数 （4-71）正交性 （4-72）能量守恒由帕斯维尔定理可知： （4-73）（8）卷积性质 （4-74a）希尔伯特逆变换公式为： （4-74b）4.2.2频域分析对于机组故障诊断而言，时域分析往往只能粗略地提供类

21、似机组是否有故障的信息，不能提供故障发生部位等信息。一般用作简易诊断。对故障进行定位方法就是进行信号的频域分析。所谓频域分析，即是把以时间为横坐标的时域信号通过付里叶变换分解为以频率为横坐标的频域信号，从而求得关于原时域信号频率成分的幅值和相位信息的一种分析方法。通过对各频率成分的分析，对照机组各部件运行时的特征频率，查找故障源。4.2.2.1幅值谱分析幅值谱分析就是直接对采样所得的时域信号进行付里叶变换，求得关于该时域信号的频率构成信息，其数学运算式为 （4-75）式中 时域信号（振动加速度、速度或位移）；信号的幅值谱，是以频率为自变量的复值函数。周期信号经过付里叶变换后的复值谱是离散谱，构

22、成信号的频率成分是基波及其各次谐波分量。非周期信号变换后的幅值谱是连续谱，即信号连续的分布在一定的范围内。但是通过FFT数值计算所得的频谱都是离散谱。4.2.2.2功率谱分析功率谱是在频域中对信号能量或功率分布情况的描述，包括自功率谱和互功率谱。 由帕斯维尔定理可以推知，信号的幅值谱与自功率谱之间存在如下的对应关系 （4-76） 其离散化采样的计算公式为 （4-77）式中 N-采样长度。 设有时间历程信号和，它们的自相关函数和互相关函数分别为、，则由维纳一辛钦定理可得 （4-78） 其中，和称为信号和的自功率谱密度函数，简称自谱，为互功率谱密度函数，简称互谱。由于和之间是付里叶变换对的关系，两

23、者是唯一对应的，中包含着的全部信息。因为是实偶函数，也是实偶函数。因此常用f=0的单边功率谱来表示。 （4-79a） （4-79b） （4-79c）由于自相关函数为实偶函数，因此，自谱函数即为实谱函数，所以： （4-80）反之，自相关函数也可表示为 （4-81）同理可得 （4-82）当时，则根据和的定义有 （4-83）信号的自功率谱密度函数下的总面积就是信号的平均功率。4.2.2.3相干函数相干函数的定义为： （4-84） (4-85)其中是的共轭复数。表示两个信号在频率下不相干；而则表示两个信号在频率下完全相干。由于互功率谱函数是实变量的复值函数，因此可以将之表示为 (4-86)式中 共谱密

24、度；重谱密度。4.2.2.4.频域统计特征量频域统计特征量主要有谱图的均方频率、谱重心、谱方差以及谱的一步自相关等。即：a)谱的均方频率： （4-87a）离散化表示： （4-87b）b)谱重心： （4-88a）离散化表示： （4-88b）c)谱方差： （4-89a）离散化表示： （4-89b）谱的均方频率与谱重心描述的是频谱谱线能量偏离零频率的程度，当谱的均方频率与谱重心较小时，表示频谱能量主要集中在低频段，反之，在高频段。4.2.2.5倒频谱分析倒频谱就是对功率谱的对数值进行付里叶逆变换的结果，用来表示功率谱的倒频谱，即有 （4-90）式中 倒频率(quefrency)，为时间量纲。对功率谱

25、作倒频谱变换的根本原因是，在倒频谱上可以较容易地识别信号的组成分量与提取其中我们所关心的成分。倒频谱的作用就是将复杂的卷积关系变成简单的线性叠加。对卷积式两边取付里叶变换，可得： （4-91）功率谱的关系式： （4-92）两边取对数，有 (4-93)对上式两边进行付里叶逆变换可得 (4-94)即 ： (4-95)4.3时间序列分析时间序列即指离散的采样信号，通常是一个随机过程，仍按原采样先后的次序排列，这种排列中包含了机组状态的信息。时间序列的参数模型分析及其谱估计是近年来受到重视的一项新技术。由于快速付里叶变换方法存在几个固有的缺陷，其中最突出的是频率分辨力受到采样长度的限制，其次是数据截取

26、加窗的影响，在频率中表现为能量的“泄漏”。特别是在短数据记录的情况下更为突出，而实际中机组故障源信号等只有很短的数据可用于分析。因而发展一种适于短数据序列的分析处理方法，即时序分析方法。相比于FFT谱分析，时序分析方法称为现代谱分析方法。4.3.1时间序列分析概述时间序列分析简称时序分析，它把依某一规律变化的信号(数据)看成是依时间变化而变化的先后有序的数据，在一定的假设前提下，依据某一准则建立起数学模型，以此对原时间序列或对产生这一时间序列的系统进行分析辨识。由于机组运行的动态过程十分复杂，很难从观测数据直接分析系统的变化，所以需要建立一个数学模型对系统作最本质的描述。时序分析的主要目的是通

27、过分析和认识过程特征，更深刻了解机组运行的过程规律，判断机组工况状态的变化趋势。时序分析主要应用于机组工况监视，对在机组故障诊断方面的应用研究正在进行中。时间序列分析是数理统计学科的一个重要分支，是分析随机过程的一个重要数学工具，分析处理的动态数据应该满足各态历经性假设。在机组故障诊断系统中，往往不对动态数据进行检验，而直接用所得数据建立时序分析数学模型，只要经检验残差满足白噪声条件，即说明前面所得的数学模型适用。4.3.2时序分析的数学模型目前在时序分析领域中，应用较广两类的最基本的数学模型为自回归滑动平均模型（ARMA模型）和自回归模型（AR模型）。其它的还有双线性模型、门限自回归模型、指

28、数自回归模型、状态依赖模型等。4.3.2.1ARMA(n，m)模型(自回归滑动平均模型：Auto Regression Moving Average)自回归滑动平均模型简称ARMA模型，该模型对于零均值的平稳正态时间序列的处理具有代表性。该模型可用如下的差分方程来描述：假设满足各态历经性假设的随机数据为，它们之间的相互依赖关系满足如下方程，即： (4-96) (4-97)此即阶自回归阶滑动平均模型，简记为ARMA（）模型，式中称为模型的自回归部分(AR)的阶次，称为模型的滑动平均部分（MA）的阶次。式中，、简称为自回归系数，称为滑动平均系数，残差、，均为零均值白噪声序列，即满足 ， (4-98

29、)式中，为一常数，称为的方差，为离散的或Kroncker 函数，即 (4-99)引入后移算子B，则ARMA模型可表示为： (4-100)式中 (4-101a) （4-101b）同时可以用传递函数来表示 （4-102）因此ARMA(n,m)模型的序列可以视为一个传递函数的系统在白噪声激励下的响应。ARMA模型表明，当前时刻的取值不仅与前个取值，有关，而且还与前个时刻的随机干扰，有关。若m=0，就可以不考虑序列对数据序列的影响，认为系统的主要信息都用观测值本身的相关性描述。当时,ARMA模型即退化为AR模型，即 （4-103）此时表明，当前时刻的取值只与其前个时刻的取值，和当前时刻的随机干扰有关。

30、4.3.2.2特征函数与特征值设AR模型的特征根为，这些特征根就是AR模型的极点，它决定了系统的稳定性，AR模型的渐进性稳定条件为：, （4-104）若ARMA模型是稳定的，对传递函数进行变换可得： （4-105）称Gk(k=0,1,)为格林函数。格林函数反映的是系统受到单位脉冲作用后的响应序列。格林函数的计算式： （4-106a） (4-106b)其中与分别是模型的自回归部分不重特征根和滑动部分特征根，满足, 。4.3.3时间序列分析在故障诊断中的应用4.3.3.1用以求机组系统的频响函数及信号的频率构成信息机组系统的频率响应函数表征了机组系统的频域特性，其定义为Green函数的付里叶变换：

31、 (4-107)信号自谱定义为自协方差函数的付里叶变换： (4-108)式中，为自协方差函数，其定义为 (4-109)对于零均值平稳系列，有： (4-110)4.3.3.2模式识别时间序列诊断的实质就是利用时序方法对检测信号进行模式识别。设有K种典型故障，每种故障可以用n个特征参数构成一个特征向量，式中R表示由典型故障原因构成的，典型故障的特征矩阵： (4-111)矩阵元素为第j种典型故障所建立的AR模型的第I个特征参数组成。对于M组待检数据，可建立M个对应的AR模型而构成待检特征矩阵： (4-112)利用时间序列进行模式识别原理如图：待检模式判别函数典型故障模式图4-3模式识别原理计算出待检

32、模式与K个典型故障模式矢量之间距离函数的计算，可得到一个距离值的序列： （4-113）对距离值进行从小到大的排序，该排序说明了待检模式属于某种故障的可能性大小。判别函数又称为距离函数，分为几何距离和信息距离函数，对于这两种函数的计算见第五章。4.3.3.3趋势分析若序列,.,为平稳时间序列，以Xt表示，该序列表示在t时刻及其以前机组的状态观测值的记录，对该观测序列的t+k步作出某种最优意义的估计，称为该估计值为t时刻k步预报。由于选择的是最优估计，所以有许多最优准则供选择，准则不同，预报值也不一样，常用的有线性预报、线性最小方差预报和条件均值预报。（1）线性预报设序列,.,为平稳时间序列，它的

33、AR(n)模型为： （4-114）根据推导，可得其下一步预测值为 (4-115)其第步预测值为 (4-116)当k=n时 (4-117)当k>n时 (4-118)（2）线性最小方差估计 (4-119)若以及其它预报函数均，恒满足下式 (4-120)则称为t时刻的最小方差预报。 (4-121)为k步预报误差。（3）条件均值预报假设Xt与xt+k的联合密度函数已知为p(X,x),则在获得观测序列Xt的条件下，xt+k的条件预报值为： （4-122）4.4时频分析4.4.1时频分析的基本概念和分析思想基于Fourier变换的信号频域表示及信号能量在频域的分布揭示了信号频域的特征，其在信号处理方

34、面具有一定的优势。但是，Fourier变换是一种整体变换，信号的表示要么是时域，要么是频域，频域的特征谱无法给出谱变化的时间和变化情况，因此，寻求一种可以对时域和频域联合表示的信号处理工具就非常必要，而这种时域频域联合的函数称为时频表示。典型的时频表示有短时Fourier分析、Gabor 变换、Winger等等。用T(t,)标记时频表示，P(t, )表示时频分布。令s(t)表示实非平稳信号，将s(t)转换成复信号z(t)的一般方法是：令s(t)=|z(t)|cos(t)，加入一个虚拟信号x(t)作为复信号的虚部，即 （4-123）r(t)称为复信号的瞬时幅值，(t)为瞬时相位。由于实信号的频谱

35、为共轭对称，剔除负频部分不会造成任何信息损失，也不会带来任何虚假信息，因此复信号的频谱可以表示为： （4-124）式中的H()为奇对称的阶跃式传输函数，即 （4-125）非平稳信号分析中，瞬时频率和群延迟是比较重要的两个物理量。常说的频率指： （4-126）从物理学的角度，信号可以分为单分量信号和多分量信号。单分量信号在任意时刻都只有一个频率，该频率称为信号的瞬时频率。而多分量信号在任意时刻各分量都具有各自的瞬时频率。信号s(t)的瞬时频率定义为： （4-127）时频分析的基本任务是建立一个函数，要求此函数不仅能同时用时间和频率描述信号的能量密度，还可以以同样的方式用来计算任何密度。能量密度或

36、瞬时功率：|s(t)|2=在时间t，每单位时间内的强度或者能量。 在时间t，时间内的部分能量。频率密度和能量密度频谱：在频率，每单位频率内的能量或者强度。 在频率，在频率间隔内的部份能量。寻求一种联合密度分布函数，使 =在时间t和频率的强度或者能量在时间t和频率，在时-频单元内的部分能量 的边缘分布满足： （4-128） （4-129）的全积分满足： （4-130）分布的总能量等于信号的总能量。信号的一阶混合矩： （4-131）位移性： 如果，则 如果，则 如果，则或4.4.2短时付里叶变换定义：； （4-132a）； （4-132b）对信号在时间t进行加窗处理，产生的信号为： （4-133）

37、因为改变的信号加强了围绕着时间t的信号，付里叶变换为： （4-134）在时间t的时频能量密度频谱为： （4-135）不同的时间t形成不同的频谱，称之为频谱图。上面所给出的是短时付氏变换，同样的也可以研究某特定频率附近的信号，也就是对频域信号进行加窗处理，称之为短频时间变换。用频率窗函数给频谱加窗，并进行付氏反变换得： （4-136）由于，所以： （4-137）因此，可以利用短频时间变换或短时付氏变换来定义联合密度分布： （4-138）同样可以得到频谱图的特征函数： （4-139）其中 （4-140）通过对全部时间和频率范围内积分，就可以得到信号的总能量，信号的能量计算可以通过两种方法得到： （

38、4-141） （4-142）应用信号边缘分布的计算可得： 时间边缘 （4-143）频率边缘 （4-144）由于使用频谱图得到的各物理量都产生了信号与窗的关联，但是一般希望以上各基本结果与窗无关，当窗变窄，会得到越来越好的估计。但是当时，有： （4-145）或 当窗口变窄，增加了信号的时间分辨率，但是相应地也加大了标准偏差，因此应该寻找一个最优窗来满足上述的要求。通过应用不确定原理进行推理，最后得到： 最佳窗宽度 （4-146）4.4.3Winger分布Winger分布是由Ville引入到信号分析中的，并根据特征函数方法推导出来Winger分布。信号或者频谱的定义为： （4-147）Winger分布对与信号为双线性表示。Winger分布的特征函数为：