方程的根与函数的零点(第一课时)李进荣

1、 3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点芳草湖总场中学芳草湖总场中学 李进荣李进荣3.1.1方程的根与函数的零点约公元50-100年前编成的九章算术给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求根方法13世纪，南宋数学家秦九韶秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法3.1.1方程的根与函数的零点19世纪挪威数学家阿贝尔阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有求根公式阿拉伯数学家花拉子米花拉子米的还原与对消计算概要第一次给出了一元二次程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明 3.1.1方程的根与函数的零点问题问题1 1：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点

2、和相应方程的根有何关系？轴交点和相应方程的根有何关系？x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点xy01321121234xy0132112543yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1方程方程函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点x22x3=0y= x22x+3 3.1.1方程的根与函数的零点问题问题2 2：二次函数的图象与二次函数的图象与x x轴交点和相应二次方程的根有何关系轴交点和相应二次方程的根有何关系? ?方程方程axax2 2 + +

3、bx+c=0bx+c=0(a(a 0)0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx+bx+c(a+c(a 0)0)的图象的图象判别式判别式 =b =b2 24ac4ac0=00函数的图象函数的图象与与 x x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2没有实数根没有实数根结论：结论：二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。3.1.1方程的根与函数的零点3.1

4、.1方程的根与函数的零点一、函数零点的定义对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0f(x)=0的的实数实数叫作函数叫作函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点(zero point).(zero point).特别注意：零点不是点，零点是实数特别注意：零点不是点，零点是实数例例1、求下列函数的零点、求下列函数的零点2(1) (x)= -x -+f2x 3 2(2) f(x)=log x12= -3 x =1x=1x归纳：求零点的方法归纳：求零点的方法 （1）方程法）方程法 （2）图象发）图象发 3.1.1方程的根与函数的零点一、方程的根与函数零点的关系区别：零点

5、对于函数而言，根对于方程而言区别：零点对于函数而言，根对于方程而言3.1.1方程的根与函数的零点问题问题3 3：现在有两组镜头（如图所示），哪一组镜头能说明人的行现在有两组镜头（如图所示），哪一组镜头能说明人的行程一定曾渡过河程一定曾渡过河? ?第第组组第第组组河河 流流河河 流流河河 流流河河 流流3.1.1方程的根与函数的零点问题问题3 3：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为a、b两点。请问当a、b与x轴怎样的位置关系时，ab间的一段连续不断连续不断的函数图象与x轴一定会有交点?x问题问题4 4：a a、b b与与x x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示轴的位置关系，如何用数学

6、符号（式子）来表示? ?( )( )0f af baboy3.1.1方程的根与函数的零点二、函数零点的存在性定理如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的的一条曲线，并且有一条曲线，并且有f(a) f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内内有有零点零点即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就方程也就方程f(x)=0的根的根 xyoabc3.1.1方程的根与函数的零点辨析辨析1 1：若函数y=f(x)在区间a,b上不连续，但f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定没有零点么？ （不一定

7、）（不一定）xabc1c2xabc1c2xab3.1.1方程的根与函数的零点辨析辨析3 3：若函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内一定只有一个零点么？（不一定，有几个零点不确定）（不一定，有几个零点不确定）xabxab思考：思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？（单调）（单调） 推论推论：在零点存在的条件下，如果函数在：在零点存在的条件下，如果函数在a , b上上具有单调性具有单调性，函数函数f(x)在区间（在区间（a , b）上可存在）上可存在唯一唯一零点。零点。3.1.1方程的根与函数的零点辨析辨析4 4：若函数y=f(

8、x)在区间(a,b)内有零点，则一定能够得出f(x)在a,b上连续，或者一定有f(a)f(b)0么？（不一定）（不一定）xabc1c2xabc1c2结论：函数零点存在性定理结论：函数零点存在性定理不可逆不可逆的。的。3.1.1方程的根与函数的零点例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表: x 1 12 23 34 45 56 6 f(x)23239 9-7-71111-5-5-12-12问：那么函数在区间1 , 6上的零点至少有几个，哪些区间上一定存在零点答案：答案：至少有3个零点 分别在区间 （2， 3），（3，4），（4，5）上3.1.1方程的根与函数的零点x 12345

9、6789f(x) 由表和图可知由表和图可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点。增函数，所以它仅有一个零点。4 1.30691.09863.38635.60947.79189.9459 12.079414.1972例3：求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。 (函数的部分取值和函数图象已给出 )x0246105y2410861214876432193.1.1方程的根与函数的零点归纳总结，提高认识归纳总结，提高认识 1函数零点的定义函数零点的定义2函数的零点与方程的根的等价关系函数的零点与方程的根的等价关系3函数零点的存在