基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(19)课件

1、3.2.2基本初等函数的导数公基本初等函数的导数公式及导数的运算法则式及导数的运算法则可以直接使用的基本初等函数的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则可以直接使用的基本初等函数

2、的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式11:( )0;2:();3:(sin )cos ;4:(cos )sin ;5:()ln (0);6:();17:(log)(0,1);ln18:(ln );nnxxxxaCxnxxxxxaaa aeexaaxaxx 公式公式公式公式公式公式公式且公式导数的运算法则导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数等于第一个函数的导

3、数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函等于第一个函数的导数乘第二个函数数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平再除以第二个函数的平方方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x由由法则法则2:( ) ( )( )( )C f xC f xC fxC fx0 x)(

4、)(xvxuxy证明：令证明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy .)()()()(vuxvxxvxuxxu.xvxuxy即即 ).()()()(xvxuxvxu ).()()()(xvxuxvxu 法则法则1法则法则2 .)(vuvuuv证明：令证明：令 ).()()(xvxuxfy )()()()(xvxuxxvxxuy ),()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu .)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy 0 x )()(xvxxv xxvxxvxuxxvxxuxxu)()()()()()(xy)

5、.()()()(xvxuxvxu 即：即： vuvuuvy )(若若C为常数，为常数， .)(uCCu ) 0()(2vvvuvuvu, 0 x法则3)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxxvxxvxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuxy)()()()()(2xvxvxuxvxuxy0001205%( )(1 5%) .0110.0tpp tpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约

6、是多少？（精确到0 1）0( )1.05ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0( )1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 3:5284(80100).100 xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%;

7、(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284 (100)5284 (100)( )100(100)xxc xxx=(25284(100) x20 (100)5284 ( 1)(100)xx 25284( )(100)c xx.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52 4元/吨。25284(1)(90)52.84(10090)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。25284(2)(98)1321(10098)c例例2:求下列函数的导数求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan ;(5)(23) 1;1(

8、6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型二：导数的综合应用题型二：导数的综合应用例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于

9、P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.例例5.某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: