可降阶的二阶微分方程(3)课件

1、医用高等数学”医用高等数学第三节第三节 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程( )yf x 二、二、 型的微分方程型的微分方程,yfx y三、三、 型的微分方程型的微分方程,yfy y医用高等数学解法解法 接连积分两次接连积分两次,便可得到方程的通解便可得到方程的通解例例5-95-9 求微分方程求微分方程 的通解的通解. .2cosxyex 解解 对所给方程连续积分两次对所给方程连续积分两次,得得一、一、 型的微分方程型的微分方程( )yf x ( )yf x 右端仅含自右端仅含自变量变量x211sin2xyexC 2121cos4xyexC xC医用高等

2、数学二、二、 型的微分方程型的微分方程,yfx y,yfx y右端不显右端不显含未知数含未知数y ,yp x 设dpypdx则解法解法,pf x p 于是原方程变为于是原方程变为 它是一个关于变量它是一个关于变量 、 的一阶微分方程的一阶微分方程.解此一阶微解此一阶微分方程分方程,便得便得到原到原方程的通解方程的通解.xp医用高等数学例例5-105-10 求微分方程求微分方程 的通解的通解10yyx解解: ,yp x 设dpypdx则于是原方程化为ppx 分离变量，分离变量，得得dpdxpx1 2ypyC x将代入得从而求得从而求得原方程原方程的的通解为通解为212yC xC两边积分得两边积分

3、得1lnlnln2pxCpC x或1(2)CC医用高等数学例例5-115-11 求微分方程求微分方程 的解的解. . 200(1)213xxx yxyyy 解解: ,yp x 设dpypdx则于是原方程化为221xppx 分离变量，分离变量，得得221dpxdxpx两边积分得两边积分得21lnln(1)lnpxC医用高等数学所以所以21(1)pyCx把初始条件把初始条件 代入上式代入上式,得得03xy13C 所以所以23(1)yx 再积分再积分,得得223yxxC把初始条件把初始条件 代入上式代入上式,得得01xy21C 于是所求的特解为于是所求的特解为231yxx医用高等数学三、三、 型的微

4、分方程型的微分方程,yfy y解法解法: :( ),yp y 设dpdp dydpypdxdy dxdy则 p,dpfy pdy原方程化为1,ypy C 设其通解为分离变量并积分，便得原方程的通解为分离变量并积分，便得原方程的通解为21,dyxCy C,yfy y右端不显右端不显含自变量含自变量x医用高等数学代入原方程得代入原方程得 2dppPdyy2.yyy求方程的通解例例5-125-12 解解d pypd y 则( ),yp y设dpdypy0p 若上式可化为上式可化为1 pC y即两边积分两边积分,得得1lnlnlnpyC医用高等数学12.C xyC e综合起来原方程通解为综合起来原方程通解为12lnlnyC xC即即12C xyC e0,:pyC若则立即可得将上式分离变量并积分将上式分离变量并积分,得得1dyyC ydx医用高等数学主主 要要 内内 容容 三种可降阶的二阶