统计学第五章

1、第五章 概率及其分布教 学 目 的1.理解概率的意义；2.理解二项分布、正态分布的含义及特征；3.解决有关测量计分问题。第一节概率的一般概念一、概率的定义概率:是刻画随机事件发生的可能性的指标。概率因确定方法不同分为：后验概率和先验概率。1.后验概率的定义（1）随机事件A在n次试验（观测）中出现m次，m与n的比值为随机事件A出现的频率，记为 【如】：抛一枚硬币10次，正面向上6次，则正面向上的频率为.（2）随机事件A在大量重复试验（观测）中，即n时，其频率稳定在某一常数P(A)上，这一常数就是随机事件A的概率。记作：表5.1抛掷硬币实验中正面朝上的频率实验者抛硬币的次数正面朝上次数正面朝上频率

2、德摩根2 0481 0610.518 1蒲丰4 0402 0480.506 9皮尔逊12 0006 0190.501 6皮尔逊24 00012 0120.500 52.先验概率的定义先验概率是不需试验而事前计算出的。其计算的条件是：（1）试验的所有可能结果是有限的；（2）每一种可能结果出现的可能性是相等的。若所有可能结果数为n，随机事件A包括的可能结果（基本事件）为m，则事件A的概率为：【如】：抛一枚硬币，可能结果有两种：正面向上和反面向上。正面向上包括一种结果，则正面向上的概率是：与后验概率的结果是一致的。【又如】：在一个粉笔盒中装有3支红粉笔，3支黄粉笔，4支白粉笔，从中随机摸取一支粉笔。

3、则：参看教材63页。二、概率的性质1.任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数0P(A)1；2.不可能事件的概率为零，P(V)=0；3.必然事件的概率为1，P(u)=1。三、概率的加法和乘法1.概率的加法互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事件。两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。：A+B是一个新事件，或者A，或者B。 【如】：前例抽粉笔问题，随机摸得红粉笔或白粉笔的概率为：【例】：教材64页抽题问题。2.概率的乘法独立事件：一个事件的发生不影响另一事件的发生，这两个事件为独立事件。两个独立事件积的概率，就等于两个事件概率的乘积。：A·B为新事件，指A和B都发生

4、了。或同时发生了。 【如】：在前边抽粉笔问题中，学生甲随机摸取一支粉笔登记后，将粉笔还回盒子中，再由学生乙去摸，问甲乙两学生都摸到红粉笔的概率是多少？解：两名学生摸到红粉笔的概率各为0.3，所以都摸到红粉笔的概率为：第二节二项分布一、二项试验具备以下三个条件的试验为二项试验：1.一次试验只有两种可能结果，成功和失败；2.各次实验相互独立；3.各次试验中成功的概率相等，失败的概率也相等。【如】：抛一枚硬币，猜正误题。注意：讨论教材65页举例：不恰当，对大总体可近似看作二项试验。二、二项分布函数二项分布：是一种离散型随机变量的概率分布。用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现不同次数

5、的概率分布就叫做二项分布。用一个学生猜测3道正误题来说明（参看教材65页）。二项展开式的通式为：x为成功事件出现的不同次数，要注意组合数的计算。【如】：0的阶乘为1，1的阶乘为1。【例】：一个学生猜测做4道正误题，问猜对2道题的概率是多少？猜对4道的概率是多少？：运用公式（5.8）时，要注意p和q的值。三、二项分布图二项分布图： 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布图数据来源：教材68页表5.3 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布做对题目 数X（1）出现方式的数目f（2）概率P(X)（3）累计概率P(X或小于X)（4）010.0010.0011100.0100.0112450

6、.0440.05531200.1170.17242100.2050.37752520.2460.62362100.2050.82871200.1170.9458450.0440.9899100.0100.9991010.0011.000总和1 0241.000特点：1、p=q时，对称；2、n，近似正态分布；3、二项分布为偏态，但np与nq中最小者5时接近正态分布。四、二项分布的平均数和标准差二项分布近似正态分布时np，nq中较小者大于等于5 【如】：学生们猜测做12道正误题，从理论上讲，他可望猜对：五、二项分布的应用1.运用于推断分析；2.计算成功事件出现x次的概率；3.确定机遇性与真实性的界

7、限。：分析教材71页举例中的举例。第三节 正态分布正态分布:是一种连续型随机变量的概率分布。一、标准Z分数1.标准Z分数：是以平均数为参照点，以标准差为度量单位的分数。Z分数是一种位置分数；Z分数是一种转化分数。2.Z分数的特点：（1）Z分数的平均分等于零（2）Z分数的方差和标准差等于1二、正态曲线1、正态曲线函数Y：为频数密度X：为连续变量的任何一点：总体平均数e：为常数，自然对数之底，2.71828按此方程描绘出的曲线为正态曲线。正态曲线的形态随N、的变化而变化 图5.3标准差不同的正态分布形态（教材72页）将公式5.12中的总频数N用总概率1代替，x记分改为Z记分，则可得曲线方程：此方程

8、称为标准正态方程；以此方程描出的曲线为标准正态曲线，一种固定曲线，而不再是随、N变化的曲线。2.标准正态曲线的特点（1）曲线在Z=0处为最高点（0.39894）；（2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称；（3）曲线缓慢下降向外无限延伸，永不与基线相交；（4）：在曲线下，从Z=3到Z=3之间有99.73%的频数分布着。（5）拐点位于正负1个标准差处。(先向下向内，再向下向外) 图5.4标准正态曲线（教材73页）三、正态曲线面积与纵线（一） 标准正态曲线下面积的求法附表11.标准正态曲线面积，采用Z记分2.表内面积为从Z=0处到右边某一Z值之间的面积曲线与横轴上某一区间围成的面积，其含义是指该区间内数

9、据的个数占数据总个数的比率。【如】：从Z=0到Z=1之间的面积为0.341，意思是有34.1%的数据分布在Z=0到Z=1之间。(1)已知Z值求面积利用附表1已知Z值求面积有三种情况： 求Z=0到某一Z值之间的面积？【例如】：Z=0到Z=1.65之间的面积为0.45053，Z=0到Z=3之间P=0.49865。 求两个Z值之间的面积？ 【例如】：Z=到Z=1之间面积0.34134+0.34134=0.68268Z=1至Z=3之间P=0.49865-0.34134=0.15731：两个Z值异号面积相加；同号面积相减。 图例图5.5 标准正态曲线下某一区间的面积（教材88页）（1）Z=-1至Z=1之

10、间的面积（2）Z=1至Z=2之间的面积（3）Z=1至和Z=1至-之间的面积求某一Z值以上或以下面积？ 【例如】：Z=1以上面积为0.5-0.34134=0.15866Z=1以下的面积为0.50.34134=0.84134.是由0.5减还是加0.5，要在图中分析。应用举例：500人参加的英语考试，平均分为80分，标准差为6分，问70分到90分之间有多少人？解：70分、90分的Z分数分别为：Z1到Z2的面积为2×0.45254=0.9050870分到90分之间的人数为：0.90508×500453（人）（2）已知面积求Z值利用附表1已知面积求Z值有三种情况：求Z=0以上或以下某

11、一面积对应的Z值？直接根据面积查表，并注意符号。【例如】：Z=0以上面积为0.45对应的 Z1.65Z=0以下面积为0.49， Z-2.33求与正态曲线上端或下端某一面积对应的Z值？ 【例如】：正态曲线右端面积为0.01对应的Z值。不能直接根据0.01查，只能根据0.50.01=0.49查表，Z2.33。若在左端则Z为负数。求正态曲线下中央部位某一面积的Z值？有两个Z值，绝对值相等，符号相反（对称性）。【例如】：中央面积为0.95时，据0.95÷2=0.475查表，Z=±1.96；中央面积为0.99时，据0.99÷2=0.495查表，Z=±2.58。(二)正态曲线的纵线高度纵线高度Y：是对应某一Z值的概率密度。1.已知Z值求纵线高度直接查表2.已知面积求纵线高度（1）中央面积面积除2（2）曲线上端或下端面积0.5减之（3）Z=0以上或以下面积直接查表【如】：曲线上端面积为0.20，据0.5-0.20.3查0.28034四、正态分布在测验记分中的应用正态分布既应用于教育科研中，也广泛应用于测量记分中。.将原始分数转换成标准分数不同学科的分数并不等值。 【例】：某班语文测验平均分为80，标准差为6分；英语平均分为65分，标准差为5分。学生A的语文成绩为88分，英语成绩为75分。问学生A的哪门功课成绩好？解：学生A的语文标准分标准分的特点：（1