控制系统的时域分析

1、1 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 4.1 4.1 时间响应时间响应4.2 4.2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应4.3 4.3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应4.4 4.4 高阶系统的动态分析高阶系统的动态分析4.5 4.5 瞬态响应的性能指标瞬态响应的性能指标4.6 4.6 系统误差分析系统误差分析2教学目的、要求教学目的、要求1 1、掌握系统的时间响应性能指标的概念和求法、掌握系统的时间响应性能指标的概念和求法2 2、了解稳态误差的相关知识、了解稳态误差的相关知识教学重点教学重点1 1、时间响应的基本概念、时间响应的基本概念 2 2、二阶系统欠阻尼状态下性能指标的求取、

2、二阶系统欠阻尼状态下性能指标的求取3 3、系统误差的计算、系统误差的计算3本章作业本章作业(p131-133)(p131-133)4-2(2)4-2(2)4-34-34-54-54-74-74-84-84-134-134时域分析的目的时域分析的目的在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点优点：直观、简便。：直观、简便。54.1 4.1 时间响应时间响应一、时间响应的概念一、时间响应的概念时间响应时间响应：系统在输入信号作用下其输出随时间变化的：系统

3、在输入信号作用下其输出随时间变化的规律规律, ,称为系统的称为系统的时间响应时间响应，它也是系统动力学，它也是系统动力学微分方微分方程的解程的解。组成组成：控制系统的时间响应分为两部分：控制系统的时间响应分为两部分：瞬态响应瞬态响应和和稳态响应。稳态响应。6瞬态响应瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程，到最终状态的响应过程，又称动态过程、瞬态过程。又称动态过程、瞬态过程。 稳态响应稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。即：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。即稳态响应是瞬态过程结束后仍然存在的时间响应。稳稳态响应是瞬态过程结束

4、后仍然存在的时间响应。稳态响应也可能以某种固定模式，如按时间的正弦函数态响应也可能以某种固定模式，如按时间的正弦函数或斜坡函数变化。或斜坡函数变化。相应地，性能指标分为相应地，性能指标分为瞬态瞬态指标和指标和稳态稳态指标。指标。70ty(t)瞬态过程瞬态过程稳态过程稳态过程c(t)t1t 8l典型输入信号典型输入信号在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊形式在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典型输的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典型输入信号。入信号。对典型信号的要求：对典型信号的要求：能够使系统工作在最不利的情形下；能够使

5、系统工作在最不利的情形下；形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析分析；实际中可以实现或近似实现。实际中可以实现或近似实现。9常用的典型输入信号常用的典型输入信号名称名称时域表达式时域表达式复数域表达式复数域表达式单位脉冲信号单位脉冲信号单位阶跃信号单位阶跃信号单位速度单位速度/ /斜坡斜坡信号信号单位加速度单位加速度正弦信号正弦信号)(1 ts1t21s212t31s1( ) ttsin22s10l典型输入信号的选用原则：典型输入信号的选用原则：能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号如：若实际系统的输

6、入具有突变性质，则可选阶跃信号. .阶跃信号最常用，其跃变特性可用来测试系统对输入突阶跃信号最常用，其跃变特性可用来测试系统对输入突变响应的快速性、振荡程度和稳态误差。变响应的快速性、振荡程度和稳态误差。如：若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信如：若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。斜坡函数和抛物线函数可用来测试系统对匀速变化号。斜坡函数和抛物线函数可用来测试系统对匀速变化或具有加速度的参考输入信号的跟踪能力。或具有加速度的参考输入信号的跟踪能力。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会

7、改变。分析法所表示的系统本身的性能不会改变。11二、脉冲响应函数（或权函数）二、脉冲响应函数（或权函数）输入输入)()(ttx输出输出)()(tgty)()()(1)()()(tgltylsytltxlsx系统的传递函数系统的传递函数g( (s) )为其脉冲响应函数为其脉冲响应函数g( (t) )的象函数。的象函数。 ( )l g tg s当一个系统受到当一个系统受到一个单位脉冲一个单位脉冲激励（输入）时，它所产激励（输入）时，它所产生的反应或响应（输出）定义为脉冲响应函数。即当系生的反应或响应（输出）定义为脉冲响应函数。即当系统输入统输入x( (t)=)=( (t) )时，则输出时，则输出y

8、( (t)=)=g( (t) )，g( (t) )为脉冲响应函数。为脉冲响应函数。12当线性系统输入为当线性系统输入为任意时间函数任意时间函数x( (t) )时时，将连续信号将连续信号x( (t) )分割成分割成n小段，小段，t t = =t/ /n，当当t t00，x( (t) )可以近似看作可以近似看作n个脉冲叠加而成，每个脉冲的面积为个脉冲叠加而成，每个脉冲的面积为x( (t tk) )t t。对于单位对于单位脉冲函数脉冲函数 ( (t) )，面积为，面积为1 1，作用在作用在t=0=0的时刻，其脉冲响应的时刻，其脉冲响应函数为函数为g( (t) )，即，即t时刻输出为时刻输出为g( (

9、t) )。而对于面积为而对于面积为x( (t tk) )t t，作用时刻为作用时刻为t tk的脉冲，其的脉冲，其t时刻输出为时刻输出为三、任意输入作用下系统的时间响应三、任意输入作用下系统的时间响应()()kkxg tttt13根据线性叠加原理根据线性叠加原理, ,将将0 0到到t的各个脉冲的脉冲响应叠加，的各个脉冲的脉冲响应叠加，则得到任意函数则得到任意函数x( (t) )在在t时刻的时间响应函数时刻的时间响应函数y( (t) )。 00( )lim() ()( ) ()ntkknky txg txg tdtttttt0( )( ) ()ty txg tdttt输出响应为输出响应为输入输入函

10、数与函数与脉冲脉冲响应响应函数的函数的卷积卷积。14系统在受输入激励后，系统在受输入激励后，t时刻的输出时刻的输出y( (t) )为为t时刻及时刻及t时刻以时刻以前各输入前各输入x( (t t) )乘以相应时刻的脉冲响应函数乘以相应时刻的脉冲响应函数g( (t- -t t) ) 的累积。的累积。()0g tt对于任何实际可实现的系统，当对于任何实际可实现的系统，当t t t时时( )( ) ()ty txg tdttt0( )( ) ()ty txg tdttt15例：系统的单位脉冲响应函数为例：系统的单位脉冲响应函数为g( (t)=2)=2e(- (-t/2)/2)，系统输入，系统输入x(

11、(t) )如图，求系统的输出。如图，求系统的输出。10tt x( (t) ) 11x tttt 11tsx ses 122420.521tg sless解：解：系统传递函数为：系统传递函数为： 4121tsy sess则则 224 14 11t tty teett16k为系统增益；为系统增益；t为一阶系统的时间常数为一阶系统的时间常数4.2 4.2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型1)()(tsksrsc一阶系统传递函数的一般形式一阶系统传递函数的一般形式11)()(rcssusuio( )( )y sap scsk11( )( )c sr st

12、s典型形式典型形式17二、一阶系统的单位阶跃响应二、一阶系统的单位阶跃响应ssr1)(11111( )111tc stssstssst当输入为单位阶跃函数当输入为单位阶跃函数所以所以/( )1t tc te 进行拉氏反变换进行拉氏反变换 c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/t h(t)=1-e-t/t0 tt2t3t4t1一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应18一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点p响应分为两个部分响应分为两个部分瞬态项：瞬态项：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/ /过

13、过渡过程）；渡过程）；稳态项：稳态项：1 1表示时间趋近无穷大时，系统的输出状态。表示时间趋近无穷大时，系统的输出状态。pc(0)=0(0)=0，随时间的推移，随时间的推移，c( (t) )指数增大，且无振荡。指数增大，且无振荡。c( ()=1)=1，无稳态误差；，无稳态误差；t te/( )1t tc te 斜率斜率1/tt1a0.63219pc( (t)=1-)=1-e-1-1=0.632=0.632，即经过时间，即经过时间t，系统响应达到其，系统响应达到其稳态输出值的稳态输出值的63.2%63.2%，从而可以通过实验测量惯性环，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数节的时间常数t；p p

14、时间常数时间常数t反映了系统响应的快慢。通常工程中当反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%95%98%时，认为时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为间为3 3t44t。pt愈小，则系统的响应愈快。愈小，则系统的响应愈快。 01tdc tdtt20 为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时间常数间常数t。下面是减小时间常数的一个方法：。下面是减小时间常数的一个方法：)(sc-11ts)(se)(sr通过反馈，使得时间常数减小

15、了一半。反馈后的传递通过反馈，使得时间常数减小了一半。反馈后的传递函数如下：函数如下：0.5( )0.51g sts21三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应( )1r s 111( )111c ststst 当输入为单位脉冲函数当输入为单位脉冲函数所以所以1( )ttc tet进行拉氏反变换进行拉氏反变换t0.135/t0.018/tt2t3t4t初始斜率为初始斜率为0.368/t0.05/t01t/tc (t)ett1c(t)一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应2t1 22一阶系统单位脉冲响应的特点一阶系统单位脉冲响应的特点p响应分为两个部分响应分为两个部分瞬态项：瞬

16、态项：稳态项：稳态项：0 0pc(0)=1/(0)=1/t，随时间的推移，随时间的推移，c( (t) )指数衰减；指数衰减；p p对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于宽度小于0.10.1t）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。1t tt e 201tdc tdtt 1/tt1368. 0ttc(t)23四、一阶系统的单位斜坡响应四、一阶系统的单位斜坡响应2( )1r ss当输入为单位斜坡函数当输入为单位斜坡函数所以所以进行拉氏反变换进行拉氏反变换tststssc/1111)(2tttetttc/)(t

17、ttr(t)c(t)24一阶系统单位速度响应的特点一阶系统单位速度响应的特点p响应分为两个部分响应分为两个部分瞬态项：瞬态项：稳态项：稳态项：t- -tp经过足够长的时间（稳态时，如经过足够长的时间（稳态时，如t4t），输出增长），输出增长速率近似与输入相同，此时输出为速率近似与输入相同，此时输出为t- -t，即输出相对于，即输出相对于输入滞后时间输入滞后时间t；t ttetttr(t)c(t)25单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分一阶系统的瞬态响应

18、一阶系统的瞬态响应1 1、单位斜坡响应：、单位斜坡响应： /( )1t ttc ttttet2 2、单位阶跃响应：、单位阶跃响应： /1( )11t tc tet3 3、单位脉冲响应：、单位脉冲响应： 1( )1ttc tett1( )( )dc tc tdt1( )( )tdc tc tdt三者之间的关系三者之间的关系26所以，系统对所以，系统对输入信号导数的响应输入信号导数的响应，等于系统对该，等于系统对该输输入信号响应的导数入信号响应的导数；或者说，系统对；或者说，系统对输入信号积分的输入信号积分的响应响应等于系统对该等于系统对该输入信号响应的积分输入信号响应的积分。27例例1 1：单位

19、脉冲信号输入时，系统的响应为：单位脉冲信号输入时，系统的响应为： 6075txte求系统的传递函数。求系统的传递函数。 0600757524266tixsg sxsl xtlexsssss s解：由题意解：由题意xi(s)=1，所以：，所以：28例例2 2：已知系统传递函数为：已知系统传递函数为： 2211sg ss求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。 02221111111isxsg s xssss ss所以：所以： 1001ttxtlxstee 2 2）单位脉冲输入时，由于）单位脉冲输入时，由于 1dttdt所以：所以： 2ttoodxtxtetedt解

20、：解：1 1）单位阶跃输入时）单位阶跃输入时294.3 4.3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。称为二阶系统。一、二阶系统的数学模型一、二阶系统的数学模型2222( )( )( )1( ) = 22nnddmy tby tky txdtdtg smsbskkbbmmmk式中，=，=2cbbbmk粘性阻尼系数临界阻尼系数mx(t)kby(t)1/k系统增益系统增益2221( )2nnng sk ss30 二阶系统的传递函数的典型形式为：二阶系统的传递函数的典型形式为：其中其中，n自然频率（

21、或无阻尼自然频率）自然频率（或无阻尼自然频率） 阻尼比（相对阻尼系数）阻尼比（相对阻尼系数） 222( )2nnng sss二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示二阶系统的标准形式，相应的方块图如图所示 )2(2nnss)(sr)(sc-312220nnss21,21nns 系统的特征方程系统的特征方程闭环特征方程根闭环特征方程根( (闭环极点闭环极点) )特征根的性质与阻尼比特征根的性质与阻尼比 有关。有关。32二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应1 1、阶跃响应的数学表达式、阶跃响应的数学表达式1( )1( )( )r ttr ss输入输入2222211( )( )221

22、2nnnnnnc sg sssssssss1( )( )c tlc s( (与与 有关有关) )332 2、欠阻尼、欠阻尼(0(0 111) )情况情况21 21nns 、(t0)22(1)22(1)221( )121(1)121(1)nnttc tee 单调上升，无振荡，单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无过渡过程时间长，无稳态误差。稳态误差。2222121( )()()(1)(1) nnnnc sssssssss38上述四种情况分别称为二阶上述四种情况分别称为二阶零阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻零阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下。其阻尼

23、系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：表所示：单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升单调上升一对负实重根一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根( (左左半平面）半平面） 等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根一对共轭虚根 0,零阻尼njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns6 6、几点结论、几点结论391 1）二阶系统的阻尼比）二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：决定了其振荡特性： 0阶跃响应发散，阶跃响应发散，系统不稳定；

24、系统不稳定； = 0等幅振荡；等幅振荡；0 11欠阻尼：欠阻尼：00 111222( )2nnng sss(t0)21( )r ss欠阻尼：欠阻尼：00 11临界阻尼：临界阻尼： =1=122( )sin(2 )1ntdnnec ttt 22( )(1)2ntnnntc tte 无阻尼：无阻尼： =0=01( )sin()nnc ttt 2222(1)222(1)221212( )21212121nntnntnc ttee 四、二阶系统的单位斜坡响应四、二阶系统的单位斜坡响应44二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性；决定了其振荡特性； 0 0 时，响应发散，系统不稳定；时，响应发

25、散，系统不稳定； 1 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长。时，无振荡、无超调，过渡过程长。00 111，tr、ts都会增大，灵敏性差；都会增大，灵敏性差； 过于小，系统严重超过于小，系统严重超调。所以调。所以 通常取为通常取为0.40.40.80.8。当当 =0.7=0.7时，时，mp和和ts 均小，均小，mp4.6%4.6%，此时为最佳阻，此时为最佳阻尼比。尼比。 分析和设计二阶系统时，应综合考虑系统的相对稳定分析和设计二阶系统时，应综合考虑系统的相对稳定性和响应快速性，通常根据要求的超调量确定系统的阻性和响应快速性，通常根据要求的超调量确定系统的阻尼尼 ，再调整，再调整 n使其达到快速性。

26、使其达到快速性。61例例1 1：求系统的特征参数：求系统的特征参数 并分析与性能指标的关系：并分析与性能指标的关系：n,)(sr) 1(tssk)(sc22222( )12nnnkktgsktss ksssstt 解解 ：闭环传递函数为：闭环传递函数为：kttkttknnn21122q 时时， 。快速性好，振荡加剧；快速性好，振荡加剧；k,pmq 时时，t4, (2 )pnsnmtt (01)下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系: :62例例2 2：设系统的传递函数为：设系统的传递函数为当系统的单位阶跃响应的最大超调量等于当系统的单位阶跃响应的最大超

27、调量等于5 5，调整调整时间为时间为0.8s0.8s时，时， 和和 n等于多少？等于多少？222( )( )2nnny sx sss22ln0.69(ln)ppmm47.2453nst解：解：21pme100%63)1( stskmr(s)(- -)c(s)( )( )1( )(1)bmg skgsg ss t sk2222/( )/2mnbmmnnk tg sss tk tss21100%16.3%pme20.731pdnt秒秒秒486. 0 drt 31.2snt秒 化为标准形式化为标准形式 即有即有 2n=1/tm=5, n2=k/tm=25解：解：系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为

28、解得解得 n=5(rad/s), =0.5 例例3 3 已知图中已知图中tm=0.2，k=5，求系统单位阶跃响应指标。，求系统单位阶跃响应指标。64例例4 4设设单位负反馈单位负反馈的二阶系统的的二阶系统的单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线如图所示，试确如图所示，试确定其开环传递函数。定其开环传递函数。 解：解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。递函数。 2/ 130%0.3100%pme2 . 13 . 0lnln12 e 3

29、6. 0 秒秒1 . 01t2ndp 12n6 .33934. 04 .3114 .31 秒秒22221130( )( )224.211301( )nbnng sgsssssg s2( )1129( )1( )(2)(24.2)nbbngsg sgss ss s0t(s)11.30.1c(t)65)1(10 sskst tc(s)r(s)例例5 5：已知某控制系统方框图如图所示：已知某控制系统方框图如图所示, ,要求该系统的单要求该系统的单位阶跃响应位阶跃响应c( (t) )具有超整量具有超整量mp=16.3=16.3和峰值时间和峰值时间tp=1=1秒秒, ,试确定前置放大器的增益试确定前置放

30、大器的增益k及内反馈系数及内反馈系数t t。解：求闭环传递函数，解：求闭环传递函数，并化成标准形式并化成标准形式c(s)10k2r(s)s(1 10 )10skt221 10 10 ntkn 1.32 0.263 kt解得2/ 1 100%16.3% ,0.5 pme由 t 3.63 rad/spn21n又得66例例6 6：设系统的结构图如图所示。要求系统的性能指标：设系统的结构图如图所示。要求系统的性能指标为为mp=20%, tp=1s。试确定系统的试确定系统的k和和ka值值, , 并计算性并计算性能指标能指标tr和和ts。) 1( sskr(s)c(s)1 kas2a( )( )( )(1

31、)bc skgsr sskksk根据要求的根据要求的mp和和tp求取相应的阻尼比求取相应的阻尼比 和和 n2/ 10.20.456pme213.53/1pnntrad s解：求闭环传递函数解：求闭环传递函数672a( )( )( )(1)bc skgsr sskksk与标准形式与标准形式 比较比较, 求求k和和ka值。值。2a, 21nnkkk 得得k=12.5, ka=0.178。 2222nnnss) 1( sskr(s)c(s)1 kas221arctan1.10.651341.86 ,(5%)2.48 , (2%) rnssnnradtststs68三、三、改善二阶系统响应性能的措施改

32、善二阶系统响应性能的措施1 1、 输出量的微分反馈控制输出量的微分反馈控制)2(2nnssst-)(sr)(sc将输出量的微分信号将输出量的微分信号c( (t) )采用负反馈形式反馈到输入端采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号并与误差信号e( (t) )比较，构成一个内反馈回路。比较，构成一个内反馈回路。简称微简称微分反馈分反馈。69)2(2nnssst-)(sr)(sc22222211222()( )()()()nnnnnnnnsg ss ss ssstt)2(2nnssst1-)(sr)(sc与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式 比较比较2222( )nnng sss1 1、

33、不改变无阻尼振荡频率、不改变无阻尼振荡频率nntt22 2、等效阻尼系数为、等效阻尼系数为由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量mp和调节时和调节时间间ts变小。变小。t70)2(2nnssst+-)(sr)(sc2 2、误差的比例、误差的比例+ +微分控制微分控制以误差信号以误差信号e( (t) )与误差信号的微分信号与误差信号的微分信号e( (t) )的的和和产生控产生控制作用。简称制作用。简称pd控制，又称控制，又称微分顺馈微分顺馈。71)2(2nnssst+-)(sr)(sc)2(2nnssst1-)(sr)(sc222212()( )()nnnns

34、g ssstt与典型二阶系统的标准形式比较与典型二阶系统的标准形式比较2222( )nnng sss1 1、不改变无阻尼振荡频率、不改变无阻尼振荡频率 nndt22 2、 等效阻尼系数为等效阻尼系数为 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，但是经过计算得超调，即等效阻尼系数加大，但是经过计算得超调量量mp增大，调节时间增大，调节时间ts变小。变小。dt1z3 3、闭环传递函数有零点、闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。，将会给系统带来影响。72222(1)( )( )2tnnnsc sr sss典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为典型含零点的欠阻尼二阶系统的传递函数为22222222 tnn

35、nnnnsssss则其单位阶跃响应为则其单位阶跃响应为221122221( )22t nnnnnnc tlls ssss11( )( )dc tc tdtt 12( )1sin()1 ntdec tt12( )sin1ntndec tt2211arctandn四、零点对二阶系统瞬态响应的影响四、零点对二阶系统瞬态响应的影响73则其单位阶跃响应为则其单位阶跃响应为112( )( )( )1sin()sin1tt ntdnddc tec tc tttdt2sin( )1sin()arctancos1t ntdnec tt222(1)2tnnnsss)(sr)(sc)1sin(11)(22tzlet

36、cntn21-1tan211tannnz222nnzzl式中： ， 零极点分布图零极点分布图1p2p21nj21njznl1zt 7421111(tan)()npdndtz2122122112(tan)()nnznnpzzlmeezz1413(ln)(ln)nsnlztlz25当时当时根据上式可以得出主要性能指标如下：根据上式可以得出主要性能指标如下：nrt21)(21-1tan211tannnz222nnzzl式中： ， ，零极点分布图零极点分布图1p2p21nj21njznl1zt 75dttdczdttdctc)(1)()(112tdttdcztctc)(1)()(11由上图可看出：由上

37、图可看出： 使得使得 比比 响应迅速且有较响应迅速且有较大超调量。大超调量。)(2tc)(1tc)(tc01)(tc)(tc)(1tc)(2tct76零点对二阶系统响应的影响零点对二阶系统响应的影响使系统超调量增大，而上升时间，峰值时间减小；使系统超调量增大，而上升时间，峰值时间减小；附加零点愈靠近虚轴，对系统响应影响愈大；附加零点愈靠近虚轴，对系统响应影响愈大；附加零点与虚轴距离很大时，则其影响可以忽略。附加零点与虚轴距离很大时，则其影响可以忽略。774-6 4-6 系统的误差分析系统的误差分析稳态误差的来源稳态误差的来源u系统结构不同，输入信号不同，输出稳态值可能系统结构不同，输入信号不同

38、，输出稳态值可能偏离输入值；偏离输入值；u外来干扰；外来干扰；u系统中的摩擦、间隙、零件的变形、不灵敏区等系统中的摩擦、间隙、零件的变形、不灵敏区等因素。因素。稳态误差表征了系统的精度及抗干扰的稳态误差表征了系统的精度及抗干扰的能力，是系统重要的性能指标之一。能力，是系统重要的性能指标之一。78一、误差及稳态误差的概念一、误差及稳态误差的概念（1 1）误差的定义）误差的定义比较装置的误差比较装置的误差系统误差系统误差)(sr)(sc)(sg)(sh)(se)(sgb(s)( )( )( )( )e sr sh sc s)()()( scsrse两种误差中第二种在实际应用中往往量纲不同，如输两种

39、误差中第二种在实际应用中往往量纲不同，如输入力、输出位移，无法比较，常用第一种。入力、输出位移，无法比较，常用第一种。79(2) (2) 稳态误差稳态误差lim ( )sstee t0lim ( )lim( )sstsee tse se(s)r(s)b(s)r(s)h(s)c(s)g(s)r(s)h(s)r(s)1g(s)h(s)1r(s)1g(s)h(s)(sr)(sc)(sg)(sh)(se)(sgb(s)误差的时间响应误差的时间响应1( ) ( )e tle s瞬态误差：对瞬态误差：对e( (s) )进行拉氏变换得到的误差的时间响应进行拉氏变换得到的误差的时间响应稳态误差：当稳态误差：当

40、t时时, ,误差的时间响应误差的时间响应e( () )80从式中可看出，从式中可看出，ess与输入及开环传递函数的结构有与输入及开环传递函数的结构有关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。关，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。当当r( (s) )一定时，就取决于开环传递函数。一定时，就取决于开环传递函数。 )(sr)(sc)(sg)(sh)(se)(sgb(s)00( )lim ( )lim( )lim1( )( )sstsssr see tse sg s h s81二、系统的稳态误差分析二、系统的稳态误差分析系统的系统的开环传递函数开环传递函数可写成下面的形式：可写成下面的形式

41、：11(1)( )( )(1)miinjjksg s h sst st12(1)(1)(1)(1)(1)(1)abmpk t st st sstst st s系统的开环增益。系统的开环增益。:k: :为系统中含有的积分环节数为系统中含有的积分环节数2100型系统型系统型系统型系统型系统型系统 ii ii i i (1(1）影响稳态误差的因素）影响稳态误差的因素pnm 22时，时，型以上的系统实际上很难使之稳定，所以这种类型的型以上的系统实际上很难使之稳定，所以这种类型的系统在控制中一般不会碰到。系统在控制中一般不会碰到。82可以看出，与系统稳态误差有关的因素为：可以看出，与系统稳态误差有关的因

42、素为：ssts0s01elime(t)limse(s)limsr(s)1g(s)h(s)因因11(1)( )( ),(1)miinjjksg s h snmst st而而1ssms0s0s0ii 1njj 11selimse(s)limsr(s)limksk( s1)1s(ts1)t 则则)(sr注意：系统的阶注意：系统的阶次与类型的概念次与类型的概念完全不同。稳态完全不同。稳态误差与误差与tm 和和tp均无关。均无关。 ssekr s与系统类型系统类型开环增益开环增益 有关有关输入信号输入信号83当输入为单位阶跃当输入为单位阶跃( (r( (t)=1)=1)时的稳态误差，称为位置误差时的稳态

43、误差，称为位置误差 sss0s0s0p11elimse(s)lims1 g(s)h(s) s11lim1 g(s)h(s)1 k0lim ( ) ( )(0) (0)pskg s h sgh12(1)(1)(1)( )( )(1)(1)(1)abmpksssg s h ssssttts ttt 1,0, kkpss1v0e1 k0v 1（2 2）静态误差系数与稳态误差）静态误差系数与稳态误差静态位置误差系数静态位置误差系数kp84 当输入为单位斜坡当输入为单位斜坡(r(t)=t)时的稳态误差，称为速度误差。时的稳态误差，称为速度误差。 ss2s0s0s0v1111elimse(s)limsli

44、m1 g(s)h(s) ssg(s)h(s)k称为静态速度误差系数。称为静态速度误差系数。 vs0ksklims0lim( ) ( )vsksgs h s12(1)(1)(1)( )( )(1)(1)(1)abmpksssg s h ssssttts ttt01102ssek 0012vkk静态速度误差系数静态速度误差系数kv 8531( )r ss静态加速度误差系数静态加速度误差系数ka输入为单位加速度输入为单位加速度(r(t)=0.5t2)时的稳态误差时的稳态误差加速度误差。加速度误差。ss3s0s02s0a11elimse(s)lims1 g(s)h(s) s11lims g(s)h(s

45、)k称为静态加速度误差系数。称为静态加速度误差系数。2as0ksklims20lim( ) ( )asks g s h s12(1)(1)(1)( )( )(1)(1)(1)abmpksssg s h ssssttts ttt00,123akkss0,11e2k03 86从表中可以看出，同一系统在不同的输入作用下，其稳态误差是不同从表中可以看出，同一系统在不同的输入作用下，其稳态误差是不同的。针对同一种输入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提的。针对同一种输入，当系统的型次增加时，系统的准确性将得到提高；增加系统的开环增益高；增加系统的开环增益k，往往也可以提高系统的稳态精度。但是，往往

46、也可以提高系统的稳态精度。但是，正如第五章将要讨论的那样，系统型次和开环增益的增加，却使得系正如第五章将要讨论的那样，系统型次和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行统的稳定性变差。因此，通常需要在系统的稳定性和准确性之间进行权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。权衡，必要时，需要引入校正环节进行校正。输入信号作用下的稳态误差输入信号作用下的稳态误差87 例例1 1 系统输入系统输入r(t)=( + t+g gt2/2)，求求0 型、型、型、型、型系统的型系统的稳态误差。稳态误差。1sspvaekkkg 解：解：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为

47、：利用叠加原理，可得系统的稳态误差为：,10,00,ikkkkgg 0 i i 型型型88例例2 2 已知某已知某单位负反馈单位负反馈系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 )2)(1(5)(ssssg试求系统输入分别为试求系统输入分别为1(1(t), 10), 10t, 3, 3t2 2时时, , 系统的稳态系统的稳态误差。误差。) 15 . 0)(1(5 . 2)2)(1(5)(sssssssg得开环放大倍数得开环放大倍数k=2.5k=2.5，由于此系统为由于此系统为型系统型系统, ,解：首先将系统开环传递函数化为解：首先将系统开环传递函数化为89根据表得，根据表得，当当r( (t)=1

48、()=1(t) )时时, , 稳态误差稳态误差ess=0=0；当当r( (t)=10)=10t时时, , 稳态误差稳态误差 ；当当r( (t)=3)=3t2 2时，稳态误差时，稳态误差ess=。45 . 210110kess90例例3 3：已知两个系统分别如图：已知两个系统分别如图 (a)(a)、(b)(b)所示。输入均为所示。输入均为r( (t)=4+6)=4+6t+3+3t2 2，试分别计算两个系统的稳态误差。试分别计算两个系统的稳态误差。解：要计算系统在输入解：要计算系统在输入r( (t)=4+6)=4+6t+3+3t2 2下系统的稳态误差，可分别下系统的稳态误差，可分别计算系统在输入计

49、算系统在输入r1 1( (t)=4)=4、输入输入r2 2( (t)=6)=6t、输入输入r3 3( (t)=3)=3t2 2下下的稳态的稳态误差误差ess1 1、 ess2 2、 ess3 3、然后让其相加。然后让其相加。-)4(10ssr(s)c (s)(a )-)4()1(102sssr(s)c (s)(b)图图 (a)(a)为为型系统，该系统的稳态误差型系统，该系统的稳态误差ess = =ess1 1+ + ess2 2+ +ess3 3 = =。 图图 (b)(b)为为型系统型系统, , 开环放大倍数为开环放大倍数为k=10/4=10/4。系统的稳态误差。系统的稳态误差为为 4 .

50、21600321keeeessssssss911） , ,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。解：解：误差传递函数为误差传递函数为1( )( )( )1( )( )1tse sr sr sg s h sts21( ),( )(1)tr se ssststtstsseessss 1lim)(lim00终值定理要求：除在原点处可以有极点外，终值定理要求：除在原点处可以有极点外，se( (s) )的的所有极点都在所有极点都在s平面的平面的左半左半平面。平面。为为 1）r(t)=t ，2) r(t)=t2/2，3) r(t)=sin t，求系统稳态误差。求系统稳态误差。 例例4 4 设设单位负

51、反馈单位负反馈系统开环传递函数为系统开环传递函数为g(s)=1/ts，输入信号分别输入信号分别923） , , 不符合终值定理应用条件不符合终值定理应用条件 。22221)(,)( ststssessrv本题说明：本题说明：1 1）使用终值定理要注意条件）使用终值定理要注意条件 2 2）稳态误差与输入有关。）稳态误差与输入有关。使用终值定理将得出错误结论，使用终值定理将得出错误结论，ess=0=02 2） , ,符合终值定理应用条件。符合终值定理应用条件。)1()(,1)(23tsstsessr )1(1lim)(lim00tsssseessss22cos(arctan)1sstettt93图

52、示系统，图示系统，r( (s) )为系统的参考输入，为系统的参考输入， n( (s) )为系统的扰动作用。为系统的扰动作用。 求求e( (s) )和和ess 三、扰动作用下的稳态误差三、扰动作用下的稳态误差941.1.令令n( (s)=0)=0, ,求由求由r( (s) )引起的误差引起的误差er( (s) )和稳态误差和稳态误差ess1： 方法一：方法一：95)()()(1)(lim)(lim21001shsgsgsrssseesrsss)()()(1)()(21shsgsgsrser)()()()(shscsrser96方法二方法二：令：令n(s)=0,求由求由r(s)引起的误差引起的误差

53、er(s)和稳态误差和稳态误差ess1： )()()(1)()(21shsgsgsrser)()()(1)(lim)(lim21001shsgsgsrssseesrsss972.2.再令再令r( (s)=0)=0, ,求由求由n( (s) )引起的误差引起的误差en( (s) )和稳态误差和稳态误差ess2： )()(0)()()(sbsbsbsrsennnn)()()()(1)()(212snshsgsgshsg)()()()(1)()(lim)(lim212002snshsgsgshsgssesesnsss)()()()(1)()()()()(212snshsgsgshsgshscsbnn

54、)()()()(1)()(212snshsgsgsgscn)(scn方法一：方法一：98方法二方法二：(2)再令再令r(s)=0，求由，求由n(s)引起的误差引起的误差en(s)和稳态误差和稳态误差ess2： )()()()(1)()()(212snshsgsgshsgsen)(sen)(lim02sesensss993.3.求由输入求由输入r( (s)和扰动和扰动n( (s) )引起的总误差引起的总误差e( (s) )和和总的稳总的稳态误差态误差ess 总误差总误差e( (s)=)=er( (s)+)+en( (s) )总的稳态误差总的稳态误差ess= =ess1 1+ +ess2 2 21

55、21( )( )( )( )( )( )( )r sg s n s h se sg s g s h s 11220121( )( )( )lim( )( )( )ssssssseeer sg s n s h ssg s g s h s100例例1 1：已知系统如图所示：已知系统如图所示, ,其中其中求当系统扰动为求当系统扰动为n1(t)，n2(t)，n3(t) 及输入均为单位阶跃信号时，及输入均为单位阶跃信号时，输入和扰动分别引起的稳态误差。输入和扰动分别引起的稳态误差。33123( )( )1( )( )( )nn sesg s g s g s123123510(1)100( ),( ),(

56、 )11(1)sg sg sg stst ss t st -)(sr1( )ns)(sc+1( )g s2( )g s)(se3( )g s2( )ns+3( )ns+1123ssssrssnssnssneeeee322123( )( )( )1( )( )( )ng s nsesg s g s g s2321123( )( )( )( )1( )( )( )ng s g s nsesg s g s g s123( )( )1( )( )( )rr sesg s g s g s101例例2 2：速度控制系统的方框图如下图所示。给定输入和扰动作用：速度控制系统的方框图如下图所示。给定输入和扰动作

57、用均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。均为单位斜坡函数。求系统的稳态误差。-+)(sr)(se)(sn)(sn)(sc1k) 1(2tssk1stknn解：，、21)(,)(0)(ssrttrtn即先令1)(sr)(se) 1(21tsskk2212( )( ),( )reestssgsr stssk k 222121( )( )( )retssessr stssk ks 200121211( )limlimssrrsstses estssk kk k 102221212( )1( )1(1)nestssk kn stssk ks ts 212( )ntssestssk k )(1)(2122snstkkkstsstssnnn2220012121( )1limlimnnssnnssnkktsses esstssk kt ssk k 3 3、总的稳态误差为：、总的稳态误差为：21212111kkkkkkkkennss21)(, 0)(stnsr再令2、-+)(sr)(se)(sn)(sn)(sc1k) 1(2tssk1stknn1030(