力学第1章质点运动学课件

1、1 力力 学学21. 注意定理、定律的条件，不乱套公式；注意定理、定律的条件，不乱套公式； 质点（系）力学：质点（系）力学：复习、提高复习、提高 刚体力学：刚体力学：新内容，新内容，质点系的特殊应用。质点系的特殊应用。学习内容学习内容 振动和波动：振动和波动：复习、提高复习、提高 狭义相对论：狭义相对论：新内容，新内容，新思想、新观点。新思想、新观点。3. 数学方法上提高数学方法上提高 矢量力学、微积分、矢矢量力学、微积分、矢量运算、常微分方程量运算、常微分方程的运用。的运用。2. 提高分析能力，如量纲分析、判断结果提高分析能力，如量纲分析、判断结果 的合理性等；的合理性等；31.1 参考系、

2、坐标系参考系、坐标系1.2 质点的位置矢量运动函数质点的位置矢量运动函数1.3 位移、速度、加速度位移、速度、加速度1.4 匀加速运动匀加速运动1.5 自然坐标系、圆周运动自然坐标系、圆周运动1.6 平面极坐标系平面极坐标系1.7 相对运动相对运动第一章第一章 质点运动学质点运动学注：打注：打 的为自学或略讲内容，以后相同的为自学或略讲内容，以后相同4质点质点: 力学模型力学模型建立模型物理学研究的基本方法建立模型物理学研究的基本方法(合情，合情，合理，合法合理，合法) 具有质量的几何点具有质量的几何点经典力学的牛顿力学形式又称为经典力学的牛顿力学形式又称为 “矢量力矢量力学学”:牛顿力学的主

3、要物理量都是矢量；牛顿力学的主要物理量都是矢量；主要的运动方程都是矢量的微分方程。主要的运动方程都是矢量的微分方程。研究对象研究对象只有大小没有方向意义的物理量只有大小没有方向意义的物理量标量标量有大小以及方向意义的物理量有大小以及方向意义的物理量(满足三角求和满足三角求和法则法则)矢量矢量 (有向线段几何矢量有向线段几何矢量)5(A为投影，有正负为投影，有正负)Ax,Ay,Az为为 在在x,y,z轴上投影轴上投影.xyAyAxo矢量表示矢量表示：A , ; (Ax,Ay,Az), (A1,A2,A3) ;021222zyx单位矢量单位矢量: 模为模为1的矢量的矢量几何矢量的长度几何矢量的长度

4、6zyxzyxzyxxyAyAxoxyz zy yx xOPr21222zyxrxyPyxOzzr矢量投影矢量投影实质上是先分解为分量实质上是先分解为分量然后分量然后分量(分矢量分矢量)进行投进行投影影71. 加法：加法：平行四边形法则平行四边形法则交换律交换律ABBA 结合律结合律CBACBA )()(2. 数乘：数乘：矢量乘标量结果仍为矢量矢量乘标量结果仍为矢量结合律结合律AA)()( 分配律分配律AAABABA )()(矢量公式矢量公式8交换律交换律ABBA 分配律分配律CABACBA )(3. 标量积（点积）：标量积（点积）：,cos ABBA 4. 矢量积：矢量积：BA AB )0(

5、sin ABBAAAA 2右手定则右手定则9zyxzyxBBBAAAkjiBA )()()( xyyxzxxzyzzyBABAkBABAjBABAi CABACBA )(0 AAABBA 矢量叉积不满足交换律！矢量叉积不满足交换律！xyz10两个重要公式：两个重要公式： )()()( BACACBCBAzyxzyxzyxCCCBBBAAACBA )()(CBA等于以等于以CBA , ,为边的平行六面为边的平行六面体的体的体积。体积。 共面或其中任意共面或其中任意 2 个平行则：个平行则： CBA , ,0)(CBACBA11 )()()( BACCABCBA （验证分量式成立即可验证分量式成立

6、即可）5. 矢量微分：矢量微分：tBtAtBAddddd)(d tBABtAtBAddddd)(d tBABtAtBAddddd)(d 12tAAttAddddd)d( 记记 ， 是是 方向的单位矢量方向的单位矢量AAAAA则有：则有：tAAAtAtAAtAddddd)d(dd 一个矢量随时间的变化包括一个矢量随时间的变化包括 2 部分：部分： 大小大小随时间的变化和随时间的变化和方向方向随时间的变化。随时间的变化。若若t为时间，则上式为矢量为时间，则上式为矢量 对时间的导数对时间的导数A131.1 参考系参考系 一一.参考系参考系（frame of reference, reference

7、system）运动是相对的，运动是相对的，因此描述运动必须选取参考系因此描述运动必须选取参考系运动学运动学中参考系可任选中参考系可任选， 不同参考系中物体不同参考系中物体的运动形式的运动形式（如轨迹、速度等）（如轨迹、速度等）可以不同。可以不同。 太阳参考系（太阳太阳参考系（太阳 恒星参考系）恒星参考系） 地心参考系（地球地心参考系（地球 恒星参考系）恒星参考系） 地面参考系或实验室参考系地面参考系或实验室参考系 质心参考系质心参考系常用的参考系：常用的参考系：参考物：参考物： 事先选定的视为不动的物体或彼此事先选定的视为不动的物体或彼此无相对运动的物体群。无相对运动的物体群。14太阳系太阳系

8、zx y地心系地心系地面系地面系通常用一个直角坐标框架代表参考系通常用一个直角坐标框架代表参考系15二二. 坐标系坐标系（coordinate system）为为定量定量描述运动，需在参考系上固结坐标系。描述运动，需在参考系上固结坐标系。坐标系：坐标系： 固结在参考系上的一组有刻度的射线、固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或者角度。曲线或者角度。 参考系选定后，坐标系还可任选。参考系选定后，坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。 球极坐标系（球极坐标系（ r, ） 柱坐标系（柱坐标系（ , , z ） 自然自然“坐标系坐标系”z yx

9、x yzr 直角坐标系（直角坐标系（ x , y , z ）常用的坐标系：常用的坐标系： 16三三. 物体的平动与转动物体的平动与转动t1t2t3物体平动：物体平动：任任 2 点连线在运动中保持平行。点连线在运动中保持平行。物体内所有点的平动轨迹都物体内所有点的平动轨迹都“相同相同”，故整体，故整体上可用一个质点的运动描述。上可用一个质点的运动描述。质点概念：质点概念：强调物体的质量和占据的位置，强调物体的质量和占据的位置， 忽略物体体积。忽略物体体积。t1t2t317物体转动：物体转动：绕某个瞬时轴或固定轴旋转。绕某个瞬时轴或固定轴旋转。t1t2t3w w物体内各点的运动状态不尽相同，故不能

10、用物体内各点的运动状态不尽相同，故不能用一个点的运动代表所有点的运动。一个点的运动代表所有点的运动。转动转动要描述的是一个质点集合的运动状态。要描述的是一个质点集合的运动状态。18平动参考系平动参考系 S 转动参考系转动参考系 S OxySOxySw w做曲线运动的做曲线运动的质点质点可选作可选作平动参考系。平动参考系。固联于平动参考系的坐标框架方位不变。固联于平动参考系的坐标框架方位不变。三三. 平动与转动参考系平动与转动参考系S t1O x y S t2O x y S t1O x y S t2O x y 19（固定原点）（固定原点）1.2 质点运动函数质点运动函数 在参考系中配一套在参考系

11、中配一套同步时钟，同步时钟，可以可以给出质点给出质点位置矢量和时间的函数关系位置矢量和时间的函数关系 运动函数。运动函数。位置矢量（位矢）：位置矢量（位矢）：)(trr ktzjtyitxztzytyxtxtr)()()()()()()( 轨道方程轨道方程由由运动函数（运动函数（轨道方程轨道方程）可得速度、加速）可得速度、加速度，度，因此因此质点状态可用轨道描述。质点状态可用轨道描述。x z y P(t)轨迹轨迹)(tr O201.3 位移、速度、加速度位移、速度、加速度)()(trttrr P1 P2轨迹轨迹21PP 21PPr 大小大小方向方向 位移：位移：质点在质点在一段时间内位置的改变

12、一段时间内位置的改变 。r )(tr)(ttrrO（固定原点）（固定原点）21路程：路程：质点实际运动轨迹的长度质点实际运动轨迹的长度 s 。注意：注意：分清分清 等的几何意义。等的几何意义。rrr 、 r rs rrrrdd ，； dd rs 但但 s P1 P2)(tr)(ttrrO)(tr)(ttrr s22速度：速度：质点位矢对时间的变化率质点位矢对时间的变化率平均速度：平均速度：tr v（瞬时）速度：（瞬时）速度：rtrtrt dd lim0v速度方向：速度方向：沿轨迹切线方向沿轨迹切线方向速度大小速度大小 速率：速率：trdd vvtsdd trdd )(tv23 P1 P2)(t

13、r)(ttrO加速度：加速度：质点速度对时间的变化率。质点速度对时间的变化率。 加速度：加速度： tat v lim0 加速度方向：加速度方向：变化方向变化方向v加速度大小：加速度大小：taaddv tddv rtr 22ddtddv )(tv)(tt v)(tv)(tt vv24运动学的两类问题：运动学的两类问题：)( )( )(tattr v微分微分 定量计算需选用坐标系定量计算需选用坐标系 矢量描述便于一般性陈述，普遍、简练。矢量描述便于一般性陈述，普遍、简练。积分积分 00 v r直角坐标系直角坐标系 适合适合 为常量时，如抛体；为常量时，如抛体；a平面极坐标系平面极坐标系 适合适合

14、指向定点时，如有指向定点时，如有 心力场中的行星运动；心力场中的行星运动；a自然坐标系自然坐标系 适合轨迹确定，如圆周运动。适合轨迹确定，如圆周运动。25特征：坐标架单位矢量特征：坐标架单位矢量 不随时间变，不随时间变，kji,直角坐标系中运动的描述直角坐标系中运动的描述ktzjtyitxtr)()()()( kzj yi xrdddd 222)(d)(d)(ddzyxr 222)(d)(d)(ddzyxs kjizyxvvvv 各分量运动的描述具有独立性。各分量运动的描述具有独立性。26tztytxzyxddddddv ,v ,vkajaiaazyx 222222ddddddddddddtz

15、tatytatxtazzyyxx vvv27【例】【例】如图所示，如图所示，绞车以恒定速率绞车以恒定速率v0 收绳，收绳，高度高度h h为常数，为常数，avx、处船的求：距岸hyhrx,2122cos0021220vxvhxxrvvx0dtdhvy解：如图建立解：如图建立x，y坐标坐标系，确定正方向，投影系，确定正方向，投影322020020 xhvxvxvrxvdtdvaxx0yaxxhvaxxvhxv, 322002122( =正常数), dtdrv0h v0岸岸船船绳绳?,avxyOrxy281.4 匀加速运动匀加速运动自学自学直线运动、抛体运动直线运动、抛体运动若已知若已知 （或（或

16、， ），利用直角坐），利用直角坐标系下各分量运动描述的独立性，将运动标系下各分量运动描述的独立性，将运动分解为分解为 3 个方向的直线运动分别求解，使个方向的直线运动分别求解，使问题简单。问题简单。)(ta)(tv)(tr29一一. 自然坐标系自然坐标系1.5 自然坐标系、圆周运动自然坐标系、圆周运动1ne2ne2te 2O2O1 11teP2坐标方向：坐标方向：坐标：路程坐标：路程 s(t)切向切向 ：指向轨迹切向指向轨迹切向te法向法向 ：指向轨迹曲线的曲率圆圆心指向轨迹曲线的曲率圆圆心ne注意：注意：单位矢量单位矢量 固结在轨迹上不同位固结在轨迹上不同位 置，随位置置，随位置变化变化！n

17、tee ,sP130tsetdd , vvv速度：速度：加速度：加速度：teettattddddddvvv 可证明可证明ntete v dd dd 2nteeta vv Otene va 曲率半径曲率半径31切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度 dd ttetav 2nnea v 描述描述速度方向速度方向的变化的变化描述描述速率速率的变化的变化在轨迹已知的情况下，自然坐标系最能反映在轨迹已知的情况下，自然坐标系最能反映所描述运动的特征，物理图像清晰。此情形所描述运动的特征，物理图像清晰。此情形下用自然坐标系是方便的。下用自然坐标系是方便的。 与与 同向加快，反向减慢。同向加快，反向减慢。t

18、av32【例【例1】行星沿椭圆轨道运动，加速度指向一行星沿椭圆轨道运动，加速度指向一 焦点，定性分析由焦点，定性分析由 M 到到 N 速率的变化。速率的变化。【例【例2】抛体运动的轨道最高点处的曲率半径。抛体运动的轨道最高点处的曲率半径。解：解：最高点只有水平速度，此时重力加速度最高点只有水平速度，此时重力加速度 沿轨迹法向，沿轨迹法向，gan 2vg20)cos( vMNav解：解：由由 M 到到 N 中中 与与 反向，故速率减小。反向，故速率减小。tav33二二. 圆周运动圆周运动 w w tdd有限大小角位移不是矢量，有限大小角位移不是矢量，因为不满足矢量加法。因为不满足矢量加法。转向转

19、向w w 1. 角位移角位移2. 角速度角速度w w大小：大小：方向：按右手定则，右手方向：按右手定则，右手 四指顺着转动方向，四指顺着转动方向， 大拇指的指向即是。大拇指的指向即是。w w ORs vr34tsdd vtRdd w wR tddw w 3. 角加速度角加速度4. 速度速度)( Rrr w wv w w tdd质点绕固定轴作圆周运动，质点绕固定轴作圆周运动， 方向不变，所以：方向不变，所以：w wrw wvrtrw wdd 在转动在转动rw w ORs vr35 5. 加速度加速度)( ne)( te)( te)( ne引入自然坐标系引入自然坐标系 ，ntee ,显然显然 是是

20、 的函数。的函数。ntee ,te )( te)( te当当 0 时：时： tteentee ttee ntee/ 所以所以 ，ntee dd 类似可证类似可证 。tnee dd O36taddv teetttddddvv vv nteReta2dd )(ddtet v利用复合函数对时间求导可得：利用复合函数对时间求导可得： nntteRetetev w w dddd dd向心加速度：向心加速度： 2nneRavORvnaata376. 角量与线量的关系角量与线量的关系 vw wR 左图中分别是什么情形？左图中分别是什么情形？ Rtat ddv22w wRRan v线量线量角量角量【思考】【思

21、考】 （牢记，刚体要用）（牢记，刚体要用）4a 情形是否存在？情形是否存在？4aO1a2a3av381.6 平面极坐标系平面极坐标系re er O坐标：坐标：r, （逆时针为正）（逆时针为正）坐标方向：坐标方向：径向径向 ：指向指向 r 增加方向增加方向re横向横向 ：指向指向 增加方向增加方向 e注意：注意：单位矢量单位矢量 固结在轨迹上不同位固结在轨迹上不同位 置，但只是置，但只是 的函数，与的函数，与 r 无关。无关。 eer ,rreeee dd , dd 由此易证由此易证39re er Orerr 位矢：位矢：速度：速度：terrd)(dteretrrrdddd teretrrrdd

22、dddd etretrrdddd eerrvvv 40径向速度：径向速度：rrrretredd vv横向速度：横向速度： etredd vv两个正交分运动从两个正交分运动从描述上彼此不独立！描述上彼此不独立！【例】【例】如图示，如图示，绞车绞车 以恒定速率以恒定速率v0 收绳，收绳，h v0岸岸船船绳绳求：求：船的速率船的速率v41如图建立极坐标系如图建立极坐标系0ddvv trr02sincos)ddsin(ddvv trrhrtr cossin0022vvvvv rrh cos由几何关系：由几何关系：trrhtddddsin2 两端微分得：两端微分得：r Ov0h re e421.7 相对

23、运动相对运动在不同参考系中观察同一物体的运动，它们在不同参考系中观察同一物体的运动，它们之间的相互关系如何？之间的相互关系如何？静止参考系：静止参考系：相对观察者静止的参考系相对观察者静止的参考系 S。运动参考系：运动参考系：相对观察者运动的参考系相对观察者运动的参考系 S 。绝对运动：绝对运动：物体相对静止参考系物体相对静止参考系 S 的运动。的运动。相对运动：相对运动：物体相对运动参考系物体相对运动参考系 S 的运动。的运动。牵连运动：牵连运动：运动参考系运动参考系 S 相对静止参考系相对静止参考系 S 的运动。的运动。43位移关系：位移关系： 0rrr r r Ox yS y uS x

24、O 0r y x S O u只讨论只讨论 S 相对相对 S 作作平动平动的情形，即牵连运的情形，即牵连运动是平动的情形。动是平动的情形。44速度关系：速度关系： u vv 相对速度相对速度v 绝对速度绝对速度v 牵连速度牵连速度u 伽利略速度变换伽利略速度变换加速度关系：加速度关系： 0aaa .const u若若aa 有有，则则 0dd 0 tua45几点说明：几点说明：1. 上面的结论是在上面的结论是在绝对时空观绝对时空观下得出的：下得出的：只有只有假定假定“长度测量不依赖于参考系长度测量不依赖于参考系”0rrr 才能给出位移关系：才能给出位移关系：（空间的绝对性），（空间的绝对性），只有

25、只有假定假定“时间测量不依赖于参考系时间测量不依赖于参考系”绝对时空观只在绝对时空观只在 u c（光速）时成立。（光速）时成立。u vv0aaa 和和（时间的绝对性），（时间的绝对性），才能进一步给出关系：才能进一步给出关系：462. 不可将速度的合成与分解和伽利略速度不可将速度的合成与分解和伽利略速度 变换关系相混淆。变换关系相混淆。速度的合成与分解是在同一参考系中进行，速度的合成与分解是在同一参考系中进行，总能够成立；总能够成立；伽利略速度变换伽利略速度变换则应用于两则应用于两个参考系之间，个参考系之间，只在只在 u c 时才成立。时才成立。3. S 相对相对 S 作作平动平动时，牵连速度

26、时，牵连速度 和牵连加和牵连加 速度速度 与物体相对与物体相对 S 的位矢的位矢 无关。无关。u0ar （1） 和和 都和都和 有关。有关。u0ar S 相对相对 S 作作匀速转动匀速转动时：时：47【例】【例】雨天骑车人只在胸前雨天骑车人只在胸前 铺块塑料布即可遮雨。铺块塑料布即可遮雨。 （2）速度变换关系仍满足：）速度变换关系仍满足：但加速度变换关系中需增加一个被称为但加速度变换关系中需增加一个被称为科里奥利加速度科里奥利加速度的项：的项： u vv 0aaa + 科里奥利加速度科里奥利加速度 = +雨对人雨对人v 雨对地雨对地v 人人对对地地v )( v)( v)( u雨对人雨对人v 雨对地雨对地v 人人对对地地v 48力学力学 mechanic