第七章 定解问题

1、数学物理方程数学物理方程从物理问题中导出的数学偏微分方程，有时也包括积分方程、微分积分方程 。本课程介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关定解问题和这些问题几种常用解法。这三类偏微分方程是：波动方程 输运方程稳定的场方程第七章 数学物理定解问题教学目的：掌握根据物理规律和物理现象导出数学物理方程，写出定解条件的方法。教学内容：1.导出数学物理方程，包括 1)波动方程(均匀弦横向振动和均质杆纵向振动)；2)输运方程(扩散、热传导现象)；3)稳定场分布方程。(2课时)2定解条件，1)初始条件；2)边界条件(第一、二、三类)。(1.5课时)3. 达朗贝尔公式(简介)。(0.5课时)重点：导出数学物理

2、方程, 第一、二类边界条件。难点：边界条件，方程中各偏导数的物理涵义。定解问题： 1)数学物理方程物理规律用偏微分方程表示出来泛定方程 2)边界条件区域边界所处的物理状况 3)初始条件初始时刻的物理状态 边界条件初始条件定解条件§71数学物理方程的导出u(x,t)一、 波动方程1 匀弦的微小横振动弦的静态特点：质量分布均匀，线密度为，自重可不计，完全柔软，平衡时沿x轴绷紧。弦的运动特点：受外界扰动后，弦上质点在与x轴垂直的方向产生微小位移；相邻小元段弦之间有弹性力作用，弹性拉力的方向始终沿弦的切线方向，由于元段弦之间相邻的弹性力作用，任一小段弦有横向运动时必然带动相邻元段弦运动。平衡

3、位置在x处的质元在t时刻的位移记为u(x,t)。用牛顿定律讨论区间x,x+dx上小元段弦的运动(先假设除元段弦之间的张力外，不受其它外力作用)x x+d x1 T1U(x,t)T22考虑微小振动，很小，其中，如果弦在振动过程中还受到外加横向力作用，设单位长度弦上所受的横向外力为F(x,t)，则其中 2 均匀杆的纵振动杆的质量分布均匀，密度为，并假设杆上各段的横截面积S相同，杆的长度方向于x方向一致，杆上任一质点可沿杆长方向移动(纵向位移)，设t时刻平衡位置在x处的质点的位移为u(x, t)。由于杆上的质点相互连接在一起，当杆上任一小段有纵向位移时它会带动相邻质点移动，并使邻近小段杆压缩或伸长，

4、同时，这邻段杆自己也被邻段杆压缩或伸长，这样 ，任一小段的纵向位移必然会传播到整根杆，这就是波动。把细杆分为许多极小的小段，拿区间(x, x + dx)上的小段B为代表加以研究。在小段杆的每个端面上受到的压力（或拉力）记为T，应力为P（单位横截面积上受到的力）。假设不受其它外力作用。在振动过程 中，小段B的两端受的力和位移分别为A B C A B C u u+dux x+dx xT(x + dx) T(x)根据牛顿运动定律在力学中，应力P遵循胡克定律，在测量金属细丝的杨氏模量实验中，把胡克定律简单地表述为，是金属丝的长度，是伸长量，在现在研究的问题中，因此，胡克定律应表示为即其中。这是一维细杆

5、的波动方程，推广到三维情况如果除内力外，杆还受外力作用，称为受迫纵振动。设杆的单位长度上每单位横截面积上（也就是单位体积）所受的纵向外力为F(x, t)这里，相应的三维情况二、输运方程在这里，我们研究热传导问题和物质的扩散问题，两者归结为输运问题。当空间温度不均匀时，就会发生热传导；物质的浓度分布不均匀时，就会发生扩散运动。实质上两者都是扩散问题，只不过前者是能量的扩散，后者是物质（质量或分子数）扩散，两者遵循相似的物理规律。热传导（或物质的扩散）就是热量（或物质）的流动，流动的强度分别用热流强度和扩散流强度表示，两者都记为，表示单位时间里垂直流过单位横截面积的热量（或物质的量）。用表示空间的

6、温度（或物质的浓度）分布。1热传导方程在热传导问题中，热量的流动遵循傅里叶热传导定律：叫作热传导系数，是温度梯度，“”表示热量从高温向低温流动。考虑小体积，单位时间内净流入的热量为，是包围小体积的闭曲面。假设小体积内没有热源或热汇（吸收热量，转化为其他形式的能量或用于物质的状态变化，不改变温度），热量流入小体积内，必然导致温度的变化，单位时间内温度的变化为，当为常数，物质分布均匀（密度为常数）时，根据能量守恒定律，热平衡方程为 如果在物体内部存在热源，热源强度(单位时间内在单位体积中产生的热量)为，单位时间内内净增加的热量为如果热量仅沿x方向传导，如热传导发生在横截面积为S、侧面绝热、沿x轴方

7、向放置的均质细杆中，一维热传导方程为有热源时2扩散方程在扩散问题中，物质的流动所遵循的规律为：为扩散流强度，D叫作热扩散系数，是浓度梯度，“”表示物质从高浓度向低浓度方向流动。同样考虑小体积，单位时间内净流入内的物质的量为，假设小体积内没有源或汇（其他物质转化为这种物质称之为源，这种物质转化为其他物质称之为汇），质量流入小体积内，必然导致这种物质的浓度度发生变化，单位时间内浓度的变化为，根据质量守恒定律：（假设D为常数） 如果在物体内部存在源，源的强度(单位时间内在单位体积中产生物质的量)为，单位时间内内净增加的量为如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为有源时三、稳定的场方程1稳定的温度(浓度

8、)分布场稳定不随时间变化，即稳定的温度场 泊松方程无热源时 拉普拉斯方程2静电场是电荷密度，是真空中的介电常数(电容率)，=0时§72定解条件数学物理方程是同一类现象的共同规律，反映的是该类现象的普遍性的一面，但是就物理现象而言，各个具体问题还有其特特殊性的一面，也就是说仅仅只有数学物理方程，还不能确定各个具体问题中的物理量。其实，在质点力学中我们对这个问题已经有了深刻的理解，质点运动遵循牛顿定律，但是仅有还不能确定位移和速度，要确定某时刻这两个具体的物理需要知道早一些时刻或初始时刻的状态，即它的“历史”。在高等数学中，要求解常微分方程确定的解，必须给定初始条件。数学物理方程是偏微分

9、方程，物理量的值与空间变量和时间变量有关，要确定这些物理量，就要研究对象所处的特定“环境”“和历史”，即边界条件和初始条件.一、 初始条件对于随着时间而发展变化的问题，必须虑到研究对象的特定“历史”，就是说，追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。对于输运过程(扩散、热传导)，初始状态指的是所研究的物理量的初始分布(初始浓度分布、初始温度分布)，因此，初始条件是t=0时，u的值，即其中是巳知函数。但对于振动过程(弦、杆、膜的振动，较高频率交变电流沿输线传播声振动和声波，电磁波)，只给出初始“位移”还不够的，还需要给出初始“速度”从数学的角度看，就时间t这个自变数而言，输运过程的泛定方

10、程中只出现一阶导数ut，是一阶微分方程，所以只需要知道t=0时u的值，即一个初始条件(7.2.1)；振动过程的泛定方程则出现t二阶的导数utt ，是二阶微分方程，所以需要两个初始条件.注意：初条件应当给出整个系统的初始状态，而不是系统中个别地点的初始状态。例 一根长为l而两端固定弦，用手把它的中点朝横向拔开距离h(图78)，然后放手任其振动。u h0 l/2 l x所谓初始时刻，就是放手的那个瞬间，初始条件就是放手那个瞬间的弦的位移和速度，初始速度显然为零，即至于初始位移如写成那就错了，因为这只是弦的中点的初始位移，其他各点的位移并不是h。考虑到弦的初始形状是由两段直线衔接而成，初始位移应是的

11、分段函数最后，谈一谈“没有初始条件的问题”，没有外源，只是由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运，在自由输运过程中，不均匀的分布逐渐均匀化，随着分布的逐渐均匀化，输运过程也步衰减，因此，一定时间以后，自由输运就衰减到可认为巳消失，没有外加力，只是由于初始偏离或初始速度引起的振动叫作自由振动，上节推导自由振动方程时没有计及阻尼作用(该节习题3要求计及阻尼作用)，而实际一阻尼是不可避免的，自由振动不可避免逐渐衰减，因此，一定时间以后自由振动就衰减到可以认为巳消失，这样，在周期性外源引起的输运问题或周期性外力作用下的振动问题中，经很多周期之后，初始条件引起的自由输运或性外源或外力所引起，处理

12、这类问题时，我们完全可以忽略初始条件的影响，这类问题也就叫作没有初始条件的影响。二、 边界条件边界条件边界上的物理状况。常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，在与时间有关的问题中一般是时间的函数，它对边界上的物理量在任一时间上的数值作了规定。在长为的弦的横向振动或细杆纵向振动中，就是和端的位移值， 如果弦的两端固定，则， 在热传导问题中就是边界上温度值。如杆两端温度值分别为定值N1、N2，则， 第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值，在与时间有关的问题中一般也是时间的函数， 这也就是对边界上的物理量在任一时间对空间变量

13、偏导数的数值作了规定。在一维有界空间问题中， 在第二类边界条件问题中要注意导数的物理涵义。在细杆的纵向振动问题中，相对伸长与力T联系在一起，在输运问题中或，分量形式 ，偏导数、与热流、联系在一起，“-”号表示热流动的方向沿减小的方向，即热流从高温流向低温。例：作纵振动的杆若一端(取)固定，另一端(取)自由，则有，。u 0 l xu 0 l x如杆的端点受力作用，写边界条件时要小心注意力的方向和的符号。判例如杆的两端和同时端受拉力F0作用，两端都有（如图），则，。如果改为杆的两端同时端受压力F0作用，两端都有，结果应是、。在一维热导问题中，若某端()绝热，。若的一端有热流流入，热流方向与x的正方

14、向相同，。若的一端有热流流入，热流方向与x的正方向相反，。如果改为(或)的一端有热流流出，则又怎么样？特别提醒：（1）关键词：“自由”、“固定”、“绝热”；（2）边界条件所考虑的是在运动时间范围内的边界状态。例如：在本节习题1、2（P128）和§81节习题5（P160）都讲到受力，但这三个“”所起的作用是不相同的，习题1和习题5中的“”是在运动过程前受到力，运动开始后“”消失，与边界条件无关。在习题1中，“”与边界毫无关系，是在运动前作用在点，与该点两边弦中的张力组成平衡力，决定时弦上各点的位移；在习题5中，“”是作用在边界上，如果写成则是错误的，因为本题要求的是“放手后的振动”，在振动过程中已经不存在了，边界条件只能是，这里的决定初始时刻杆的状态，即，。在习题2中，“”始终作用在边界上，第三类边界条件，规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。衔接条件作业P161，1，2，3。§ 74达朗贝尔公式无界区域一维振动方程，无边界条件，只