高中数学 第1章 计数原理 1.5 二项式定理教学案 苏教选修23

1、11.51.5二项式定理二项式定理第 1 课时二项式定理问题 1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题 2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n1 项，每一项的次数为n.问题 3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：因(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式乘法法则知，从四个ab中选a或选b是任意的若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有 C14种，式子为 C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法

2、有 C24种，式子为 C24a2b2.问题 4：能用类比方法写出(ab)n(nN N*)的展开式吗？提示：能，(ab)nC0nanC1nan1bCnnbn.1二项式定理公式(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，它一共有n1 项2二项展开式的通项Crnanrbr叫做二项展开式的第r1 项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1Crnanrbr3二项式系数Crn(r0，1，2，n)叫做第r1 项的二项式系数1(ab)n中，nN N*，a，b为任意实数22二项展开式中各项之间用“”连接3二项式系数依次为组合数

3、C0n，C1n，Crn，Cnn.4(ab)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减 1 直到 0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由 0 逐次加 1 直到n.例 1求下列各式的展开式：(1)(a2b)4；(2)2x32x25.思路点拨可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开精解详析(1)根据二项式定理(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn，得(a2b)4C04a4C14a32bC24a2(2b)2C34a(2b)3C44(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.(2)法一：2x32x25C05(2x)5

4、C15(2x)432x2C25(2x)332x22C35(2x)232x23C45(2x)32x24C5532x2532x5120 x2180 x135x44058x724332x10.法二：2x32x25（4x33）532x10132x10C05(4x3)5C15(4x3)4(3)C45(4x3)(3)4C55(3)5132x10(1 024x153 840 x125 760 x94 320 x61 620 x3243)32x5120 x2180 x135x44058x724332x10.一点通形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开， 展开时注意二项展开式3的特点：前一个字母是降幂，后

5、一个字母是升幂含负号的二项展开式形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况1写出(12x)4的展开式解：(12x)4C0414(2x)0C1413(2x)1C2412(2x)2C3411(2x)3C4410(2x)418x24x232x316x4.2求x12x4的展开式解：法一：x12x4C04(x)4C14(x)312xC24(x)212x2C34x12x3C4412x4x22x3212x116x2.法二：x12x42x12x4116x2(2x1)4116x2(16x432x324x28x1)x22x3212x116x2.例 2已知二项式x212x10.(1)求展开式中的第 5 项；(2)

6、求展开式中的常数项思路点拨(1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式Tr1Crnanrbrax2，b12x， 设第r1 项为常数项， 令x的指数等于 0 即可求出r.精解详析(1)x212x10的展开式的第 5 项为4T5C410(x2)612x4C410124x121x41058x10.(2)设第r1 项为常数项，则Tr1Cr10(x2)10r12xrCr10 x2052r12r(r0，1，2，10)，令 2052r0，得r8，所以T9C81012845256，即第 9 项为常数项，其值为45256.一点通(1)二项展开式的通项Tr1Crnanrbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确

7、定，该项也随之确定对于一个具体的二项式，通项Tr1依赖于r，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n.(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等其通常解法就是根据通项公式确定Tr1中r的值或取值范围以满足题设的条件3(x2y)6展开式中的第 4 项为_解析： 由二项展开式的通项得， (x2y)6展开式中的第 4 项为 C36x63 (2y)3160 x3y3.答案：160 x3y34二项式x31x2n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_解

8、析：二项展开式的通项是Tr1Crnx3n3rx2rCrnx3n5r，令 3n5r0，得n5r3(r0，1，2，n)，故当r3 时，n有最小值 5.答案：55求x124x8的展开式中的有理项5解：x124x8的展开式的通项为Tr1Cr8(x)8r124xr12rCr8x163r4(r0，1，2，8)，为使Tr1为有理项，r必须是 4 的倍数，所以r0，4，8，故共有 3 个有理项，分别是T1120C08x4x4，T5124C48x358x，T9128C88x21256x2.例 3已知二项式3x23x10.(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；(2)求展开式中第 4 项的系数思路点拨利用二项式的

9、通项直接求第 4 项的二项式系数及第 4 项的系数精解详析3x23x10的二项展开式的通项是Tr1Cr10(3x)10r23xr(r0，1，10)(1)第 4 项的二项式系数为 C310120.(2)第 4 项的系数为 C3103723377 760.一点通要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异， 前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数 Crn；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关6 (x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于_解析：x2的系数是四个二项展开式中 4 个含x2的系数和，则有C02(1)0C13(1)1C24

10、(1)2C35(1)3(C02C13C24C35)20.6答案：207在二项式(1x2)20的展开式中，第 4r项和第r2 项的二项式系数相等，则r_解析：第 4r项与第r2 项的二项式系数分别为 C4r120和 Cr120，由题设得 C4r120Cr120.由组合数性质得 4r1r1 或 4r120(r1)4r1r1 没有整数解由 4r120(r1)，得r4.答案：48求2x21x9的展开式中第 3 项的二项式系数及第 4 项的系数解：通项公式为Tr1Cr9(2x2)9r1xr29rCr9x183r，故第 3 项的二项式系数为 C2936，第 4 项的系数为 26C395 376.1求二项展

11、开式特定项的一般步骤2求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项， 常见的题型有： 求第r项； 求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项 解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数， 根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误3二项式系数与项的系数的区别二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负7课下能力提升(八)一、填空题1(a2b)10展开式中第 3

12、项的二项式系数为_解析：第 3 项的二项式系数为 C21010！8！2！45.答案：452(四川高考改编)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为_解析：只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为 C2615.答案：153二项式x31x25的展开式中的常数项为_解析：Tr1Cr5(1)rx155r，令 155r0，r3.故展开式中的常数项为 C35(1)310.答案：104若(x1)nxnax3bx2nx1(nN N*)，且ab31，那么n_解析：aCn3n，bCn2n，又ab31，Cn3nCn2nC3nC2n31，即n（n1） （n2）26n（n1）3，解得n11.答

13、案：115.x21x9的展开式中有理项共有_项(用数作答)解析：由Tr1Cr9(x2)9r1xrCr9x183r,依题意需使 183r为整数，故 183r0，r6，即r0，1，2，3，4，5，6 共 7 项答案：7二、解答题86求(x2y3)7的第 4 项，指出第 4 项的二项式系数与第 4 项的系数分别是什么？解：T4C37(x)73(2y3)3C37x2(2)3y9280 x2y9，第四项的二项式系数为 C3735，第四项的系数为280.7若xax26展开式的常数项为 60，则常数a的值解：二项式xax26展开式的通项公式是Tr1Cr6x6r(a)rx2rCr6x63r(a)r.当r2 时

14、，Tr1为常数项，即常数项是 C26a，根据已知 C26a60，解得a4.8已知x12xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数解：x12xn展开式的通项公式为Tr1Crn(x)nr12xr12rCrnxn2r2.由题意知，C0n，12C1n，14C2n成等差数列，则 C1nC0n14C2n，即n29n80，解得n8 或n1(舍去)Tr112rCr8x4r.令 4r1，得r3.含x项的系数为123C387，二项式系数为 C3856.第 2 课时二项式系数的性质及应用9(ab)n的展开式的二次式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：问题 1：你从上面的表示形式可

15、以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和问题 2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，其系数和为 2n.问题 3：二项式系数最大值有何规律？提示：n2，4，6 时，中间一项最大，n3，5 时中间两项最大二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数 C0n，C1n，Cnn有如下性质：(1)CmnCnmn；(2)CmnCm1nCmn1；(3)当rn12时，CrnCr1n；当rn12时，Cr1nCrn；(4)C0nC1nC2nCnn2n

16、1与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等2当n为偶数时，二项式系数中，以 Cn2n最大；当n为奇数时，二项式系数中以 Cn12n和 Cn12n(两者相等)最大3二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等10例 1已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路点拨根据展开式的特点，对x合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解精解详析令x1，则a0a1a2a71令x1，则a0a1a2a737(1)令x0，则a01，a1a2a72.(2)()2，得a1a3a5a71372

17、1 094.(3)()2，得a0a2a4a613721 093.(4)|a0|a1|a2|a7|a0a1a2a3a7372 187.一点通(1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为12f(1)f(1)，偶次项系数和为12f(1)f(1)111设(2x1)6a6x6a5x5a1xa0，则|a0|a1|a2|a6|_解析：Tr1Cr6(2x)6r(1)r(1)r26rCr6x6r，ar(1)r26rCr6.|a0|a1|a2|a

18、6|a0a1a2a3a4a5a62(1)1636.答案：362二项式x21xn的展开式中各项系数的和为_解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为1211n0.答案：03已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.(1)求a0a1a2a5；(2)求|a0|a1|a2|a5|；(3)求a1a3a5.解：(1)令x1，则a0a1a2a3a4a51.(2)令x1，则a0a1a2a3a4a5243.|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5(a0a1a2a3a4a5)，|a0|a1|a2|a3|a4|a5|243.(3)a1a3a52121.例 2(12x)n

19、的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项思路点拨求(abx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，An1，再设第r1 项系数最大，由不等式组Ar1Ar，Ar1Ar2，确定r的值12精解详析T6C5n(2x)5，T7C6n(2x)6，依题意有C5n25C6n26n8.(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C48(2x)41 120 x4.设第r1 项系数最大，则有Cr82rCr182r1，Cr82rCr182r1，解得 5r6.r5 或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.一

20、点通(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项， 只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得4已知(ab)n的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则n_解析：(ab)n的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，二项展开式共有 9项，即n19，n8.答案：85在二

21、项式x3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为_解析：令x1，得各项系数的和为 4n，而各项的二项式系数的和等于 2n，根据已知，得方程 4n2n72，解得n3.所以二项展开式的通项Tr1Cr3(x)3r3xr3rCr3x3232r，显然当r1 时，Tr1是常数项，值为 3C139.13答案：96在x233x25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项解：(1)n5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第 3、4 两项，T3C25(x23)3(3x2)290 x6，T4C35(x23)2(3x2)3270 x223.(

22、2)设展开式中第r1 项系数最大，则Tr1Cr5x235r(3x2)r3rCr5x104r3，3rCr53r1Cr15，3rCr53r1Cr15，72r92，r4.即展开式中第 5 项系数最大，T5C45(x23)(3x2)4405x263.例 3求证：2n23n5n4(nN N*)能被 25 整除思路点拨将 2n23n5n446n5n4 转化为 25 的倍数即可证明精解详析原式46n5n44(51)n5n44(C0n5nC1n5n1C2n5n2Cnn)5n44(C0n5nC1n5n1Cn2n52Cn1n51)4Cnn5n44(C0n5nC1n5n1Cn2n52)20n45n44(C0n5nC

23、1n5n1Cn2n52)25n.以上各项均为 25 的整数倍，故 2n23n5n4 能被 25 整除一点通利用二项式定理证明或判断整除问题， 一般要进行合理变形， 常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式， 进而可判断或证明被除数能否被除数整除， 若不能整除则可求出余数7求证：51511 能被 7 整除证明：51511(492)511C0514951C15149502C505149250C51512511.14易知除 C51512511 以外各项都能被 7 整除又 2511(23)171(71)171C017

24、717C117716C16177C171717(C017716C117715C1617)显然能被 7 整除，所以 51511 能被 7 整除8求证：对任何非负整数n，33n26n1 可被 676 整除证明：当n0 时，原式0，可被 676 整除当n1 时，原式0，也可被 676 整除当n2 时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC1n26n1Cn2n262Cn1n261)26n126nC1n26n1Cn2n262.每一项都含 262这个因数，故可被 262676 整除综上所述，对一切非负整数n，33n26n1 可被 676 整除1用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系

25、数的和、 差的关键是给字母赋值， 赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般对字母赋的值为 1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握2二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r1 项的系数Tr1最大，则满足不等式Tr1Tr，Tr1Tr2，由不等式组解出r的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减15运算

26、产生(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零， 因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路课下能力提升(九)一、填空题1已知x12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_解析：由题设，得 C0n14C2n212C1n，即n29n80，解得n8 或n1(不合题意，舍去)，则x128的展开式的通项为Tr1Cr8x8r12r，令r14，得r3，则第四项为T4C38x51237x5.答案：7x52若3x1xn的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为_解析：令x1，2n64n6.由Tr1Cr636rx6r2(1)rxr2(1)rCr636rx3r，令 3r0r3.所以常数项为C36332027540.16答案：5403若x31x2n展开式中只有第 6 项的系数最大，则n_.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第 6 项应为中间项，则n10.答案：104已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a