平面向量学案0001

1、第一课时课程目标学习脉络1了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象 出向量.2 .理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及 向量的表示.1. 向量的概念向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量.数量：把那些只有大小，没有方向的量，称为数量.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，其方向是由起点指向终点. A为起点、uuuuuuB为终点的有向线段记作 AB （如图所示），线段AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记 uuu作| AB I书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头.有向线段的三个要素：起点、方向度.知道了有向线段的起点、方向、长度, 它的终点就唯一确定了.思考

2、1两个向量可以比较大小吗？提示：不能.因为向量既有大小，又有方向.2. 向量的表示法几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就uuuuuu是向量的长度(或称模)，如向量AB的长度记作|AB |.(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a, b, c,表示向量书写时，可写成带箭头的小写字母 a , b, C，还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示，uuu如以A为起点，以B为终点的向量记为 AB 特别提醒(1)向量的书写要规范，如向量a不能写成a;uuu uuu(2)向量的起点、终点要搞清，如AB与BA的起点与终点正好相反.3. 有关概念名称记法零同鼠-

3、fl度为g的向鼠叫做零向量0单位 向量反度等于丄个单位的向星，叫做单位 向量相等向童且方向相同的向呈叫做相零向ftn = b说明，任盘两个相等的非零向晴，都 可用同一条有向线段来表示，并且与 肓向线段的起点无关.在平面上两 个性度相等且齐向一敷的有向线段 表示同一个向量平行 向最方向相同或相反的非零向址叫做平 行向量a J b规圭：零同星与任一向華平盯说明；任组平行向虽都可以移动到 同71线上*因此"严行向凰也叫做 貝线向址思考2单位向量都相等吗？提示：不一定，单位向量的模相等，都等于1,但方向不一定相同.思考3表示相等向量的有向线段一定重合吗？提示：不一定，也可以平行，或在一条直线

4、上.思考4共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等向量一定共线，而共线向量不一定相等.特别提醒(1)零向量表示为0,而不是数字0;零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量是共线向量.(2)注意向量平行，向量所在直线不一定平行，还有可能是同一条直线.第二课时课程目标学习脉络1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义.2 .熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法贝U,会作已知两向量的和向量.3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算.1. 向量加法的定义求两个向量租的运算，叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.欢迎下载112. 向量加法的三角形法则uuuuuiuuuu如图，已知

5、非零向量 a, b,在平面内任取一点 A,作AB = a, BC = b，则向量AC叫uuu uuiu uuu做a与b的和，记作a+ b,即a+ b = AB + BC = AC .这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.3. 向量加法的平行四边形法则如图，以同一点 0为起点的两个已知向量 a, b为邻边作?OACB，则以O为起点的对uuu角线0C就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.思考1向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别与联系是什么？提示：(1)两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求

6、和.(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的.uuu uuu uuir如图所示，AC = AB + AD （平行四边形法则）.uuu uur uuu uuu uuu又BC = AD ,. AC = AB + BC （三角形法则）.（3）在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量的起点相同.思考2向量加法的三角形法则能否推广用来求多个向量的和？提示：能.向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组向量折线，这n个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则

7、的实质是三角形法则的连续应用.4. 向量加法的运算律交换律a+ b = b+ a结合律(a+ b)+ c= a+ (b + c)思考3零向量与其他向量的加法运算是怎样规定的？提示：对于零向量与任一向量a,规定：a + 0= 0 + a= a.思考4|a|b|, |a+ b|, |a|+ |b|之间的大小关系是怎样的?提示：IB|b|w|a + b|w|a|+ |b|.当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，|a + b|= |a|+ |b|;当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，|a|b|= |a+ b|.第三课时课程目标学习脉络1理解相反向量的意义；知道向量减法的定义.2 .掌握向

8、量减法的运算及几何意义，能作出两 个向量的差向量1.相反向量定义如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量，有a+ (- a)= 0若a, b互为相反向量，则a=- b, a + b = 0零向量的相反向量仍是零向量特别提醒 相反向量要从向量的“长度”与“方向”两个方面去理解;(2)相反向量必为平行向量；平行向量不一定是相反向量.2. 向量的减法定义a- b= a + (- b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法在平面内任取一点 0,作0A = a, OB = b,则向量a b= BA.如图所示几何意义如果把两个向量a, b的起点放在一起，则 a

9、-b可以表示为从向量 b的终点指 向向量a的终点的向量uuuuounuu思考1若0A = a, OB = b，贝U AB , BA如何用a, b表示?提示：uuu uuu uuuumr uuu uuuAB = Ob OA = b a, BA = OA OB = a b.思考2若a与b是两个不共线的向量，则|a+ b和 |a b|的几何意义是什么？uur uuu提示：如图所示，设 OA = a, OB = b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的uuuurn三角形法则，有0C = a+ b, BA = a b.uuuuuu四边形OACB是平行四边形， |a+ b|= |0C |, |a b|

10、=|BA|分别是以OA, OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.思考3向量加法与减法的几何表示的区别？提示：向量的减法是加法的逆运算，求a+ b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求 a b时，是把这两个向量的起点放在 一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.第四课时课程目标学习脉络1理解向量数乘的定义及几何意义.2 掌握向量数乘的运算律，并能用已知向量表 示未知向量.3 掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量 共线1.向量的数乘定义一般地，实数 入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作长度闪|=|川a|方向

11、40X的方向与a的方向相同X= 0X = 0K0X的方向与a的方向相反思考1向量数乘与原向量有什么样的关系？提示：向量数乘与原向量是共线向量.思考2向量数乘 七的几何意义是什么？提示：(1)当|入>1时，有|?a|>|a|，这意味着表示向量 a的有向线段在原方向(Q1)或反方 向(K - 1)上伸长了 |开倍.(2)当0<| ”<1时，有| ?a|<|a|，这意味着表示向量 a的有向线段在原方向(0< X1)或反方向 (-1< ?<0)上缩短了 |入倍.思考3向量的大小与方向如何？|a|a提示：向量的大小为1,方向与a的方向相同，所以该向量是向量

12、a方向上的单位|a|向量.2. 向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设人为实数，则(1) X 归)=(入)!S；(2) ( X- p)a= X + 归；(3) ?(a+ b)= X + b特别地，(一Xa= ( X) = X a), ?(a b) = Xa ?b.特别提醒向量的数乘运算、加减运算类似于多项式的运算，运算过程类似于多项式的“合并同类项”.3. 共线向量定理向量a(a丰0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入使b= Xa.思考4共线向量定理中为何要限制0?提示：共线向量定理中，若不限制a丰0,则当a= b = 0时，入的值不唯一，定理不成立.并 且当0, a = 0时，入的

13、值不存在.特别提醒(1)如果非零向量a与b不共线，且 X = Q,那么X=尸0.(2) 共线向量定理可以分为两个定理：判定定理：如果存在一个实数入满足b = X( X R),那么a/ b.性质定理：如果a / b,0，那么存在唯一一个实数 X使得b= X4. 向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a, b,以及任意实数 入2, 爲，恒有 X pia ±（j?b）=入 i（a±入 2b.第五课时课程目标学习脉络1.了解平面基底的含义，并能判断基底.2 .理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平 面内的任一向量.3.掌握两个向量夹角的疋义以及两

14、个向量垂直的疋 义.平面向量基本定理思考1设ei, e2是平面向量的一组基底， 则ei, e2中可能有零向量吗？平面向量的基底 唯一吗？提示：平面向量基本定理的前提条件是ei，e2不共线，若ei， e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故ei，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线即可，且基底不同时，实数入，茏的值也不相同.思考2向量的夹角与两条直线的夹角有何区别？提示：向量的夹角a的范围为O°WaW i80°，两条直线的夹角 B的范围是0°<90°第六课时课程目标学习脉络1理解平面向量的坐标的概念；2

15、.会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量1. 平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解.2. 平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底.坐标：对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y,使得a= xi + yj，我们把有序实数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作a= (x, y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标， y叫做向量a在y轴上的坐标.坐标表示：a= (x, y)就叫做向量的坐标表示.特殊向量的坐标：i = 11,0), j =仗,0= (0.0).思考1由向量的坐标定义

16、知，当且仅当两向量a= (xi , yi) , b =(X2, y2)满足什么条件时相等？提示：两向量相等当且仅当它们的坐标相等，即a = b? xi = X2且yi = y2.3. 向量与坐标的关系uuuua设OA = xi + yj,则向量OA的坐标(x, y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x,uury)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实 数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.思考2点的坐标与向量坐标的区别与联系是什么？提示：(1)区别： 表示形式不同，向量a= (x, y)中间用等号连接，而点的坐标A(x, y)中间

17、没有等号. 意义不同，点 A(x, y)的坐标(x, y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a = (x, y)的坐标(x, y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x, y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点 (x, y)或向量(x, y).联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.第七课时课程目标学习脉络1理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则， 能熟练进 行向量的坐标运算.2 .能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.平面向量的坐标运算设向量a = （xi, yi）, b=（X2, y2）,入 R，则有下表:文字描述付号表示加法两个向量和的坐标

18、分别等于这两个向量相应坐标的和a + b = (xi + x2, yi + y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a b = (xi x2, yi y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标七=（入x入y向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标已知 A(xi , yi), B(X2, y2), uuu贝V AB =(X2 xi, V2 yi)uur思考如何区别a b的坐标运算与 AB的坐标运算？uuu提示：a b的坐标是对应的坐标相减，AB的坐标为终点坐标减去始点坐标.欢迎下载21第八课时课程目标学习脉络1.理解用

19、坐标表示的平面向量共线的条件.2 .能用向量的坐标表示判疋向量是否共线.证明 三点共线.平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b= (X2, y2),其中 0,当且仅当 xjyg-X2yi = 0 时，向量 a, b 共线. 思考1如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如：向量(1,2)与(-1,- 2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(一1,2)与(-3,6)同向； 向量(-1,0)与(3,0)反向等.思考2已知a=(X1, y1), b = (x2

20、, y2),则向量a和向量b共线条件的表示方法有哪些？ 提示：在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，当b工0时，a和b共线条件的表示方法有以下三种形式：(1) 当b丰0时，a = %.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.(2) X1 y2 - X2y1 = 0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数 “，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征.X,(3)当 X2y2 丰 0 时，一=X2=/ ,即两个向量的对应坐标成比例.这种形式是较容易记忆的y2向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.第九课时课程目标学习脉络1理解

21、平面向量数量积的含义及其物理意义.2 .掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义.3 .掌握平面向量数量积的性质及运算律.4 .会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量 积解决向量的垂直冋题1.平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos B叫做a与b的数量积（或内积）,其中B是a与b的夹角记法记作 a b, 即卩 a b= |a|b|cos B规定零向量与任一向量的数量积为0投影|a|cos B（|b|cos B）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos B的乘积思考1向量的数量积的运

22、算结果是向量还是实数？如果是向量，如何确定大小和方向?如果是实数，如何确定它的符号？提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积.当a, b为非零向量时，由a b = |a|b|cos B, a b的符号由a与b的夹角B的余弦值来确 定.当0°< 0<90°时，a b>0;当90°<180°时，a b<0，当a与b至少有一个为零向量或B=90°寸，a b = 0.思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的

23、投影为|a|cos B,又a b = |a|b|cos9,所以 cos 0= a，所以向量 a在向量 b上的投影为|a|cos 0= |a|x ab = ?_|a|b|a|b|b|2.运算律交换律a b = b a结合律(?a) b= Xa b) = a (沏分配律(a + b) c = a c+ b c思考3平面向量数量积运算适合乘法结合律吗？提示：数量积的运算只适合交换律、 分配律及数乘结合律， 不适合乘法结合律，即(ab)c 不一定等于a(b c),这是因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a(b c)表示一个与a共线的 向量，而c与a不一定共线.3.向量数量积的性质设a, b为两个

24、非零向量，a与b的夹角为9垂直a 丄 b? a b = 0共线同向a b = |a|b|a a = a2= |a|2, |a|= J a a反向a b= |a|b|绝对值|a b|< |a|b|符号a b>00 0,2a b= 00=2a b<00 一 ,2夹角公式a bcos 0=|a|b|思考4当两向量的数量积为零时，这两个向量垂直吗？提示：不一定垂直.当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直.第十课时课程目标学习脉络1掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形 式求数量积、向量的模及两个向量的夹角.2会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系平面向量数量积、模、垂

25、直、夹角的坐标表示设非零向量a= (xi, yi), b =(X2, y2), a与b的夹角为0,则有下表:坐标表小数量积a b= Xix2 + yiy2模|a|=yF 或 ai2=卧土y2ULUU设 Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，则 |RP2 | =/ 2 2V XiX2yiy2垂直a丄b? a b= 0? xix2 + yjy2= 0夹角a bX1X2y“2cos 0= ”一2问屆诗乜提示：不一定.当a = (0,0)时，|a|= 0，此时,cos 0=无意义，但思考1与非零向量a同向的单位向量的坐标如何表示？aaq提示：由于|a|= .x 由于向量的线性运算和数量积运算具

26、有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可 用向量方法解决平面几何中的一些问题. 用向量方法解决平面几何问题的三步曲：第一步，建立平面几何与向量的联系， 用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题：第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系.思考平面几何中常涉及：求线段的长度或证明线段相等；证明直线或线段垂直； y2丰0,且单位向量ao=，所以ao=(x,V|a|a|y)= xy，此为与非零向量 a = (x, y)同向的单位向量的坐标.2 2 2 2x y x y思考2对任意的向量a与b，向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗？夹角为0°同时，a b=X1X2+ yiy2= 0,但向量a与b不垂直，