2021届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量的运算及应用理(重点高中)

1、课时跟踪检测四十四空间向量的运算及应用二重点高中适用作业A级一一保分题目巧做快做l的方向向量为a= (1,0,2),平面 a 的法向量为 n = ( 2,0 , 4),那么()A. l / aB. l 丄 aC. l ? aD . l与a斜交解析：选a = (1,0,2),n = ( 2,0， 4) ,.n= 2a,即 a / n,2.空间四点A(2,3,6),政4,3,2),C(0,0,1), D(2,0,2)的位置关系为(A.共线B .共面C.不共面D .无法确定解析：选CaAB = (2,0 , 4),aAC = ( 2, 3,a5) , AD = (0, 3 ,4，由不aa存在实数入，

2、使AB =入AC成立知,A B, C不共线，故A B, C, D不共线;假设A B,0= 2x 2y ,3= 3y ,4= 4x 5y ,由于该方a a aC, D共面，那么可设 AD = x AB + y AC ( x , y为实数)，即程组无解，故 A, B, C, D不共面，应选C.3.四边形 ABCD矩形，PA!平面ABCD连接AC, BD PB PC, PD那么以下各组向量中,数量积不为零的是 A.a aPC与 BDa aB . DA与 PBC.a aPD与 ABa aD . PA与 CD解析：选a 因为pa丄平面abcd所以Pai cd "Pa "Cd = 0,

3、排除d.又因为adl ab所以ADL PB所以-A "Pb = 0,同理"PiD "B = 0,排除B、C,应选A.4. A, B, C, D是空间不共面的四点,且满足"AB "AC=0, "AC "AD = 0, "AB "AD=0 , M为BC的中点，那么厶AMD!A.钝角三角形锐角三角形C.直角三角形不确定解析：选C / M为BC的中点，a 1 a aAM = ( AB + AC).a a 1 a a a AM AD = 2( AB + AC) AD=2Ab TAD+ 2AC AD= 0. AML

4、AD即厶AMD为直角三角形.5.如图，空间四边形 OABC其对角线为 OB AC, M N分别是对边OA BC的中点，点G在线段MN上，且分MN成的比为2,现用基向量)A,A AAA A A A别是(11 1B .111A.x = 3 ,y= 3 , z=3x= 3 ,y=3 ,z= 611 1111c. x= 3 ,y= 6 , z=3D .x= 6 ,y=3 ,z= 3解析：选D 设 OA= a ,OB= b, OC =c , / G分 MN1 勺所成比为)2, Mg= 3Mn ,3OB , OC表示向量 OG,设 OG= x OA+ y OB+ z OC,贝U x , y , z 的值分

5、A A > 2> >12111111111- OG= OM+ MG= OM+二(ON OM) = a+ b + c a = - a + - b+；c - a = -a+； b 3232222333631 1 1+ 3c，即 x= 6，y= 3，1z =3.6. a= (1,2 ,2) , b = (0,2,4)，贝y a, b夹角的余弦值为解析：cos a, b>a b = 2 萌|a|b| =寫.答案：解析：连接 PD / M N分别为cd PC的中点， MNh 1pd又R0,0,1), D(0,1,0), PD= .,;02+ 1 2+ 12= '2 , M

6、=¥ 答案:A 1A A 2AV为矩形 ABCD所在平面外一点，且 VA= VB= VC= VD VP = - VC , VM= 3 VB , 31557.PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M N分别是CD, PC&的中点，并且 PA= AD= 1.在如下图的空间直角坐标系中，贝UMNhVN = I /D ,那么VA与平面PMN勺位置 关系是9.如图，在直二棱柱ABC-AiBiCi 中，AC= 3, BC= 4, AB= 5, AA = 4,点D是AB的中点.fi /i局解析：如图，设 VA = a, VB = b, /C= c,那么PD = a+ c b,由题意知 PM

7、= 3b 3C,> 2> 1>PN = 3VD - 3VC2 2 1=3a3b+ 3C.因此 VA = 3 "Pm+ 3"Pn ,A A A VA, PM, PN 共面.又 VA?平面 PMN： VA/平面 PMN 答案：平行(1)求证：ACL BC;求证：AC/平面CDB证明：因为直三棱柱ABC-ABC的底面边长分别为 AC= 3, BC= 4, AB= 5,所以 ABC为直角三角形，ACL BC所以AC BC CC两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线 CA CB CC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么C(0,0,0) , A(3,0,0)

8、, B(0,4,0) , C(0,0,4),3A (3,0,4), B (0,4,4), 2 , 0 .AA(1) 因为 AC = ( 3,0,0) , BC1= (0 , 4,4),A A所以 AC BC = 0,所以 ACL BC.A3A(2) 法一：设CB与CB的交点为E,连接DE那么 日0,2,2) , DE = ? , 0 , 2 , AC =(3,0,4),A 1A所以 DE = 2 AG , DE/ AC.因为DR平面CDB, AC?平面CDB,所以AC /平面CDB法二：易知 AG = ( 3,0,4) , "CD= 2 , 2 , 0 , "C!A = (

9、0,4,4) 设平面 CDB的一个法向量为 n = (x , y , z),nCD0,那么2>n CEB = 4y + 4z = 0.取 y = 3,得 x = 4, z= 3,所以 n= ( 4,3 , 3).>因为 AC n= 3X ( 4) + 0X 3+ 4X ( 3) = 0.>所以AC丄n.又AC?平面CDB,所以AC /平面CDB10.如图，在长方体 ABCDABCD中，AA= AD= 1 , E为CD的中点.(1) 求证：B E丄AD;(2) 在棱AA上是否存在一点 P,使得DP/平面BAE假设存在，求AP的长；假设不存在，说明理由.解：以A为原点,B , D

10、 , TAA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系.设AB= a.(1)证明：A：0,0,0),D(0,1,0),D(0,1,1)a,E 2, 1, 0 ,B(a,0,1),>>a故 AD = (0,1,1), BE = 2， 1， 1 ,> >a因为 BE AD = 2 x 0+ 1 x 1+ ( 1) x 1 = 0,所以 BE丄 AD.假设在棱AA上存在一点 R0,0 , Ze),使得DP/平面BAE,此时DP = (0 , 1, zc), 再设平面BAE的一个法向量为n = (x , y , z),>> aAB = (a, 0

11、,1) , AE = g , 1, 0 因为n丄平面BAEax+ z = 0 ,所以门丄-, n丄NeE ,即axy + y = 0 ,取x = 1，得yaa2 , z= a，得平面 BAE的一个法向量 n = 1,亍,a .要使DP/平面BAE只要n丄"DIP ,有| az。= 0，解得z°= 1.又DF?平面BAE所以存在点 P满足DP/平面BAE此时AP=扌B级一一拔高题目稳做准做1.空间任意一点 0和不共线的三点 A B, C,假设"OP= x"OA+ y"OB+ z"OC x, y,z R，那么“ x= 2, y=- 3,

12、z= 2 是“ P, A, B, C四点共面的A.必要不充分条件B .充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件> > > > > >解析：选 B 当 x= 2, y =- 3, z= 2 时，即 OP= 2 OA 3 0B+ 2 0C.那么 AP AO => > > > > > > >2 0A 3( AB A0) + 2( AC A0)，即 AP = 3 AB + 2 AC，根据共面向量定理知，P,> >A, B, C四点共面；反之，当 P, A, B, C四点共面时，根据共面向量定理，设

13、AP = mAB +> >> >>>>> >n AC ( m, nR)，即 OP0A= m( OBOA) + n(OCOA)，即0P= (1 m- n) OA +> >mOB + n OC, 即卩 x = 1 n n, y = m z = n,这组数显然不止 2, 3,2.故“x = 2, y= 3, z= 2是“ P, A B, C四点共面的充分不必要条件.2. 空间四边形 ABC啲每条边和对角线的长都等于a,点E , F分别是BC AD的中点，那么AE 怎的值为)A. a1260°+ a cos 60 °

14、 ) = 4a .3. 如图，在大小为45°的二面角 A-EF-D中，四边形ABFE四边 形CDEF都是边长为1的正方形，贝U B, D两点间的距离是A. ；'3B. ：'2D. '32> > > > > 22 22解析：选D / BD = BF + FE + ED ,a | BD|2 = |BF |2 + |FE| 2 + |ED| 2 +2Ibf"Ff+鸟-1"Ed + 21BF"Ed = 1+1+1 ,2=3'2, |!BD| ='3- ；2.> >4. Q0,0,0

15、) , A(1,2,3) , B(2,1,2) , P(1,1,2)，点 Q在直线 OP上运动，当 QA QB取最小值时，点 Q的坐标是> > > >解析：由题意，设 OQ=入OP，贝U OQ=入，入，2入，即Q入，入，2入，贝U QAB.少1 2Ca4D. £a24> > 1 > >解析：选 C AE AF = 2( AB + AC)1> 1 > > > >1 22 AD = 4( AB AD + AC AD) = 4( a cosCC. 124 224入)+ (2 入)(1 入)+ (3 2 入)(2

16、2 入)=6 入16 入 + 10= 6 入一3 3，当 入=3时取333最小值，此时q点坐标为3, 4, 3.答案：4 483 , 3 , 35.如图， ABL平面 ACD DEL平面 ACD ACD为等边三角形,AD= DE= 2AB(1) 求证：平面BCEL平面CDE(2) 假设点M是CD的中点，求证： AM/平面BCE证明：(1)设 AD= DE= 2AB= 2a,建立如下图的空间直角坐标系Axyz,那么 A(0,0,0) , C(2a,0,0) , B(0 , 0, a) , D( a , '3a, 0) , E(a, :'3 a, 2a).所以！BE = (a, &

17、gt;/3a , a), "Be = (2a,0 , a), "Cd= ( a , Va, 0),C M D>ED = (0,0 , 2a).设平面BCE的法向量为n1 = (X1 , y1 , z",n1 BE = 0 ,可得n1 BC = 0ax1+ ' 3ay1 + az1 = 0 ,2ax1 az1= 0 ,X1+3y1 + Z1= 0 ,即 -2X1 Z1 = 0.令 z1= 2,可得 n1= (1 , '3 , 2).设平面CDE的法向量为n2= (X2 , y2 , Z2),n2 CD= 0 , 由>n2 ED = 0可得

18、ax2 + '3ay2= 0 ,2az2= 0 ,x2+，3y2= 0 ,:一即令 y2= 1,可得 n2= ( '3 , 1,0).Z2= 0.因为 m n2= 1X '3+ ( ;'3) x 1 + 2X0= 0.所以n1丄n2 ,所以平面BCEL平面CDE易得皿器，炸，0 ,那么"M=器，宁a , 0 ,又平面BCE的一个法向量为 “ =(1 ,.''3, 2),那么Nni=身x 1 +2( + 0X 2= 0.>所以AMLni,又AM?平面BCE所以AM/平面BCE6.如图，正方形 ADEF所在平面和等腰梯形 ABCD所在的平面互相垂直， BC= 4， AB= AD= 2.(1)求证：ACL BF;(2)在线段BE上是否存在一点 P,使得平面PACL平面BCEF假设存在,不存在，请说明理由.解：(1)证明：平面 ADEL平面 ABCD平面 ADEIR平面 ABC= AD, AFL AD AF?平 面 ADEF AF丄平面ABCD AC?平面 ABCD - AFLAC过 A作 AHL BC于 H,贝U BH= 1, AH= 3 CH