2021届高考数学二轮复习第2部分专题二数列必考点文

1、专题二数列必考点等差数列、等比数列及数列求和类型一学会踩点例1(此题总分值12分)首项都是1的两个数列an , bn( bn 0,门 N*)，满足 禺"+i at+ibn+ 2bn+ibn= 0.(1) 令Cn= / ,求数列 6的通项公式；假设bn= 3n1,求数列an的前n项和S.解：(1)因为 6工0,所以由 anbn+1 an+ ibn + 2bn+1 bn= 0,得an-an+ 1bn+1卜 2= 0, 2 分an+ 1bn+ 1的2, 3分所以6 + 1 Cn = 2,所以Cn是以C1 = = 1为首项，2为公差的等差数列，(5分)b1所以 6= 1 + (n 1) x2

2、= 2n- 1.(6 分)(2)由 bn= 3 1 知 an= cnbn = (2 n 1) 1,于是数列an的前 n项和 S= 1 30 + 3 31 + 5 3 2+-+ (2n 1)3n 1, (8 分)12n1n3S = 1 3 + 3 3 + (2n 3)3+ (2n 1)3 ,相减得一2S= 1 + 2 (3 1+ 32+ 3n1) (2 n 1)3n= 2 (2 n 2)3 n, (10 分)所以 S = (n 1)3 n+ 1.(12 分)评分细那么：得分点及踩点说明(1) 第问，利用条件合理转化得2分.(2) 写成等差数列定义形式得1分.(3) 得出其首项、公差进而写出通项得

3、3分.(4) 第问，由bn = 3n+1, Cn= 2n1,得到an的通项得2分.在等式两端同乘以 3给2分.(6) 错位相减给1分.(7) 错位相减后求和正确得2分.(8) 最后结果整理得1分.& (2021 高考全国甲卷)等差数列(an)中，as + a4= 4, a5+ a?= 6.(1)求an的通项公式；设bn= an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9 = 0,2.6 = 2.解： 设数列an的首项为ai，公差为d,2ai+ 5d= 4,由题意有解得ai = 1,所以an的通项公式为2n+ 35(2)由(1)知，bn =2n + 35当 n= 1,

4、2,3 时，K2n+ 3厂<2,bn= 1 ；当 n= 4,5 时，2<2n+ 3bn = 2；当 n= 6,7,8时,3<2n+ 3丁 <4,bn= 3；当 n= 9,10 时，4W2n+ 35v 5,bn = 4.ai+ 5d= 3,所以数列bn的前10项和为1X 3+ 2X 2+ 3X 3 + 4X 2= 24.类型二学会审题例2(2021 高考全国丙卷)数列an的前n项和S= 1+入an,其中 入工0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；卄 31 亠(2)右S5= 32求入.审题路线图口卄耳s的递推关系求出5定义等比数列求通项公式5条件_>-求S表达

5、式解方程求出A故入工1,a1 = C,故 a1 0.标准解答(1)证明：由题意得 a = S = 1 +入a1,入工0得anM0,所以入入一1.由 Sn = 1 + 入 an , Sn + 1= 1 + 入 an+ 1 得 an +1 =入 an + 1 入 an , 即 an +1(入一 1)=入 an.由a1丰0,因此an是首项为 一-，公比为 一的等比数列,1 入入1是an1入 n 11 一入入一1由(1)得Sn= 1 £31由s = 32得1 5= 31，即32'5 1=32解得X =-1.(2021 高考全国乙卷)an是公差为3的等差数列，数列 bn满足bi= 1,

6、1b2= , anbn +13+ bn+ 1= nbn.(1)求an的通项公式；求bn的前n项和.1解：(1)由，a1b2 + b2= b1, b1= 1, &= 3 得 a1 = 2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为an= 3n 1.(2)由(1)知 anbn+ 1+ bn+ 1bn3，=nbi，彳得 bn+1 = 1因此bn是首项为1,公比为3的等比数列.记 bn的前n项和为S,2X3n1类型三学会标准1例3(此题总分值12分)数列创是首项为正数的等差数列，数列的前n项和anan+ 1n2n+ 1(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn= ( an+ 1)

7、2 an,求数列 bn的前门项和Tn. 考生不标准例如1 1解：(1)令n= 1，得=-, a©3所以 aa2 = 3, ai(a1+ d) = 3,令n= 2得丄+丄=5,ai a2 a2a35所以 a2a3 = 15, (ai + d)( a2+ d) = 15 由得ai= 1, d = 2,所以an= 2n i.2n 1bn= 2n2所以 Tn = 1X 4+ 2X4 2+-+ n 4n -4 n+ n 4n+1 n+ 1-4234Tn = 1X4 + 2X4 + (n 1)12一得：一3Tn= 4+ 4 + +/ n + 1n4n +2n+ 14 4 n 4所以 Tn =+4

8、3n 44n+1+ 4标准解答 设数列an的公差为d.令 n=1，得 ai=13,所以a£2 = 3.(2分)人112令n= 2，得+=-,aa2a2a3 5所以a2a3 = 15.(4分).由得 a3= 5a1即 a1 + 2d = 5a1, . d= 2a1,. a2= 3a12.a1= 1, (a1 >0) , . a1= 1, d= 2.an= 2n1,经检验，符合题意.(6分)由(1)知bn= 2n2彳 4 = n4,所以 Tn = 1 41 + 2 42+ n 4n, 所以 4Tn= 1 4 2+ 2 4 3+-+ n 4' 两式相减，得一 3Tn= 4 +

9、 4 + 4 n4 +1 (10分)41 4n/ n + 1n4=1一空 X4n+1343.所以 Tn = n1 X4n+1 + 9 =3n 1.n+ 14.(12 分)终极提升登高博见 an与an+1的关系式求通项 an时，常有以下类型：形如an+1= an+ f (n)(f(n)不是常数)的解决方法是累加法；形如an+i = an f ( n)(f ( n)不是常数)的解决方法是累乘法；形如an+1 = pan+ q(p, q均为常数且pz 1, qz0)解决方法是将其构造成一个新的等比数列； 形如an+1= pan+ qn( p, q均为常数，pq( p-1) z 0)解决方法是在递推公

10、式两边同除以qn“. 给出S与an的递推关系，求an,常用思路是：一是利用 S S-1= an( n?2)转化为an的递 推关系，再求其通项公式；二是转化为 S的递推关系，先求出 $与n之间的关系，再求 an.限时标准训练三等差数列、等比数列及数列求和(建议用时45分钟)解答题(解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)1. (2021 高考全国丙卷)各项都为正数的数列 an满足a1 = 1, a即(a1+ 10d) = a1(a1+ 12d).于是 d(2 a1 + 25d) = 0.又a1 = 25,所以d= 0(舍去)或d=- 2.故 an =- 2n + 27.(2)令 Sn= a1 +

11、a7+ a3n-2.由知a3n-2 =- 6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为6的等差数列.从而- (2 an+1- 1) an- 2an+1 = 0.(1)求 a2, a3； 求an的通项公式.1 1解：(1)由题意可得a2 = 2, a3= 4.(2)由 an (2 an+1 1) an 2an+1 = 0 得2an +1(an+ 1) = an( an+ 1).因为an的各项都为正数，所以an+11an21 1故 an是首项为1，公比为2的等比数列，因此 an=1.2. 等差数列an的公差不为零，a1 = 25,且a1, an , a13成等比数列.(1) 求an的通项公式；(2

12、) 求 a1 + a4 + a?+ a3n-2.2解：(1)设an的公差为d.由题意，得an = aan,S = 2( ai + a3n2)=2( 6n+ 56)=3n2+ 28n.3. $为数列an的前n项和an>0, V + 2an= 4Sn + 3.(1) 求an的通项公式；1设bn=，求数列bn的前n项和.anan+ 1解：(1)a+ 2an= 4S + 3, an+1 + 2an+i = 4S1+1 + 3.两式相减得 an+ 1 an+ 2( an+ 1 an) = 4an+ 1 ,即 2( an + 1 + an) = an+ 1 an= ( an+1 + an) ( an

13、+ 1 an).由于 an > 0，可得 an+ 1 an= 2.2又 a1 + 2a1 = 4a1 + 3，解得 a1 = 1(舍去)，a1= 3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列，所以通项公式a = 2n+ 1.(2) 由 an= 2n+ 1 可知1 1bn =anan+12n+ 12n+ 31 _l_l_=2 2n+ 12n+ 3 .设数列bn的前n项和为Tn,贝UTn = b1 + b2+ bn111 11 1 1= '一 + 一一 + 2 355 72n+ 12n+ 3n=3 2n+3.4. (2021 高考山东卷)数列an的前n项和S= 3n2+8n, bn是等

14、差数列，且 an = bn+ bn+ 1.(1)求数列bn的通项公式;令Cn =an +1bn+ 2，求数列cn的前n项和Tn.解： 由题意知，当n?2时，an= S Si-1 = 6n+ 5, 当n= 1时，a1= S = 11,满足上式，所以 an = 6n + 5.设数列bn的公差为d.ai= bi+ b2,11 = 2b+ d,由即a2= b2 + b3,17= 2b+ 3d,bi = 4,可解得d=3.所以bn=沖1.(2)由(1)知 6 =6n + 63n+ 3n+1= 3( n+ 1)n+1又 F = C1 + C2 + Cn,得 Tn = 3X2 X 2 2 + 3X 2 3+

15、 (n+1) X2n+1,2Tn = 3X 2 X 2 3+ 3X 2 4 + ( n+ 1) X2 n+ j ,两式作差，得一Tn= 3X 2 X 2 2+ 23+ 24+ 2n+1 (n+ 1) X2 n+ 24=3X 4+-n+ 1n +2X2=3n 2所以Tn = 3n2n+ 2专题一、标准滚动训练二建议用时45分钟解答题解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤11 首项为2,公比不等于1的等比数列an的前n项和为S,且S3, S2, S4成等差数列.1求数列an的通项公式；记bn=叫an|，数列bn的前n项和为Tn,求Tn.解：(1)通解 设数列an的公比为q,由题意得2S= S3+

16、S4, qz 1,234a11 qa1 1 qa1 1 q 2X=+.1 q1 q1 q化简得 q2+ q 2= 0,得 q= 2,或 q= 1(舍)1 1 又数列an的首项为2, an= 2x ( 2)n 1.优解 设数列an的公比为q,由题意得2S2= S3+ S4, 即(S4 S2) + (S3 S2) = 0,即(a4+ a3)+ a3 = 0,a4 as公比q= 2.又数列an的首项为2,. an= 1 x ( 2)(2) bn= n| an| = nx 2X2n_ 1 = 4x nX2n,23nTn= bi+ b2 + bs+ bn = 4(1 x2 + 2x2 + 3x2 + n

17、x2 )，12Tn = 4(1 x 2 2 + 2x 2 3+ 3x 2 4+ n x2n+1,)一得，一Tn= 1xJ1 - nx? Tn= 1 + 2(n 1) x2 n.2在 ABC中，角 A,B, C的对边分别为a,b,c,且满足(2 b c)cos A= acos(1)求角A的大小;卄1(2)右 bcos C+ 产=a,判断 ABC的形状.解:(1)由正弦定理asin Absin Bsin C可得：2sin Bcos A= sin Ccos A+ cos Csin 代 2sin Bcos A= sin( A+ C) = sin B,' sin1 cos A= 27t2 . 2

18、 2 a + b c1(2) v bcos C+ 2。= a,2ab整理得 a2 + c2 b2= ac,cosB=2 2 . 2 a + c b2ac2'7tn从而 A= B= C= 3, ABC为等边三角形.3.数列an是公差不为零的等差数列，其前n项和为S，且S= 30,又a1,比数列.(1)求 S;a3, a9成等假设对任意n> t, n N*，都有1 1+ +. +S+ a1 + 2S2+ a2+ 21 12Sn+ an+ 2 > 25的最小值.解：(1)设公差为d,由条件得5x4得 a1 = d = 2.5a1 + 2d= 30,2a1+ 2d = a1 a1 + 8d2 an= 2n, S = n + n.1 _ 1 _ 1() S+ an+ 2 n + n + 2n + 2 n + 3n + 21 1 1n+ 1n+ 2 n+ 1 n + 2.1 1 1 11 11 1111,