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1、Born to win1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分,把答案填在题中横线上.)(1)设商品的需求函数为 Q 100 5P,其中Q, P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,那么商品价格的取值范围是级数 (x紅的收敛域为n 1 n4(3)交换积分次序12 y20dy y f (x, y)dx设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A a, B b,C 将C,C, E,E, I, N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE的、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.在每题给出的四个选项中,只有

2、一项(C) P(C) P(AB)(D)P(C) P(AU B)是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)2(1)设 F(x)xx一f(t)dt,其中f(x)为连续函数,那么 lim F (x)等于()x a ax a(A) a2(B)a2f(a)(C) 0(D)不存在当x 0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A) x2(B)1 cosx(C).1x 1(D)x tanx设A为mn矩阵,齐次线性方程组Ax 0仅有零解的充分条件是()(A) A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关设当事件A与B同时发生

3、时,事件C必发生,那么()(A) P(C) P(A) P(B) 1(B)P(C) P(A) P(B) 12 1 n 设n个随机变量 X1,X2,L ,Xn独立同分布,D(XJ 2,X Xi, n i 1Born to win1 n _s2(xi X)2,那么n 1 i i(A) S是的无偏估计量(B)S是的最大似然估计量(C) S是的相合估计量(即一致估计量)(D)S与X相互独立三、(此题总分值ln cos(x 1)设函数 f(x) 1 sinx1,1,问函数f(x)在x 1处是否连续?假设不连续,修1.改函数在x 1处的定义使之连续四、(此题总分值计算Iarccot ex ,dx.五、(此题

4、总分值设 z sin(xy)(x,-),求y2z,其中(u, v)有二阶偏导数六、(此题总分值5分)求连续函数f(x),使它满足f(x)x0f (t)dtx2七、(此题总分值6分)求证:当x 1时,arctan x1 arccos-2 1八、(此题总分值9分)设曲线方程y e x(x 0).(1)把曲线y e x, x轴,y轴和直线0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积 V();求满足V (a)lim V()的 a.2(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大 出该面积,并求九、(此题总分值7分)Born to win设矩阵A与B相似,其中2

5、 0 0 1 0 0A 2 x 2 ,B 02031100 y(1) 求x和y的值(2) 求可逆矩阵P,使得P 1AP B.十、此题总分值6分三阶矩阵B 0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解%2x22x30,2x1X2X30,3x1X2X30.1求的值;2证明B0十一、此题总分值6分设A、B分别为m n阶正定矩阵,试判定分块矩阵 C A 0是否是正定矩阵.0 B十二、此题总分值7分假设测量的随机误差 X : N0,102,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差 的绝对值大于19.6的概率 ,并利用泊松分布求出的近似值要求小数点后取两位有效数字.附表1234567e0.368 0.1

6、35 0.0500.018 0.007 0.002 0.001十三、此题总分值5分一台设备由三大局部构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX .十四、此题总分值4分设二维随机变量X,Y的概率密度为f(x,y)ye ,0 x y,0,其他,Born to win 求随机变量 X的密度fX(x); (2) 求概率PX Y 1.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】(10,205,【解析】根据Q(P)

7、100 5P 0,得价格P 20,又由Q 100 5P得Q (P)按照经济学需求弹性的定义,有Q(P)5PQ(P) 100 5P5P100 5P1 ,解得P 10.100 5P所以商品价格的取值范围是(10,20.(2)【答案】(0,4)【解析】因题设的幕级数是缺项幕级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性首先当x 2 0即x 2时级数收敛Born to win当x 2时,后项比前项取绝对值求极限有Imn(x 2)2(n 1n4n(n 1)4n 1 (x 2)2ndin22)X(x 2)当1 ,即当0 x2 20 x 2或2 x 4时级数绝对收敛.41 1又当x 0和x 4时得正项级数-,由p级

8、数: 气当p 1时收敛;当p 1时发散.n i nn 1 n1所以正项级数丄是发散的n 1 n综合可得级数的收敛域是(0, 4).注:此题也可作换元(x 2)2 t后,按如下通常求收敛半径的方法讨论幕级数tnn 1 n4n的收敛性.【相关知识点】收敛半径的求法:如果两项的系数,那么这幕级数的收敛半径丄R0,limnan 1an,其中an,an 1是幕级数anxn的相邻n 000,1x2<2J2 x2(3)【答案】°dx o f(x, y)dy 1 dx ° f(x, y)dy【解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成:原式 f (x, y)dxdy.D

9、由累次积分的内外层积分限确定积分区域D :即D中最低点的纵坐标 y 0,最高点的纵坐标 y 1, D的左边界的方程是 x . y,即 y x2的右支,D的右边界的方程是x rv 即x2 y22的右半圆,D (x,y) 0 y 1,、y x 2 y2,Born to win从而画出D的图形如图中的阴影局部,从图形可见D D1D2,且D1 (x,y)0x 1,0 yD2所以°dyf(x,y)dx(x,y)11dx0x 2,0x2,y 2x2.x2f(x,y)dydx 0 f (x, y)dy.【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展开式mnmn1)mn A B ( 1)mnab.【相关

10、知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式:设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,那么mn1【答案】1260【解析】按古典概型求出根本领件总数和有利的根本领件即可,将给出的七个字母任意排设所求概率为 P(A),易见,这是一个古典型概率的计算问题成一行,其全部的等可能排法为7!种,即根本领件总数为 n 7!,而有利于事件 A的样本点2! 2! 1数为2! 2!,即有利事件的根本领件数为4,根据古典概型公式 P(A) W.7!1260二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)【答案】(B)【解析】 方法1: lim F(x)为“ 0 型的极限未定式,又分子分母在点 0处导数都存在 X a0所以可应用

11、洛必达法那么.lim F(x)x amaH X2故应选(B).方法2:特殊值法.取 f (x)2,那么 lim F(x)x a2xlim -x2dta2a2.显然(A),(C),(D)均不正确,应选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:Born to win假设 F(t)(t) f(x)dx,(t),(t)均一阶可导,那么F (t)(t) f (t)(t) f(t).(2)【答案】(D)【解析】由于cosx1x21.J2x21 ,故 x2,1 cosx, . 1 x 1是同阶无穷小,可见应选(D).【答案】(A)【解析】齐次方程组 Ax 0只有零解r( A) n.由于r(A) A的

12、行秩 A的列秩,现A是m n矩阵,r(A)n,即A的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组Ax 0,有定理如下:对矩阵A按列分块,有A1 , 2 ,Ln ,那么 Ax0的向量形式为Xi1 x22 LXn n0.那么, Ax 0有非零解n线性相关r A n.【答案】(B)【解析】依题意:由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生得出AB C,故P(AB)P(AB)因此应选(5)【答案】(C)(B).P(C);由概率的广义加法公式P(AU B) P(A) P(B) P(AB)推出P(A) P(B) P(AU B);又由概率的性质 P(AU B) 1 ,我们得出P(C) P(AB

13、) P(A) P(B) P(AU B) P(A) P(B) 1,【解析】根据简单随机样本的性质 ,可以将X1,X2,L ,Xn视为取自方差为 2的某总体X的简单随机样本,X与S2是样本均值与样本方差.2 2 2 - 由于样本方差S是总体方差的无偏估计量,因此ES ,ES ,否那么假设ES那么(ES)22 2 2,DS ES (ES)0.故不能选(A).对于正态总体,S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分Born to win布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差S2是2的一致估计量,其连续函数S.S2 一定也是 的一致估计量.三、(此题

14、总分值【解析】函数f(x)在x X。处连续,那么要求lim f(x)f(x0).X x方法1:利用洛必达法那么求极限lim f (x),因为lim f (x)为母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法那么,有sin (x 1) cos(x 1)“ 0型的极限未定式,又分子分001 f (x)ln cos(x 1) lim11-limxxsin -21cos2 (x 1)limxx2 cosT2. tan(x 1)limxxcos2而 f (1) 1,故 limx 1f(x)4假设令f(1),那么函数1x(si nJ -2 21,所以f (x)在x421处不连续.f (x)在x 1处连续.

15、方法2:利用变量代换与等价无穷小代换0 时,cosx1 2x ; ln(1 x) : x.2求极限Hm1 f (x),令x 1 t,那么有lim f (x) limx 1ln cos(x 1)ix 1x1 sin -2limt1ImotIm。tln costtcos2limtln1 (cost 1)1 cos2以下同万法1.四、(此题总分值5分)【解析】用分部积分法arccot exde xx, xe arccot earccot ex(12x e2x e)dx1 e2xdxBorn to win同踵考教肓KUAKAO CDUCMIDNe x arccot ex x |n(1 e2x) C ,

16、 其中 C 为任意常数.2注:分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.【相关知识点】分部积分公式:假定u u(x)与v v(x)均具有连续的导函数,那么uvdx uv u vdx, 或者 udv uv vdu.五、(此题总分值5分)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以此题可以先求 ,再求一(上).xy x由复合函数求导法,首先求zx,由1题设Zxycos(:xy)112 ,y再对y求偏导数,即得11Zx

17、y cos(xy)xys in (xy)(1)y-(2)y22yycos(xy)xys in( xy)x12 122x12 2yyyyy ycos(xy)xys in (xy)x2 12x 3'22122 .yyy【相关知识点】多元复合函数求导法那么:如果函数u(x, y),v(x, y)都在点(x, y)具有对x及对y的偏导数,函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数z f ( (x, y),(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在,且有zzuzv u vf1 -f2xuxvxxxzzuzv u vfrf2 -yuyvyyy六、(此题总分值5分)【解析

18、】两端对 x求导,得f (x)2f(x) 2x.记P(x) 2,Q(x) 2x ,有通解P(x)dxP(x)dxy eQ(x)e dx CBorn to winP(x) dxP(x)dxf (x) e( Q(x)edxC)e2x( 2xe2xdx C) Ce 2x1x 2其中C为任意常数由原方程易见f(0)0,代入求得参数C1.从而所求函数f(x) 1e2x1x 222【相关知识点】一阶线性非齐次方程yP(x)y Q(x)的通解为其中C为任意常数七、(此题总分值6分)【解析】方法1:令f(x)1 2xarcta n xarccos 22 1 x2f (x)11 x22 (1 x2)(1x2)2

19、 (x21)(1 x2)20(x1).因为f (x)在1,)连续,所以f (x)在1,)上为常数,因为常数的导数恒为0.故 f (x)f(1)0 ,即 arctanx1 2xarccos2 1 x方法2:令f (x)arcta n x12xarccos 221 x,那么f(x)在1,x上连续,在(1,x)内可导,4由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(1,x),使得f(x)f(1)f ()(x1).由复合函数求导法那么,得f (x)12(1x2)(1 x2)八Cld 1 x22(x22 2 U(X 1),1)(1 x )1 2x所以 f (x) f (1).由 f(1) 0 可得,当 x 1 时

20、,arctanx -arccos22 1 x2 4【相关知识点】复合函数求导法那么:如果u g(x)在点x可导,而yf (x)在点u g(x)可导,那么复合函数 yg(x)在点x可导,且其导数为/ f(u)g(x)或dy dy dudx du dx八、(此题总分值9分)【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求V(),并求出极限limV().问题(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值.(1)将曲线表成y是x的函数,套用旋转体体积公式Born to win国踵考敦肓KUAKAO CDUCATIDNV( )0 y2dx0 e 2xdx -(1 e2 ),

21、V(a)-(1 e2a),o022lim V( ) lim (1 e2 ).2 2由题设知(i e 2a)得a -l n2.242(2)过曲线上点(xo,y°)的切线方程为y yok(x xo),其中当y (x°)存在时,k y(x°).设切点为(a,ea),那么切线方程为y e a e a(x a).令 x 0,得 y e a(1 a),令 y 0,得 x 1 a.由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为S -(1 a)2e a.2a 12 a 12 a因 S (1 a)e - (1 a) e - (1 a )e ,令 S 0,得 &11 (舍

22、去).2 2由于当a 1时,S 0;当a 1时,S 0.故当a 1时,面积S有极大值,此问题中即为最 大值.故所求切点是(1,e 1),最大面积为S 1 22 e 1 2e 1.2【相关知识点】由连续曲线y f (x)、直线x a, x b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋b 2转一周所得的旋转体体积为:V a f2(x)dx.九、(此题总分值7分)【解析】因为 A: B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值.假设1P AP ,那么 是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量.(1)因为A: B,故其特征多项式相同即E AE B,即2(2)(x 1)(x 2)(1)(2)(y)

23、由于是 的多项式,由的任意性,令0,得 2(x 2) 2y .令1,得3 ( 2)2(1y)由上两式解出y 2与x 0.Born to win200100由(1)知 202 :020311002因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是1, 22, 32.当!1 时,由(E A)x 0,1001002 12012312000得到属于特征值1的特征向量1(0, 2,1)T .40当 22 时,由(2E A)x 0,2231000当32时,由(2E A)x0,222313得到属于特征值2的特征向量3(1,0,1)T0 01那么令 P ( 1, 2, 3)210,有P1APB

24、1 11得到属于特征值2的特征向量2(0,1,1)T .1 1 10 1 00 0 0十、(此题总分值6分)【解析】对于条件AB 0应当有两个思路:一是B的列向量是齐次方程组 Ax 一个是秩的信息即r(A) r(B) n.要有这两种思考问题的意识 0的解;另1 22方法1:令A 21,对3阶矩阵A,由AB 0, B 0知必有 A3 11可逆,从而B A 1(AB) A 100,这与B 0矛盾.故1 22A 210,3 110,否那么ABorn to win用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有0215(1) 0.01解出 1 .方法2:因为B 0,故B中至少有一个非零列向

25、量.依题意,所给齐次方程组Ax 0有非零解,得系数矩阵的列向量组线性相关122A 210,3 11以下同方法反证法:对于AB 0,假设B0,那么B可逆,那么A1 1AB B OB 0.与条件A 0矛盾故假设不成立,B 0.【相关知识点】对齐次线性方程组Ax '0,有定理如下:对矩阵A按列分块,有A1 , 2 L,n ,那么 Ax0的向量形式为x1 1x22 LXn n0.那么,Ax 0有非零解1 , 2,L,n线性相关r 1,2,L , n n r A n.对矩阵B按列分块,记B 1, 2, 3,那么AB A( 1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3)(0,0,0).因而A i 0

26、i(1,2,3),即 i 是 Ax 0 的解.十一、此题总分值6分【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的方法1:定义法.因为A B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AA, BtB,那么AT00BTC ,即C是对称矩阵TT A 0 CT0 B设m n维列向量ZT Xt,Yt,其中XT 捲兀丄,Xm,YT 力皿丄n,Born to win假设Z 0,那么X,Y不同时为0,不妨设X 0,因为A是正定矩阵,所以XtAX 0又因为B是正定矩阵,故对任意的n维向量丫,恒有YtAY 0.于是ZTCZ (Xt,Yt) a 00 Bxtax ytay 0,即ZTCZ是正定二次型,因此C是

27、正定矩阵.方法2:用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法因为A B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故AtA, BTB,那么CTTTA 0 AT0btA 0 C ,即C是对称矩阵.0 B设A的特征值是m, B的特征值是1, 2 ,Ln.由A, B均正定,知i 0, j 0 (i 1,2丄,m,1,2,L ,n).因为是,矩阵C的特征值为Em00En BEmAEnB2丄,n因为C的特征值全大于0,所以矩阵C正定十二、(此题总分值7分)【解析】设事件A“每次测量中测量误差的绝对值大于19.6 ,因为 X : N(0,102),即EX0,DX2102.根据正态分布的性质那么

28、有:P(A) P X 19.619.6|X 0|1019.6 0P 1.96(1.96)10X101.96(1(1.96)凶 1.9610(1.96)( 1.96)2 2 (1.96)Born to win2(1(1.96)0.05.设Y为100次独立重复测量中事件A出现的次数,那么Y服从参数为n 100, p 0.05的二项分布.根据二项分布的定义,PY kC:pk(1 p)nk(k 0,1,2L),那么至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率 为:PY 31 PY 31 PY 0 PY 1 PY 20 0 100 1 1 100 1 2 2 100 21 C100 0.05 (1 0.

29、05)C100 0.05 (1 0.05)C1000.05 (1 0.05)10099100999821 0.95100 0.950.050.950.05 .2根据泊松定理,对于成功率为 p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数 n充分大,而p相当小(一般要求n 100, p 0.1),那么其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分布,具体应用模式为假设 Y : B(n, p),那么当n充分大,p相当小时当丫近似服从参数为np的泊松分布,即 P Y k C:pk(1 p)n k 皿enp(k 0,1,2L ).k!设Y为100次独立重复测量中事件 A出现的次数,那么Y服从参数为n 100, p 0.05的.项分布.故PY 3PY31 PY 0 PY 1PY 25 e (1十三、(此题总分值5分)【解析】令随机变量Xi(1!0.87.1,第i个部件需调整,0,第i个部件不需调整,的0 1分布,即X101p0.90.1依题意X1.X2.X3相互独立,且X1,X2, X3分别服从参数为0.1,020.3(1)PX0PX1X2X30 PX10,X20,X30PX10PX20PX300.90.80.70.504PX1PX1X2 X31PX11,X2(0,X30PX10,X21,X3 0P X10,X20,X

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