2021二次函数复习专题讲义

1、二次函数【知识清单】一、网络框架概念：形如y ax -x2 4x, y5x2 9x 6等都是二次函数。注意：系 数a不能为零，b,c可以为零。2、二次函数的三种解析式表达式 一般式：y ax2 bx ca 0,a,b,c是常数a 0的函数简单二次函数图像：是过0,0的一条抛物线对称轴：y轴 性质 最值：当a 0时，強小值=0；当a 0时，y最大值=0增减性当日当a概念：形如ax20寸，在对称轴左边即o ,y随的增大而减小。在对称轴右边6即C，癖的增大而增大。 0时，在对称轴左边即0,y随的增大而增大。在对称轴右边6即0,yB的增大而减小。 bx ca 0的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之

2、间的转换。二次函数开口方向：a 0开口向上；a 0,开口向下。24aL b 4ac b- 2a_b2a2 一般二次函数最值：当a 0时，y最小值=色卫4a性质：当a 0时，在对称轴勃貝阪增减性：当a 0寸，在对称轴左边即图像：是一条抛物线顶点坐标:对称轴：x20时,y最大值=4ac b4a,yBx的增大而减小。在对称轴右边即P,yBx的增大而增大。 2a2a-,y随的增大而增大。在对称轴右边即-,yBx的增大而减小。2a2a待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题二、清单梳理1、般的，形如y axbx ca 0,a,b,c是常数的函数叫二次函数。例如y 2x2

3、, y 2x26,y 顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k为常数，且a 0)，顶点坐标为(h,k) 交点式：y a(x xi)(x X2)(a 0,其中Xi, X2是抛物线与x轴的交点的横坐标)3、二次函数的图像位置与系数a,b,c之间的关系 a:决定抛物线的开口方向及开口的大小。 当a 0时，开口方向向上；当a 0 时，开口方向向下。|a|决定开口大小，当|a |越大，那么抛物线的开口越小；当|a | 越小，那么抛物线的开口越大。反之，也成立。 c:决定抛物线与y轴交点的位置。当c 0时，抛物线与y轴交点在y轴正半 轴(即x轴上方)；当c 0时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴(即x轴下方

4、)； 当c 0时，抛物线过原点。反之，也成立。 a和b :共同决定抛物线对称轴的位置。当 0时，对称轴在y轴右边；2a当 0时，对称轴在y轴左边；当 0 (即当b 0时)对称轴为y轴。2a2a反之，也成立。 特别：当x 1时，有y a b c ；当x1时，有y a b c。反之也成立。4、 二次函数y a(x h)2 k的图像可由抛物线y ax2向上(向下)，向左(向右) 平移而得到。具体为：当h 0时，抛物线y ax2向右平移h个单位；当h 0时, 抛物线y ax2向左平移 h个单位，得到 y a(x h)2 ；当k 0时，抛物线 y a(x h)2再向上平移k个单位，当k 0时，抛物线y

5、a(x h)2再向下平移 k 个单位，而得到y a(x h)2 k的图像。5、 抛物线y ax2 bx c(a 0)与一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的关系： 假设抛物线y ax2 bx c(a 0)与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx c 0(a0)有两个不相等的实根。 假设抛物线y ax2 bx c(a 0)与x轴有一个交点，那么一元 二次方 程ax2bxc0(a0)有两个相等的实根(即一根)。 假设抛物线y ax2 bx c(a 0)与x轴无交点，那么一元二次方程ax2bxc0(a0)没有实根。6二次函数y ax2 bx c(a0,a,b,c是常数)的图像与性质关系式

6、2y ax bx c(a 0)y a(x h)2 k(a 0)图像形状抛物线顶点坐标b 4ac b2(c，,) 2a4a(h,k)对称轴bx2ax h增减性a 0在图像对称轴左侧，即x 或x h， y随x的增大2a而减小；在图像对称轴右侧，即x 或x h，y随 2ax的增大而增大；a 0在图像对称轴左侧，即x 一或x h， y随x的增大 2a而增大；在图像对称轴右侧，即x 或x h，y随 2ax的增大而减小；最大值最小值a 0、/b ,4ac b2当x时，y最小值-2a4a当x h时，y最小值=ka 0、/b ,4ac b2当x时，y最大值-2a4a当x h时，y最大值=k【考点解析】考点一：

7、二次函数的概念【例1】以下函数中是二次函数的是 ()2 8Ay 8x 1B.y 8x 1C.y D.yx4 4x【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中y 8x2 1符合y ax2 bx c(a 0)的形式，所以是二次函数，B,C分别是一次函数和反比例3函数，D中右边飞 4不是整式，显然不是二次函数。x【答案】A2【例2】函数y (m2 2m)xm 3m 4 3mx (m 1)是二次函数，那么 m 。【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2 故有m22m 0，解得m0fm2，综上所述，m取2 om3m 42m1 或m2【答案】2【针对训练】21

8、、假设函数y (m 2)xm 2 mx是二次函数，那么该函数的表达式为y o考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用例 1】点a,8在二次函数y ax2的图象上，贝S a的值是()A. 2B. 2C. 2D. 2【解析】因为点a,8在二次函数y ax2的图象上，所以将点a,8代入二次函数 y ax2中，可以得出a3 8，贝U可得a 2，【答案】A.【例2】(2021，泰安)假设二 次函数y ax2 bx c的x与y的局部对应值 如下表，那么当x 1时，y的值为()x765432y27133353A.5B. 3C. 13272【解析】设二次函数的解析式为y ax h k，因为当x 4或 2

9、时，y 3，由抛物线的对称性可知h 3 ,h 5，所以y ax 3 的关系式是y x 22，【答案】D【针对训练】5，把 2,32代入得，a 2，所以二次函数的解析式为y 2x 35，当x 3时,y 27。【答案】C【针对训练】1、2002年太原过 1,03,01,2三点的抛物线的顶点坐标是JJA. 1,2B.1,2C. 1,5D.2，¥332、 无论m为何实数，二次函数y x22 mx m的图象总是过定点A. 1,3B.1,0C. 1,3D 1,0【例3】2021，石家庄一模如下列图，在平面直角坐标系中，二次函 数y ax2 bx c的图象 顶点为A 2, 2，且过点B 0,2，那

10、么y与x的函数 关系式为irA.y x222 2B. y x 22C. y x 22df :2D. y x 22 *-5 4-i w2【解析】设这个二次函数的关系式为y ax 22，将Vizi'J.2B 0,2代入得2 0 22，解得：a 1，故这个二次函数1、 2002，太原过 1,0 , 3,0 , 1,2三点的抛物线的顶点坐标是。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用与系数 a,b,c的关系【例1】2021，兰州二次函数y ax I2 b a 0有最小值1,那么a、b的大小关系为A. a bB. a bC. a bD.不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数

11、y ax 12 b a 0有最小值1，所以a 0， b 1， b 1,所以a b【答案】A.【针对训练】1、二次函数y 2x2 4x 1的最小值是2、2021，兰州二次函数y2x 12 3的图象的顶点坐标是A 1,3B. 1，C. 1，3D. 1，33、抛物线y xx 2的顶点坐标是A. 1，1 B. 1,1C.1，D. 1，1【例2】2021，兰州抛物线y x 22 3可以由抛物线y x2平移得到，那么 以下平移过程正确的选项是A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平

12、移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线y x2向左平移2个单位可得到抛物线y x 22，再向下平移3个单位可得到抛物线y x 223。【答案】B.【针对训练】1、 2021,南京以下函数：1 y x2; 2 y x2 ; 3 y x 12 2。 其中，图象通过平移可以得到函数 y x2 2x 3的图象的有 填写 所有正确选项的序号。2、2021,上海将抛物线y x22向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是。3、将抛物线y x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是A. yx2 2 B. y x 22 C. y x 22D. yx2 2【例3】2021，长沙二

13、次函数y ax2 bx c的图象如下列图，贝U以下关系式 错误的选项是A. a 0B. c 0C.b2 4ac 0D. a b c 0C. 2a b 0D. 当x 0时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知a 0,c 0，故A错误；因对称轴为直线x X所以舟1 , 故C错误；由图象可知当1 x 0时，y随x的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确,【答案】B.【针对训练】y mx m和函数1、 2021，呼和浩特在同一平面直角坐标系中，函数y mx 2x 2 m是常数，且m 0的图象可能是平面的是A.B.C.D.2、 2021，重庆抛物线y ax2

14、bx c a 0在直角坐标系中的位置如下列图，那么以下结论中，正确A. a0B. b 0C. c 0D. a b c 03、在反比例函数中y旦a 0，当x 0时，y随x的增大而减小，那么二次函x数y ax2 ax的图象大致是考点四：二次函数的实际应用【例1】2021,重庆某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走 低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料 价格y1 元X与月份1x9，且x取整数之间的函数关系如下表：1请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如下列图的变化趋势，直接写出y2与X

15、之间满足的一次函数关系式；2假设去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力本钱为 50元， 其它本钱30元，该配件在1至9月的销售量p1 万件与月份x满足函数关系 式p1 0.1x 1.1 1<x<9,且x取整数10至12月的销售量p2 万件与月份 x满足函数关系式P2 0.1x 2.9 10<x< 12且x取整数.求去年哪个月销售 该配件的利润最大，并求出这个最大利润；3今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年 12月上涨60元，人力成 本比去年增加20%，其它本钱没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的根底 上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的

16、根底上减少0.1a% .这样，在 保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出 a 的整数值参考数据： 992=9901， 982=9604，972=9409，962=9216，952=9025【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综 合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】1把表格1中任意 2 点的坐标代入直线解析式可得 y 1的解析式把10 , 730 12 , 750 代入直线解析式可得 y的解析式，；2分情况探讨 得: 1 <x<9时，利润=p1 X售价-各种本钱；10 <x

17、<12时，利润=p2 X 售 价-各种本钱；并求得相应的最大利润即可；3根据1至5月的总利润1700k b 560k 20 ，b 54二 20x 540 1 <x<9，且 x取整数；设 y ax b，那么10a12a7735，解万元得到关系式求值即可。解：1 设y kx b，那么2k b 580 '解得a 10得 b 63，*10x 630 (10 <x <12，且 x 取整数)；今年原材料价格为： 750+60=810元(2)设去年第x月的利润为W元1<x<9， 且x取整数时Wp1(10005030y1)2x216x4182(x4)2450

18、z-x=4 时， W最大=450元?10<x<12，且x取整数时，Wp2(10005030y2)2( x 29)2 x=10时， W 最大=361元；3去年12月的销售量为-万件，0.1X12+2.9=1.7今年人力本钱为： 50X1+20% =60 元5 X1000 X(1+ a% ) - 810 - 60 - 30 X1.7 (1 - 0.1 Xa% ) =1700，设t a%，整理得 10t299t100，解得 t 999401209401更接近于9409 , 940197,/t1 MD.1 , t2 78 ,10 或 a2 980 ,1.7 1 - 0.1 Xa% >

19、1 ,a 10 .【答案】1 y 10x 630 10<x<12，且 x取整数；2 x=10 时，W最大=361 元；3a "10【针对训练】1、2021湖北孝感在“母亲节前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母 亲的活动，他们购进一批单价为 20元的“孝文化衫在课余时间进行义卖， 并将所得利润捐给贫困母亲。经试验发现，假设每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；假设每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件.假定每天销售 件数y 件与销售价格x 元/件满足一个以x为自变量的一次函数。1求y与x满足的函数关系式不要求写出x的取值范围；2在不积压且不考虑其他因素的情况下，

20、销售价格定为多少元时，才能使每 天获得的利润P最大？【例2】2021,孝感如图，二次函数图象的顶点坐标为2,0,直线y x 1与二次函数的图象交于A,B两点，其中点A在y轴上.1二次函数的解析式为y=2证明点m,2m 1不在1中所求的二次函数的图象上；3 假设C为线段AB的中点，过C点作CE x轴于E点，CE与二次函数的图 象交于D点. y轴上存在点K，使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形，贝U K K点的坐标是; 二次函数的图象上是否存在点 P，使得S poe 2S abd ?求出P点坐标；假设不与平面图形综合为主,动点问题般涉及存在性问题和【解析】1 由二次函数图象的顶点坐标为2,

21、0，故根据抛物线的顶点式写出 抛物线解析式.2把该点代入抛物线上，得到 m的一元二次方程，求根的判 别式.3由直线y x 1与二次函数的图象交于 A B两点，解得a B两点坐标， 求出D点坐标，设K点坐标0,a，使K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形， 那么KA DC，且BA/DK，进而求出K点的坐标.过点B作BF x轴于F， 那么BF/CE/AO，又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S POE 2S ABD，设Px,1 x2 x 1，由题意可以解出x .4(1) 解：y - x2 x 14(2) 证明：设点(m,2m 1)在二次函数y - x2 x 1的图象上,41那么有：2m 1m2

22、m 1 ,4整理得m2 4m 80 ,2(4) 4 8160原方程无解，点(m,2m 1)不在二次函数y 1 x2 x 1的图象上.4(3) 解： K(0, 3)或(0,5)二次函数的图象上存在点P P,使得S POE 2S abd ,如图，过点B作BF x轴于F，那么BF/CE/AO，又C为AB中点,1EF，由于 y -x2x 1和y x 1可求得点B(8,9)E(4,0), D(4,1),C(4,5)AD/x 轴,POE 2S ABD16 设P(xx2x41)，4(丄x41)-x2 2x 22-S POE2S ABD.1 2 x2x 2322解得x6或x10，由题意得：S POE416 ,

23、1当 x io时，y 4 100 10 1 16，存在点 P( 6,16)和 P(10,16)，使得 S poe 2S abd【答案】(1) y x2 x 1 ；(2)见上述解答过程；(3)存在，点P( 6,16)4和 P(10,16)【针对训练】1、(2021,泉州)如图，O为坐标原点，直线I绕着点A(0,2)旋转，与经过点C(0,1) 的二次函数y x2 h的图象交于不同的两点P、Q .4(1) 求h的值；(2) 通过操作、观察，算出 POQ的面积的最小值(不必说理)；(3) 过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线I的旋转过程中，四边 形AOBQ是否为梯形？假设是，请说明理由；假设

24、不是，请指出四边形的形状.【根底闯关】1、二次函数y ax2 bx c的图象如下列图，那么这个函数的解析式为。2、 二次函数y 3x2 12x 13，贝U函数y的最小值是。3、 把抛物线y 2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为 。4、 2021，济宁将二次函数y x2 4x 5化成y x h2 k的形式，贝Uy 5、 2006，陕西如图，抛物线的函数表 达式是 A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. yx2 x 2D. y x2 x 26、函数 y ax2 bx c a 0的图象如下列图，贝U函数 y ax b的图象是yjXrJf0rA.B.C.D.7、2021,兰州二次函数

25、y2x 12 3的图象的顶点坐标是A 1, 3C.| 1，318、2021,泰安对于抛物线y2B. 1，3D1，312 3，以下结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x 1 ;顶点坐标为-1, 3;x 1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为B.2C.3D.49、(2021,贵阳：直线y axb过抛物线yx22x 3的顶点p，如图所示.1顶点p的坐标是2假设直线y ax b经过另一点A 0, 11,求出该直线的表达式;3在2的条件下，假设有一条直线y mx n与直线y ax b关于x轴成轴对称，求直线y mx n与抛物线yx2 2x 3的交点坐标.2 一10、 2021,虹口区一模二次函数

26、 y x 2x 3，解答以下问题：1 用配方法将该函数解析式化为 y ax m2 k的形式；2指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况.【拓展提高】1、将二次函数y 2x 123的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是 。2、 假设抛物线y x2 2x m的最低点的纵坐标为n,那么m n的值是。3、抛物线y ax2 bx c的顶点坐标是 1,3，且过点0,5，那么二次函数y ax2 bx c的解析式为 22A. y2x4x 5B. y 2x4x 522C. y2x4x 1D. y 2x4x 34、2021,兰州抛物线y x2 bx c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为yx2 2x 3，那么b、c的值为Ab2， c 2 B. b 2， c 0 C.b1 D. b 3，c 25、 2021 ,兰州抛物线y ax2 bx c图象如下列图，那么一次函数y bx 4ac b2与反比例函数y a b c在同一坐标系 内的图象 大致为x2 2 2 2A. y x 14 B. y x 14 C. y x 12 D. y x 128、 2021,重庆企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中 处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水