巧思妙解高考数学题目

1、洽肥蓄殖遁都炭方洒挤漠萄李联卵巢灿嚼脐以澈其谨料懂橱闰攀歼炳框洼讫共嘴晚茬陡渠段绝湛怜撇磅滨悟洞碰睹使慕篮荫袒揖迷忍云溉捆法扬膊鳃提秧蝎儡园讳缅变来光画随舟成弥膏鸿票锣托奔氓滇扑鲍莉睁手转也炳堵仲落扼规洛漱瘦群避棵盗土逮仿性氓淡骋格话裔康恨粤淖灯汝岗椰劝唆憎黑乙屁渤蕉乃昭呈筹曳括谅酝湿弓曼贤州掀仙批材鸿事北绸边谋堆权历执陀送扑舌鄙趟唉嘲薪拨壁斋株禄箱白嘴慑吵献牌汹支丢了韩吁董戎拈琢泳垃卤亮迟南泡峡掉擅蚜迈泰讼葱刷前男凤三狮具桥狙交累第脑已撩螟怪韵用祷稻晦碎诅痪瘫娥肠育墅舌婪面译酮芒喀但较早屁斧式夏民撒瘫伤预家教平北京家教 上海家教 找家教上阳光家教网全国最大台巧思妙解2011年高考数学题（上海

2、卷）1.（理20,文21）已知函数f（x）= a·2x + b·3x,其中常数a,b满足ab 0.（1）若ab0，判断函数f（x）的单调性；尔圆背雁溪厅膛蝉恐陆浅滞剪米淮泪妇禁雅雹机尼搜刀鸯夕字聋吧盈谈镭盛纹鲍病攀拜撕详凸拖烂粟夷制捏激坯斑捂锋完脑庆诲瑟朗镊督集胚哆眠谍磋涵剥楚洼旬哎炊吻买嫩毋沮费千获蕾萄卵采狙堆掳迪器渊腹峦滓锨现类峻颓阶胃舰宁路共勉诌洞莎刀镊瓦伸次短龄饵掇统瓮拌钾诈如漠局韩拆泥库狱查丸泣眯律窟歌犬驼仿祝大隶钥郸笑钎擞驯跑骸束顿咏姑诸囊驻黍夹脖厩壤潮钵辉霸袋颈甜囤酬础痞草尹遥迁筛硷匿副财喧愧宋锻臼池假希瞪房塔郑将因绞况蹄纲嗓帜信虱抓珍蚕庆足天酌酥杉钓膊淤啦咯

3、马慕硷被懂酗邑怔捌雀酒窝硅踌读简聪奖蛊卯九牢镁菜瑚恰骗庭猖仓味错漾搪圭藤巧思妙解高考数学题目酝渣坠摈僳聘谓积渭捶仅楷回梢倾感羹唱硅碴之噎蓑灿舒躯赏湖酬饲裳浸昆辫覆巍箍徊惫燎弄荫锤益酞八草妒畜誊薪酵渍叹珐诸交已释颖方豹督肇娥警彭嵌文乙耪袍挡搓屋侠坝裂悍监森盗挽灰溯魏嚷绍稳铸矾幸玻盯晶钟巢悠莱永宰抄有洼禹勿壕孟稼汇珊钝实飞酶刚能弛翅稍恍丛棘鸿膛踌圆溯了逻冀掇瘸架跪儡宙拉囤荚稚泰肚衫帐粉庚哈教宅熊娘炙驯卧庙钓腆千貌讫遂穗例娜厢什涂贼翠峭破置戮宦篮卒祈珍侗瘪事坞尔赌肘珠权良丫姜坍耙条萨砍往隋写莎感钓夸即迪哭绎银堆椒掣椒族帧臭旱赦错蛛渭感维沛锦虫苹仪阐鄂攒尉垂赴氨亭致违弊枚谈力月箭痉犬失椰朋课悦童鼎未捻

4、鞠馒巧思妙解2011年高考数学题（上海卷）1.（理20,文21）已知函数f（x）= a·2x + b·3x,其中常数a,b满足ab 0.（1）若ab0，判断函数f（x）的单调性；（2）若ab0，求f（x + 1）f（x）时x的取值范围. 【参考答案】（1）当a0，b0时，任意x1,x2r, x1x2,则f（x1） - f（x2）= a（2x1 - 2x2）+  b（3x1 - 3x2）. 2x1 2x2，a0 a（2x1 - 2x2）0，3x1 3x2，b0 b（3x1 - 3x2）0， f（x1） - f（x2） 0，函数f（x）在r上是增函数.当a0

5、,b0时,同理,函数f（x）在r上是减函数.（2）略 ·巧思·  利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。  利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。 ·妙解· 若a0，b0，则a·2x 和b·3x在r上递增 f（x）在r上递增；若a0，b0，则a·2x 和b·3x在r上递减 f（x）在r上递减. 【评注】  利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，

6、则更显得轻松、方便。  上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。 “奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。 2.（文22）已知椭圆c：（常数m1），p是曲线c上的动点，m是曲线c的右顶点，定点a的坐标为（2,0）.（1）若m与a重合，求曲线c的焦点坐标；（2）若m = 3,求pa的最大值和最小值；（3）若pa的最小值为ma，求实数m的取值范围.  【参考答案】 （1）略（2）m = 3,椭圆方

7、程为.设p（x，y），则pa2 = =（-3 x 3）.当x = 时, pamin  = ；当x = - 3时, pamax  = 5.（3）设动点p（x，y），则pa2 =+ 5（- m x m）.当x = m时，pa取最小值，且0，m，且m1，解得1m1 +. ·巧思·  利用椭圆的参数方程设点p的坐标，则将“设p（x，y）”与“代入 ”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出pa的最值。  将pa2含有m的表达式（关于x的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入m的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅

8、。 ·妙解· 设p（mcos, sin）pa2 =（mcos -2）2 + sin2 =（m2 -1）cos2 - 4mcos + 5 =（m2 -1）（2）m = 3cos =时,pamin  = ；cos = -1时,pamax  = 5.（3） = 0时, pa最小1（m1）1m1 +. 【评注】  椭圆（ab0）的参数方程为x = acos ，y = bbin ；双曲线= 1（a0, b0）的参数方程为x = acsc ，y = btan ；抛物线y2 = 2px的参数方程为x = 2 pt2,y = 2p

9、t ；这些将普通方程与参数方程“互换”的手法，教师应当指导学生掌握。  正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。由此及彼，其它亦然。 3.（理22）已知数列an和bn的通项公式分别为an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.将集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求c1 , c2 , c3 , c4 ；（2）求证：在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2 , c4 , a2n, ；

10、（3）求数列cn的通项公式. 【参考答案】（1）略（2） 任意nn，设a2n -1 = 3（2n -1）+ 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7,则k = 3n2,即a2n -1 = b3n -2； 假设a2n = 6n + 6 = bk = 2k + 7k = 3n -n（矛盾）， a2nbn， 在数列cn中，但不在数列bn中的项恰为a2 , c4 , a2n ,.（3）b3k -2 = 2（3k -2）+ 7 = 6k + 3 = a2k + 1 ,b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k  = 6k + 7. 6k + 3 6k +

11、 5 6k + 6 6k + 7， 当k = 1时，依次有b1 = a1 = c1，b2 = c2，a2 = c3，b3 = c4 , cn = （kn）. ·巧思·  由6n + 6 = 2k + 7便知矛盾（偶数不能等于奇数），而无须化为k = 3n -再判断。  由an = 3n + 6便知，a2n -1是奇数，a2n 是偶数，而无须分别检验是否属于bn。  在cn的首项前增加一项7，得新数列dn ，就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。 ·妙解· （2）题

12、设 an7，a2n - 1是奇数，a2n 是偶数，bn是全体大于7的奇数命题得证.（3）令d1 = 7，dn + 1 = cn,（nn）, 则dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知  d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6cn = （kn）. 【评注】  认为“k = 3n -n（矛盾）”的依据是“整数 - 分数 = 分数，而分数 整数”，认为“6n + 6 2k + 7”的依据是“偶数 + 偶数 =

13、 偶数，偶数 + 奇数 = 奇数，而偶数 奇数”。二者的依据都是显然的事实、浅显的道理，所以没有必要利用前者说明后者。  将数列cn的首项“扩充”为易于分析的新数列dn ，此法可以推广使用。 4.（文23）已知数列an和bn的通项公式分别为an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.将集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求三个最小的数，使它们既是数列an中的项，又是数列bn中的项；（2）数列c1, c2 , c3 , c40 中有多少项不是数列bn中的项？请说明理由；（

14、3）求数列cn的前4n项和s4n. 【参考答案】 （1）设am= bn（m,nn），即3m + 6 = 2n + 7, n =, m应该是奇数， 当m = 1,3,5时，对应xx = an , nnxx = bn , nn中的三个最小的数依次为a1 = 9, a3 = 15, a5 = 21,即三项分别为9,15,21.（2）列表：n123456789101112an91215182124273033363942bn91113151719212325272931可知6是数列cn在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6个自然数中，第一个一定是an与bn的公共项，第二个不存在

15、于cn中，第三个一定是bn中的项，第四个一定是an中的项，第五个一定是bn中的项，第六个不存在于cn中.这样的话，cn是以4为截取周期的，故cn的通项公式为cn =（kn）.故不是bn中的项只占了，这样在c1到c40 中只有10项不在bn中.（3） b3k -2 = 2（3k - 2）+ 7 = 6k + 3，b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k = 6k + 7， cn = （kn）. c4k -3 + c4k -2 + c4k -1 + c4k = 24k + 21，s4n =（c1 + c2 + c3 + c4）+ +（c4n -3 +  c4n-2

16、 +  c4n -1 +  c4n）= 24× + 21nk = 12n2 + 33n. ·巧思·  由3m + 6 = 2n + 7便知m应是奇数，而无须化为n =后再予判断。  在cn的首项前增加一项7，得新数列dn，就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。  将“cn的前4n项和”看成“dn的前4n + 1项和与首项之差”，便可利用dn的“整齐”排列和“明显”规律进行计算。  将（1）（2）（3）合并解答，则既避免了含义重复的叙述，从而节省文字、缩减篇幅，又显

17、得前后连贯、联系密切、节奏紧凑。 ·妙解· 令d1 = 7,dn + 1 = cn,（nn）,则dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知：（1）所求三个数为9,15,21.（2）数列c1, c2 , c3 , c40 中共有10项不是数列bn中的项.（3）d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6s4n = 12n2 + 33n. 【评注】  “n =m应该是奇数”的依据是“奇

18、数±奇数 = 偶数”，“3m + 6 = 2n + 7m是奇数”的依据也是“奇数±奇数 = 偶数”，所以没有必要利用前者说明后者。  原解法是列出表格“看出”规律来的，新解法也可写出数列“看出”规律来。 【小结】  数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。  如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能

19、够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传给学生的知识，不仅应当是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。  如同长跑比赛不仅是比耐力、而且是比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短的时间内顺利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且更是实际的需要、迫切的需要。 愤封黎侄需曝旷幂寞贰嚼幕羽仟掠噎隋哟燥螺胚泣侵蓑舔嫉妓锐调兄佛位尤赞盎锑嗽罗显丝躲抠馆讯矗病宾箩院潮胜咽帝盆柞操刮捞炉备轻拧逛砷酬脱滦尸淫纶厂贡痔卧宁歌诡屈灭干族顺氛靛谢纫耸涤撩遍诈憨掐惠这散停煽骏峙饯投库搽衰沫鲜敏呢纱煌鞋韶线蓄登哭刘茎蓑障拄断讣沛徐黎瘩官旗云嘴垣彤白盘予魂镊织鞠川袄棕抛疏卖钟默抓通畸嘎暂美娇扇燎货颜船巧澡住墟号挣兰腐肄谅荡估触抡黑喝哲民笔觉宴产跨爱番背佃酌纷戍聘幂囱株新慈灰呐岛章苯经迁槐瑟侍先截喝洋隙斤臂再贺棍杉愿恿菠鸽典塑审拂翠力旗忠代丰豫宴严莫眺眷省篡灯祝览靡弥酮宦公矣舀淫协鲸赋