内蒙古某知名中学高二数学上学期第三次月考试题 理含解析2VIP

1、市一中20172018学年度第一学期第三次月考高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件a. 充要 b. 充分非必要 c. 必要非充分 d. 既非充分又非必要【答案】c【解析】试题分析：由“直线与平面内无数条直线都垂直”不能得到“直线与平面垂直”，反之，由“直线与平面垂直”可得到“直线与平面内无数条直线都垂直”，所以“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的必要非充分条件考点：充分条件与必要条件2.2.若命题“xr，使x2(a1)x

2、1<0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）a. 1a3 b. 1a3 c. 3a3 d. 1a1【答案】b【解析】由命题“，使”是假命题，得无解，即恒成立，则，解得；故选b.3. 如图程序框图输出的结果为a. 511 b. 513 c. 49 d. 613【答案】a【解析】试题分析：s=11×3+13×5+15×7+17×9+19×11=12(113+1315+19111)=12(1111)=511故选a考点：循环结构，裂项求和4.4.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图，则导函数y=f'(x)的图象可能为 （

3、）【答案】d【解析】试题分析：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（-，0）上递增；在（0，+）上先增再减再增，在区间（-，0）上f（x）0，在（0，+）上先有f（x）0再有f（x）0再有f（x）0考点：函数的单调性与导数的关系5.5.有下列四个命题：“若xy=1，则x,y互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；“若b1，则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题；“若ab=b，则ab”的逆否命题.其中真命题是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】“若xy=1，则x,y互为倒数”的逆命题“若x,y互为倒数，则xy=1”是真命题，即正确；“相似三角形的周长相等”的否

4、命题“两三角形不相似，则三角形的周长不相等”是假命题，即错误；若b-1，则=4b24(b2+b)=4b4>0，即方程x2-2bx+b2+b=0有实根，即“若b-1，则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”是真命题，其逆否命题为真命题，即正确；若ab=b，则ba，即“若ab=b，则ab”及其逆否命题都为假命题，即错误；故选c.6.6.如右图在一个二面角的棱上有两个点a，b，线段ac，bd分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱ab，ab=4cm，ac=6cm，bd=8cm，cd=217cm，则这个二面角的度数为( )a. 30° b. 60° c. 90°

5、d. 120°【答案】b【解析】过点a作aebd且ae=bd，连接ce,de，则aeab，即cae为二面角的平面角，由题意，得ae=bd=8，ac=6，ce2=cd2ed2=52，由余弦定理，得coscae=ae2+ac2ce22aeac=64+36522×8×6=12，则cae=600，即这个二面角的度数为600；故选b.7.7.如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（ ）a. a1a2 b. a1>a2

6、c. a2>a1 d. 无法确定【答案】c【解析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1=85+84+85+85+815=84，a2=84+84+86+84+875=85，即a2>a1；故选c.8.8.曲线y=ln(2x1)上的点到直线的最短距离是（ ）a. 5 b. 25 c. 35 d. 0【答案】b【解析】试题分析：曲线y=ln（2x-1），y=22x1，分析知直线2x-y+8=0与曲线y=ln（2x-1）相切的点到直线2x-y+8=0的距离最短，y22x1=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x-1），y=0，点（1，0）到直线2x-y+8=0的距离最短，d=

7、|2+8|4+1=1055=25，故答案为b.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离.9.9.如图，圆c内切于扇形aob，aob=3，若在扇形aob内任取一点，则该点在圆c内的概率为（ ）a. 16 b. 34 c. 13 d. 23【答案】d【解析】设圆c的半径为r，连接oc并延长交ab于点m，作choa，因为圆c内切于扇形aob，且aob=3，所以oc=2ch=2r,om=3r，由几何概型的概率公式，得在扇形aob内任取一点，则该点在圆c内的概率为p=s圆s扇形=r212×3×(3r)2=23；故选d.10.10.如图所示，在三棱柱abca1b1c1

8、中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90°，点e、f分别是棱ab、bb1的中点，则直线ef和bc1的夹角是（ ）a. 45° b. 60° c. 90° d. 120°【答案】b【解析】解：连接ab1，易知ab1ef，连接b1c交bc1于点g，取ac的中点h，连接gh，则ghab1ef设ab=bc=aa1=a，连接hb，在三角形ghb中，易知gh=hb=gb=22a，故两直线所成的角即为hgb=60°故选b11.11.若f(c,0)是双曲线x2a2y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过f作双曲线一条渐近线的垂线与两

9、条渐近线交于a,b两点，o为坐标原点，oab的面积为12a27，则该双曲线的离心率e=（ ）a. 54 b. 43 c. 53 d. 85【答案】a【解析】因为a>b>0，所以0<ba<1，设aof=，则tan=ba(0,1)，所以0<<4,0<2<2，设过点f(c,0)作渐近线y=bax的垂线，分别交y=bax,y=bax于点a,b，则|fa|=b,|ao|=a，所以saob=12|ao|ab|=12a2tan2=a3ba2b2=12a27，即ba=34，则该双曲线的离心率为e=a2+b2a2=1+b2a2=54；故选a.点睛：解决本题的关键是

10、正确作出图形确定aob的形状（尤其是顶点b的位置：是在第二象限，还是在第四象限，如判断错误，将大大增加运算量，且劳而无功），而a>b>0往往是学生容易忽视的条件.12.12.已知函数fx=ax3-3x2+1，若fx存在唯一的零点x0，且x0>0，则的取值范围是（ ）a. 2，+ b. 1，+ c. -,-2 d. -,-1【答案】c【解析】显然，0不是f(x)=ax33x2+1的零点，令ax33x2+1=0，则a=3x21x3，则函数f(x)=ax33x2+1存在唯一零点x0，且x0>0等价于函数h(x)=3x21x3和y=a的图象有唯一交点，且交点在y轴右侧，因为h&

11、#39;(x)=3(x21)x4，所以函数h(x)在(0,1)单调递增，在(1,+)上单调递减，当x=1时，h(x)取得极大值2，又因为函数h(x)为奇函数，所以函数h(x)的图象所图所示，由图象，得函数h(x)=3x21x3和y=a的图象有唯一交点，且交点在y轴右侧，则a<2，即函数f(x)=ax33x2+1存在唯一零点x0，且x0>0，则a<2；故选c.点睛：本题利用分离参数法将含参数的函数的零点问题转化为两个函数h(x)=3x21x3和y=a的图象交点问题，这是处理含参数问题的常见方法，也较好地避免了分类讨论，减小了计算量.二、填空题（每小题5分，共20分，把正确的答案

12、写在题中横线上）13.13.已知点p到点f(3,0)的距离比它到直线x=2的距离大1，则点p满足的方程_【答案】y2=12x【解析】试题分析：动点p到点（3，0）的距离比它到直线x=-2的距离大1，将直线x=-2向左平移1个单位，得到直线x=-3，可得点p到点（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离因此，点p的轨迹是以（3，0）为焦点、x=-3为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2=12x（p0），可得p2=3，得2p=12抛物线的方程为y2=12x，即为点p的轨迹方程考点：抛物线的标准方程14.14.若函数f(x)=4xx2+1在区间(m,2m+1)上单调递增，则实数m的取值范围是_【答案】

13、(1,0【解析】f'(x)=4(x2+1)8x2(x2+1)2=4(1x)(1+x)(x2+1)2，令f'(x)>0，得1<x<1，即函数f(x)的单调递增区间为(1,1)，又因为函数f(x)=4xx2+1在区间(m,2m+1)上单调递增，所以m12m+11m<2m+1，解得1<m0；故填(1,0.点睛：已知函数f(x)在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数的单调递增区间的子集进行求解；将问题转化为f'(x)0在所给区间上恒成立进行求解.15.15.从集合1,1,2,3

14、中任意取出两个不同的数记作m,n，则方程x2m+y2n=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率是_【答案】14【解析】从集合-1,1,2,3中任意取出两个不同的数记作m,n，共有4×3=12个基本事件，其中满足方程x2m+y2n=1表示焦点在x轴上的双曲线，即m>0,n<0的基本事件有3个，由古典概型的概率公式，得方程x2m+y2n=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率是p=312=14；故填14.16.16.设ar，若函数y=eax+3x，xr有大于零的极值点，则的取值范围是_【答案】(,3)【解析】令，则，所以，所以，所以。三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤

15、）17.17.已知椭圆的顶点与双曲线y24x212=1的焦点重合，它们的离心率之和为135，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的方程.【答案】x225+y216=1【解析】试题分析：由双曲线方程可求得其焦点和离心率，进而可求得椭圆的顶点或椭圆的离心率，从而求得椭圆中的a,b,c的值，得到椭圆方程试题解析：设所求椭圆方程为x2a2+y2b2=1，其离心率为，焦距为2，双曲线y24x212=1的焦距为2c1，离心率为e1，则有：c12=4+12=16，c14e1=c12=2e=1352=35，即ca=35又b=c14 a2=b2+c2由、 、可得a2=25 所求椭圆方程为x225+y216=1考点：椭圆

16、双曲线方程及性质18.18.如图（1），等腰直角三角形abc的底边ab=2，点d在线段ac上，deab于e，现将ade沿de折起到pde的位置（如图（2）（1）求证：pbde；（2）若pebe，直线pd与平面pbc所成的角为30，求平面pde与平面pbc所成的锐二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）sin=346【解析】试题分析：（1）要证pbde，只要证de平面peb即可，由已知可证depe,deeb，可证de平面peb；（2）以e为坐标原点建立空间直角坐标，设|pe|=a，写出相应点的坐标，求出平面pbc的法向量，由sin30o=|cos<pd,n>|，解方程求出的值即可.

17、试题解析： （1）deab,depe,deeb.又pebe=e,de平面peb.pb平面peb，pbde.（2）由（1）知depe,deeb，且pebe，所以de,be,pe两两垂直.分别以ed,eb,ep的方向为x轴、y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设|pe|=a，则b(0,4a,0)，d(a,0,0)，c(2,2a,0)，p(0,0,a)，可得pb=(0,4a,a),bc=(2,2,0).设平面pbc的法向量为n=(x,y,z)，则n·pb=0n·bc=0，所以(4a)yaz=02x2y=0，取n=(1,1,4aa).直线pd与平面pbc所成的角为30o,且pd=(

18、a,0,a)，sin30o=|cos<pd,n>|=|a(4a)2a2×2+(4a)2a2|=12.解之得a=45，或a=4（舍去）.所以pe的长为45.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质与空间向量的应用，中档题.利用空间向量求空间角的常见类型及策略为：1.求直线与直线所成的角：求出两直线的方向向量m,n，设两直线的夹角为，则cos=|cos<m,n>|；2.求直线和平面所成的角：求出直线的方向向量m与平面的法向量n，则sin=|cos<m,n>|；3.求两个平面所成的角：求出两个平面的法向

19、量m,n，通过法向量的夹角求两个平面的法向量即可，但要注意结合图形判断二面角的大小是锐角还是钝角；或分别在两个平面内找到与棱垂直的且以垂足出发的向量，则这两个向量的大小就是二面角的大小.19.19.为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.（）求该校报考体育专业学生的总人数n；（）已知a，是该校报考体育专业的两名学生，a的体重小于55千克，的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然

20、后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求a不在训练组且在训练组的概率.【答案】（1）n=48（2）p=59【解析】试题分析：（）利用频率分布直方图的实际意义进行求解；（）列出所有基本事件，找出满足条件的基本事件，利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：（1）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率为p1,p2,p3，则由题意可得，p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375.又因为p2=0.25=12n，故n=48.（2）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为48×0.125=6，记他们分别为a,b,c,d

21、,e,f体重不小于70千克的人数为48×0.0125=3，记他们分别为a,b,c，从体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，所有可能结果有：(a,a,b)，(a,a,c)，(a,b,c)，(b,a,b)，(b,a,c)，(b,b,c)，(c,a,b)，(c,a,c)，(c,b,c)，(d,a,b)，(d,a,c)，(d,b,c)，(e,a,b)，(e,a,c)，(e,b,c)，(f,a,b)，(f,a,c)，(f,b,c)，共18种；其中a不在训练组且a在训练组的结果有(b,a,b)，(b,a,c)，(c,a,b)，(c,a,c)，(d,a

22、,b)，(d,a,c)，(e,a,b)，(e,a,c)，(f,a,b)，(f,a,c)，共10种.故概率为p=1018=5920.20.已知函数f(x)=exmx，其中m为常数.（）若对任意xr有f(x)0恒成立，求m的取值范围；（）当m>1时，判断f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由.【答案】（1）(,1（2）f(x)在m,2m上有两个零点【解析】试题分析：（）求导，通过导函数的符号变换研究函数f(x)的单调区间、极值和最小值，再利用最小值非负进行求解；（）利用函数f(x)的单调性和零点存在定理进行判定.试题解析：（1）由题意可知f(x)在r上连续，且f'(x)=ex-m

23、-1，令f'(x)=0得x=m当x(-,m)时，ex-m<1,f'(x)<0,f(x)单调递减；当x(m,+)时，ex-m>1,f'(x)>0,f(x)单调递增；故x=m时，f(m)为极小值也是最小值.令f(m)=1-m0得m1.即对任意xr,f(x)0恒成立时，m的取值范围是(-,1.（2）当m>1时，f(m)=1-m<0.f(0)=e-m>0,f(0)f(m)<0且f(x)在(0,m)上单调递减，f(x)在(0,m)上有一个零点.又f(2m)=em-2m，令g(m)=em-2m，当m>1时，g'(m)=e

24、m-2>0，g(m)在(1,+)上单调递增.g(m)>g(1)=e-2>0，即f(2m)>0.f(m)f(2m)<0,f(x)在(m,2m)上有一个零点.故f(x)在m,2m上有两个零点.点睛：在利用导数研究函数的零点个数问题时，往往是先利用导数的符号变化研究函数的单调性和极值，再通过函数的极大值、极小值的符号判定函数零点的个数问题.21.21.在平面直角坐标系中，动点p到两点(3,0),(3,0)的距离之和等于4，设点p的轨迹为曲线c，直线过点e(1,0)且与曲线c交于a,b两点.（）求曲线c的方程；（）aob的面积是否存在最大值，若存在，求出aob的面积的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）x24+y2=1（2）saob的最大值为32【解析】试题分析：（）利用椭圆的定义进行求解；（）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系、三角形的面积公式得到表达式，再利用换元思想和函数的单调性进行求解.试题解析：（1）由椭圆定义知，点p的轨迹c是以（-3,0),(3,0)为焦点，长半轴长为2的椭圆.故曲线c的方程为x24+y2=1.（2）存在aob面积的最大值因为直线过e(-1,0)，可设直线