大学物理习题答案第十五章(共7页)

1、    习题解答 15-3如果粒子的波函数为y(x, y, z)，试求出在x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz 范围内找到粒子的概率的表达式。解在题意所述范围内找到粒子的概率为 .15-4如果粒子的波函数为y(r, q, j)，试求：(1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率；(2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立体角内找到粒子的概率。解(1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率= .(2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立体角内找到粒子的概率为.15-5试写出下面两种情况下粒子的定态方程：(1

2、)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。解(1)自由粒子的动能为 ，写成算符为 .因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E，所以定态薛定谔方程为,即,或.(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为,哈密顿量应写为.式中A是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式中，得,整理得.15-6如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为10-10 m，试求电子处于基态和第一激发态的能量。解根据无限深势阱的能量表达式(15-49)，可以将电子的能级写为,  将有关数据代入上式，得.基态;第一激发态.15-7如果可以将氘核

3、看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为10-14 m，试求质子和中子处于基态的能量。解将质子和中子的质量(、)以及有关数据代入无限深势阱的能量表达式(15-49)，可以得到：质子基态的能量为,中子基态的能量为.15-8在宽度为a的一维无限深势阱中，当粒子分别处于状态 y1和 y2时，发现粒子的概率最大的位置在何处？解处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为,  当粒子处于状态时，发现粒子的概率密度为.对上式求极值,即,(1)由此解得, (2)在势阱范围内、并使式(1)得到满足的m值只能是0、1、2。因为当m为0和1时，x = 0和a，波函数及其概率密度

4、都等于零，对应于概率密度极小值。所以能满足概率密度极大值的只能是m = 1，此时。当粒子处于状态时，发现粒子的概率密度为 .对上式求极值,即，故得.在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的m是1和3，即和  .15-10求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。解一维线性谐振子波函数的一般形式为,式中An是常量，可用归一化条件确定，在此与我们的题目无关。变量x由下式表示, m是谐振子的质量。在第一激发态，波函数为 .对概率密度取极值.得到符合极大值条件的解为,即 .15-11试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。解处于基态的氢原子波函数为,式中a就是玻尔半径a0。半径r的平均值可以表示为 .这表示，基态氢原子的平均半径等于玻尔半径的3/2倍，这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径a0处，并且在峰值两侧分布情况是不对称的，如教材中图15-8左上角第一幅图所表示的那样。15-12试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。解处于基态的氢原子的势