高一数学等比数列的前n项和课件新课标人教版A

1、等比数列的前等比数列的前n n项和项和上节课我们学习了等比数列的有关知识，现在请同上节课我们学习了等比数列的有关知识，现在请同学们首先回顾一下等比数列的有关内容：学们首先回顾一下等比数列的有关内容：在等比数列中，公比在等比数列中，公比q q是不能为是不能为0 0的。那它能为的。那它能为1 1吗？吗？若能，则是一个什么数列若能，则是一个什么数列? ?定义式定义式等等 比比 数数 列列通项公式通项公式 q (n2，q0)1nnaaan= a1qn-1 ( (a100且且q00）即即： = q (n2，q0)342312aaaaaa1nnaa 传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者传说古代印度有

2、一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了我将答应你如果你赢了我将答应你的任何要求。的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第象棋盘上的所有空格，第1 1格格1 1粒，第粒，第2 2格格2 2粒，第粒，第3 3格格4 4粒，粒，依此下去，以后每格是前一格粒数的依此下去，以后每格是前一格粒数的2 2倍。倍。”国

3、王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！ 即求即求： + + + + + + =? 1212223263 分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：及公比来表示，因此上式可变为：如果将等式如果将等式

4、两边同乘两边同乘q q，则得到一个新的等式，则得到一个新的等式 我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？提出问题：已知提出问题：已知 等比数列等比数列 an n ，公比为公比为q， 求求 sn=a1+a2+an sn =a1+a1q+a1q2 + +a1qn1 qsn= a1q+a1q2+a1q3 + +a1qn 从第二项起，每一项为从第二项起，每一项为前一项的前一项的q倍倍sn=a1+a2+ an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 qsn= a1q+a1q2+a1qn-1 +a1qn - 得得sn-qsn=a1-a1qn (1-q)sn=a1-a1qn

5、 当当q1时时 当当q=q=1 1时时qqan111sn=qqaan111sn=na1) 1( ) 1( 1)1 (11qnaqqqasnn即：即：qqaan11当当q1时时 snqqaan111an= a1qn-1qqqaan1111以上推导公式的方法我们称之为以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法错位相减法” 等比数列的前等比数列的前n n项和公式可不只有上面项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种这种方法啊！它的推导方法还有好多种, ,有有兴趣的同学可别忘了下去研究啊兴趣的同学可别忘了下去研究啊！等比数列的前等比数列的前n项和公式为：项和公式为：(2) 1( ) 1(1

6、(1) 1( ) 1(1)1 (1111qnaqqqaasqnaqqqasnnnn或以下问题你能回答吗？以下问题你能回答吗？公式中的公式中的qn的的n是项数是项数n吗吗？是是 ) 1(1nqa在公式在公式（1 1）中中，当当q1时，时， 分母是分母是1q时，分子是时，分子是 ， 分母是分母是q1时，分子是时，分子是 。)1 (1nqa当公比当公比q不确定时，应当分不确定时，应当分q=1和和q1两种情况讨论。两种情况讨论。d d练习：练习：等比数列等比数列1，21，22，23，263 的所有项的和是（的所有项的和是（ ） a. 264 b.2631 c.2641 d.2641 数列数列a，a2，

7、a3，an的前的前n项和为（项和为（ ） a. b. 0 c. n d.以上都不对以上都不对等比数列等比数列 ， ， ， 前前8 8项和为项和为_2141812562552118 264-1，这个数很大，这个数很大,超过了超过了1.841019,假定千粒麦子的质量为假定千粒麦子的质量为40g，则填满棋，则填满棋盘所需麦粒的总质量约为盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。亿吨。aaan1)1 (“ “ ， ， ” ”2141814181+ + + + = ?一尺之棰一尺之棰 日取其半日取其半 万世不竭万世不竭n天之后取得的天之后取得的木棒的总长呢？木棒的总长呢？214181n211n21n21n2

8、1n天之后，我们总共取的木棒长度为：天之后，我们总共取的木棒长度为：sn=nn21121121121例例1：远望巍巍塔七层，远望巍巍塔七层， 分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？ 红光点点倍加增，红光点点倍加增，其灯三百八十一，其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？这首古诗的答案是什么？解：设尖头有灯解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：盏，则由题意得： s7 7= 解

9、得解得 a1 =3， 故尖头有灯故尖头有灯3盏盏 3812121711711aaqqaa即 na数学建模：已知等比数列数学建模：已知等比数列 ，公比公比q=2 n=7，s7 7=381求求a1例例2 2：某商场今年销售计算机某商场今年销售计算机50005000台台. .如果平如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加均每年的销售量比上一年的销售量增加10%10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到那么从今年起，大约几年可使总销售量达到3000030000台（结果保留到个位）？台（结果保留到个位）？) 1() 1(1) 1() 1(1)1 (1111qnaqqqaasqnaqqqasnnnn或

10、 通过上面例题与习题的求解，可以看出，在公式通过上面例题与习题的求解，可以看出，在公式中涉及到了五个量，我们只要知道其中的三个量，利中涉及到了五个量，我们只要知道其中的三个量，利用等比数列的通项公式，及等比数列的前用等比数列的通项公式，及等比数列的前n n项和公式项和公式就可以求出另外两个量。即就可以求出另外两个量。即“知三求二知三求二”。 例例2：求和：求和： sn= )1()1()1(22nnyxyxyx) 1, 1, 0(yxx分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列。分别求这两个

11、等比数列的和，就能得到所求式子的和。分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。 sn = =（x+x2+xn）+( ) = = 1, 1, 0yxxnnnnyyyxxx1111)1()1()1(22nnyxyxyxnyyy1112yyyxxxnn11)11(11)1(解解: 引申：（引申：（1 1）当把）当把x1x1这个条件去掉时，上式该如何求和呢？这个条件去掉时，上式该如何求和呢？（2 2）当把）当把x1，y1这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？sn=)1()1()1(22nnyxyxyx) 1, 1, 0(yxx分析：应该分分析：应该分x=1和和x1两种情况讨论两种情况讨论分析：应该分分析：应该分 x =1，y=1 x =1，y 1 x 1，y=1 x 1，y 1这四种情况讨论这四种情况讨论nnnnyyyxxx1111=四、小结：四、小结：1、两个公式：、两