选修4-5绝对值不等式教学设计

1、选修4-5绝对值不等式教学设计海南侨中 苏松廉教学目的及高考要求1 .理解不等式la | - | b | w|a+b | <|a | + | b |*2 掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不 等式；知识点归纳1.解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方2 注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题|a| |ba+b| |a|+|b|;|a|a|bb|a|+|b|并指出等号条件3. (1)|f(x)|<g(x) g(x)<f(x)<g(x);(2) |f(x)|>g(x)f(x)>

2、;g(x)或 f(x)< g(x(无论 g(x)是否为正)(3) 含绝对值的不等式性质(双向不等式)a b a b a b左边在ab 0( 0)时取得等号，右边在 ab 0( 0)时取得等号题型讲解例1解不等式5x 12 x分析：不等式 x a x a或xa, x a a x a (其中a 0)可以推广为任意a R都成立，且a为代数式也成立解：原不等式又化为5x 12 x或 5x 1(2 x)解之得x 1或x-64原不等式的解集为XX 1或X 264点评：可利用f (x) g(x)f (x) g(x)或 f(x)g(x), f (x) g(x)g(x) f(x) g(x)9去掉绝对值符号

3、例2求证：不等式_a_bl同lb_1 |a b 1 H 1 |b|证法一 ：1当a b 0时,显然成立；a b 11 ib1 a b 1_ 11_ 1 al lba ba |b|ial 世1 la lb 1 |a| |b| 1 |a| 1 |b|原不等式成立证法二：利用分式不等式性质：若0 a b, m 0,则-_mb b m1当a b0时,显然成立；2当a b 0时,Q a b| |a b I- 耳斗卑综上(1)，1 |a| |b|1 |a| |b|1 |a|1 |b|(2 )得 _a_b_ _a_ _b_1 |a| |b| 1 la 1 |b| 例3若f(x)1 x2,且a,b为互异实数，

4、求证：f(a) f (b) | a b分析1：欲证f (a) f(b)|a b成立, 只要证f(aa :1成立.证法-Q f(a) f(b)a b( a2 1、b2 1)1 a b lba2 1b2 12 ab2lJa2 1 Jb2 1laIblf(b),进行分子有理化，也易得证|a2 b2b2 1).a2 1b2 1a b ( a2 1 f(a) f(b)分析2:直接把f (a) - al,f (b) - b1代入f证法二：|f(a) f(b)Ja2 1 Jb2 1a b a ba b|所以，原命题得证证法三:欲证f (a) f (b) a b成立,只要证1 Jb2 1 a b只要证 1 a

5、21 b2 2、a21 b21 a2 2ab b2现证.a21 b211 ab当1 ab 0时,显然成立，当 1 ab 0 时,只要证 1 a2 b2 a2b21 2ab a2b2即a2 b2 2ab,而此式成立，原不等式成立.证法四：欲证f(a) f(b) a b成立,只要证 碍1 品1 a b只要证 1 a21 b2 2、a21b21 a2 2abb2只要证明、a2 1 b2 11 abQ . (a2 1)(b21) 1a2b2a2b2、. 1 2aba2b21 a1 abQa b ,(a2 1)(b2 1) 1 ab,原不等式成立例4设f(x) x2 bx c(b,(为常数)，方程f(x

6、) x 0的两个实根为X|,x2,且满足捲0,X2为1.1 求证:b22(b 2c);2设0 t %，比较f (t)与x的大小;1,1时,对任意的x都有f (x)1,求证:1 b 2.2b 2b 1 4c,又 x23若当x解:1 Q方程f(x) x 0的两根为冷冷,因而有x2b2 2b 1 4c 1, b22(b2c).2 Q为是方程f (x) x 0的根,X1fX1 ,(tXj(t X1 b)(txj(tX2),Q x, x21 b,Q 0 t x, tx-i0,又 x2X20,t 1 x?x1 1 x20,故f tx10f(0)1,1时恒有f (x)1, f(1) |11,1,从而1 b

7、1例5已知a1,函数f (x)ax2a(1),求证：f (x)证明:1,xf(x)2 ax2a(x 1) x a(x1)例6 求证：.(a4 b4) (a2 b2) a3 b3证明：令 m (a2, b2), n (a, b)m 4 |n Va2b2, m n a3 b3m nm|n) (a4 b4) (a2 b2) a3 b3例 7 a, b R 证明 |a + b|a b| < 2|b|l(a b) (a b)| |a b| |a b|la b| |a b| |2b|2|b|例 8 解不等式 |x+3| |x 3|>3解法一：分区间去绝对值(零点分段法):|x+3|-|x3|&

8、gt;3x3(1)x< 3;|(x3) (x 3)| 33x33/2<x 3 或一3 x< 3/2|(x3)(x 3)| 3x 3x>36 3原不等式的解为x< 3/2或x>3/2解法二：用平方法脱去绝对值:两边平方：(|x+3| |x 一>9,即 2x2+9>2|x2 9|; 两边再平方分解因式得：x2>9/4 x< 3/2或x>3/2解：.jx2 3|x|1 x2 3|x|132|x|x| 3|x|40|x|23|x|2|0|x例9解不等式|x2 3|x| 13|43172原不等式的解是:3.1723 一 172点评：本题由

9、于运用了x R时，x2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论例10求使不等式|x 4|+|x 3|有解的a的取值范围解：设 f(x)= |x 4|+|x 3|,要使f(x)<a有解，则a应该大于f(x)的最小值，由三角不等式得：f(x)=|x 4|+|x 仕3卄4) (x 3)1=1,所以f(x)的最小值为1,/ a>1点评：本题对条件进行转化，变为最值问题，从而简化了讨论 小结：1.理解绝对值不等式的定义，掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的 定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题2 .解绝对值不等式的基本途径是去掉绝对值符号，常用的方法是：(1)分类讨论；(2)平方

10、；(3)利用绝对值不等式的性质，如a b a b ;- 理 bO;a b a b a b 等blbl3.证明绝对值不等式的基本思想和基本方法分别是转化思想和比较法，分析法，换元 法，综合法，放缩法，反证法等等学生练习1 .不等式1x13的解集为( )A.0,2 B.2,0(2,4) C.4,0 D.4, 2(0,2)答案：D2 .不等式|x 4| + |x 3|<a有解的充要条件是()Aa>7 B a>1 C a<1 D a> 1答案：B提示：代数式|x 4| + | x 3|表示数轴上的点到(4, 0)与(3, 0)两点的距离和， 最小值为1,.当a>1时，不等式有解x 23 .若 A=x| | x 1|<2, B=x|>0,则 AP B=()xAx| 1<x<3Bx| x<0 或x>2Cx| 1<x<0 或2<x<3 Dx|1<x<0答案：C提示：A=x|1<x<3,B=x|x>2 或 x<0, AH*x| 1<x<0 或2<x<34 .不等式1 w 1 £ w 2的解