函数的单调性及其极值课件

1、一、函数单调性的充分条件第三章导数的应用第三章导数的应用第二节函数的单调性及其极值第二节函数的单调性及其极值二、函数的极值及其求法 函数函数y= =f(x)的图象有时上升的图象有时上升, , 有时下降有时下降. . 如何判断函如何判断函数的图象在什么范围内是上升的数的图象在什么范围内是上升的, , 在什么范围内是下降在什么范围内是下降的呢？的呢？一、函数单调性判别法一、函数单调性判别法函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少观察结果观察结果 函数单调增加时导数大于零函数单调增加时导数大于零, , 函数单调减少时导数函数单调减少时导数小于零小于零. . 观察与思考观察与思考 函数的单调性

2、与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 定理定理 1设函数设函数 y = f (x) 在区间在区间a,ba,b上连上连续，在续，在 ( (a, b) ) 内可导内可导( (1) )若当若当 x ( (a, b) )时时，f (x) 0， 则则 f (x) 在在( (a, b) )内内单调递增单调递增； ( (2) )若当若当 x ( (a, b) )时时， f (x) f (x)，则称则称 f (x0) 为函数为函数 f (x) 的极大值的极大值，x0 称为称为 f (x) 的极大值点的极大值点；( (2) ) f (x0) 0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f

3、 (x0)为为极小值极小值；( (2) )当当 f (x0) 0，x ( ( 1, 1) )时，时，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的递增区间，的递增区间， (- (-1, , 1) )是是 f (x) 的递减区间的递减区间. .为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：为如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)其中箭头其中箭头 ， 分别分表示函数在指定区间递增和分别分表示函数在指定区间递增和递减递减. .例2解.2024

4、3)(23的极值求出函数=xxxxf2463)(2=xxxf，令0)(= xf. 2, 421=xx得驻点)2)(4(3=xx, 66)(= xxf= )4(f, 018)4(f故极大值,60= )2(f, 018 )2(f故极小值.48=Mm例例 3求函数求函数 f (x) = (x - - 1)2 (x - - 2)3 的极值的极值.解解( (1) )定义域为定义域为 (- - ,+,+ ).f (x) = (x - - 1) (x - - 2)2 (5x - - 7).所以由所以由 f (x) = 0 可得可得 f (x) 的三个驻点：的三个驻点：, 2,57, 1= = = =xxx该

5、函数在定义区间内无不可导的点，该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义上述驻点将定义区间分为四个子区间区间分为四个子区间)., 2( ,2,57 ,57, 1 ),1,( ( (2) ) 当当 x (- - , 1)时，时， f (x) 0；, 57, 1时时当当 x,2,57时时当当 xf (x) 0； 当当 x (2, + + ) 时，时， f (x) 0. 因此，由定理因此，由定理 3 可知，可知， x = 1 为极为极大值点，大值点，,57为为极极小小值值点点= =x x = 2 不是极值点不是极值点( (因为在因为在 x = 2 的两侧的两侧 f (x) 同为正号同为正号)

6、).; 0)( xf( (3) )计算极值计算极值极大值极大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，.31251083257215757 = = = = f极极小小值值有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：x(-(- , 1) )f (x)1 57, 157 2,572( (2, + + ) )+ +0- -0+ +0+ +f (x)极大值极大值03125108 极小值极小值无极值无极值例例 4求函数求函数 f (x) = x4 10 x2 + + 5 的极值的极值.因为因为解解( (1) )定义域为定义域为 (- - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点.5, 0,5= = = = =xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 = = f; 020)0( = = f. 020)5(12)5(2 = = f由定理由定理 4 可知：可知：，为极小值点为极小值点和和 55= = = =xx.0为极大值点为极大值点= =x( (2) )因为因为 f (x) = 12x2 20，(