几个常用函数的导数(10)课件

1、一、复习一、复习1.导数的导数的几何几何意义：曲线在某点处的切线的斜率意义：曲线在某点处的切线的斜率; 物理物理意义：物体在某一时刻的瞬时速度。意义：物体在某一时刻的瞬时速度。2.2.求求函数函数y=f(x)的导数的基本步骤的导数的基本步骤: :00()()f xxf xyxx给定函数给定函数y=f(x)令当令当x x无限趋近于无限趋近于0 0无限趋近于无限趋近于yxyy3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函这也是求函数在点数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )

2、()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是就是曲线曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得，得到曲线在点到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。0()fx（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即即000( )( )().y f xf x x x1.求函数y=f(x)=c的导数。0)()(xccxxfxxfxy因为00limlim00 xxxyy

3、所以0 ()CC 公式一：为常数物理意义：物理意义： 若若yc表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即，即 一直处于静止状态一直处于静止状态.几何意义：常数函数在任何一点处的切线都平行于几何意义：常数函数在任何一点处的切线都平行于x轴。轴。y=cyxO1)()(xxxxxxfxxfxy因为11limlim00 xxxyy所以2.求函数y=f(x)=x的导数1x 公式二： 物理意义：若物理意义：若yx表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则 y1 可以解释为某物体的瞬时速度为可以解释为某物体的瞬时

4、速度为1的匀速运动的匀速运动. 几何意义：表示几何意义：表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为图象上每一点处的切线斜率都为1y=xyxO探究？探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？个增加得最慢？(3)函数函数y=kx(k0)增（减）的快慢与什么有关增（减）的快慢与什么有关？在同一平面直角坐标系中，在同一平面直角坐标系中，画出画出y=2x,y=3x,y=4x的的图象，并根据导数定义，图象，并根据导数定义，求它们的导数求它们的导数。探探 究：究：在同一平面直角坐

5、标系中画出在同一平面直角坐标系中画出函数函数y2x， y3x，y4x的图象，并的图象，并根据定义，求出它们的导数根据定义，求出它们的导数.xyO123456781234xy2 xy3 xy4 从图象上看，它们的导数分别表示什么？从图象上看，它们的导数分别表示什么？这三个函数中，哪一个增加得最这三个函数中，哪一个增加得最 快？哪一个增加得最慢？快？哪一个增加得最慢？ 直线的斜率直线的斜率. y = 4x增加得最快，增加得最快， y = 2x增加得最慢增加得最慢.函数函数ykx (k)增的快慢与什么有关？增的快慢与什么有关？当当k0时时,导数越大导数越大,递增越快；递增越快；当当k0时时,导数越小

6、导数越小,递减越快递减越快.3.求函数y=f(x)=x2的导数4.求函数y = f(x) =- 的导数1x5.求函数y = f(x) = 的导数x动手试试：动手试试：xxxxxxfxxfxy22)()()(因为xxxxyyxx2)2(limlim00所以3.求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxxx2)(2222y=x2yxO22xx公式三：（ ） 几何意义：几何意义：y2x表示函数表示函数yx2图象上每点图象上每点(x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2x，说明随着，说明随着x的变化，切线的斜率的变化，切线的斜率也在变化：也在变化：(1)当当x0时，随着时，随着x的增加，的增加，yx

7、2增加得越来越快增加得越来越快. 物理意义：若物理意义：若yx2表示路程关于时间的函数，则表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬的瞬时速度为时速度为2x.22xx公式三：（ ）3.求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxfxxfxy11)()(因为22001)1(limlimxxxxxyyxx所以4.求函数y = f(x) =- 的导数1xxxxxxxxxxx21)()(211xx 公式四：（ ）画出函数画出函数 的图象的图象.根据图象根据图象,描述它的变化情况描述它的变化情况,并并求出曲线在点求出曲线在点(1,1)处的

8、切线方程处的切线方程.xy121-1-2-2-112xy求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线在点得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy f xxf xyxxxxxx 因为0011limlim2xxyyxxxxx 所以5.求函数y = f(x) = 的导数xxxxxxxxxx 12xx公式五：（）xxxx121.( )2.( ),3.( ),14.( ),5.( )yf xCyf x

9、xyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx0y ( )nf xx猜想:当时nRn-1公式：y =nx y =?12yx例例1 1：求下列函数的导数求下列函数的导数小结：小结：对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系对于简单函数的求导关键是学会合理转化关系式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结式，即求导过程中，可以根据函数的特征，将式子结构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选构适当调整，如根式，分式可转化为指数式，进而选择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解择合适的求导公式，以便可以直接利用公式求解.).2(,) 1 (3fxy求已知213333)(xxxy 解

10、解：12) 2 (3) 2 (2f312222)( xxxy解解：2722712) 3(2) 3(3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:小结：小结：利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减利用导数公式求函数在某点处的导数，大大减小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求小了运算量，而且对于原来用定义无法解决的函数求导也找到了一个新的思路。导也找到了一个新的思路。1.( ),(1)4,.af xxfa 已知且求实数课堂练习课堂练习)() 1 (5)(. 2fxf，则如果函数CA. 5 B. 1 C. 0 D.不存在不存在)()41,21( . 32处切线的倾斜角为在点曲线xy 45

11、.D 4.C 6.B 4.AC小结小结3.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题有关的较为综合性问题.1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用； (几个常用函数的导数及用导数定义求导数的方法步骤几个常用函数的导数及用导数定义求导数的方法步骤.) 注意：在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证注意：在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证 明，上述几个结论直接使用明，上述几个结论直接使用.2.几个常用函数的导数的物理意义和几何意义几个常用函数的导数的物理意义和几何意义.11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnx