二项式定理解题技巧

1、精心整理欢迎下载二项式定理1二项式定理：(a b)nCn0anCn1an 1bC nr an r brC nn bn (n N ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数C nr(r 0,1,2, , n) .项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第 r1 项 C nr a n r b r叫做二项式展开式的通项。用 Tr 1 Cnr an r br表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有( n 1) 项。顺序：注意正确选择 a , b , 其顺序不能更改。(a b)n 与 (ba)n 是不同的

2、。指数： a 的指数从 n 逐项减到 0，是降幂排列。 b 的指数从 0逐项减到 n ，是升幂排列。 各项的次数和等于 n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 , Cn1 , Cn2 , ,Cnr ,Cnn. 项的系数是 a 与 b的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 a1,bx,(1x) nC n0C n1 xCn2 x2C nr xrC nn x n ( nN )令 a1,bx,(1x)nC n0Cn1 xCn2 x2Cnr xr(1)n C nn x n (nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn ，

3、··· CnkCnk 1二项式系数和：令a b 1, 则二项式系数的和为C n0Cn1Cn2C nrCnn2n ，变形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a 1,b1，则 Cn0Cn1Cn2Cn3(1)n C nn(11)n0 ，从而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：精心整理欢迎下载(a x)nC0an x0C1a n 1x C2 an 2 x2C n a0 x na a x1ax2axnnnnn012n( x a)nC n0a0

4、 xnCn1ax n 1Cn2 a2 x n 2Cnn an x0an x na2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an( a 1)n得 , a0a2a4an( a1)n( a1)n (奇数项的系数和 )2得 , a1a3a5an( a1)n( a1)n(偶数项的系数和)2n 是偶数时，则中间一项的二项式系数n二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数Cn2 取得最大值。n1n 1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2 同时取得最大值。系数的最大项：求(abx )n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设

5、展开式中各项系数分别为 A1, A2, An 1，设第 r1 项系数最大，应有Ar1Ar，从而解出 r 来。ArAr126二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例： C n1Cn2 6 Cn3 62Cnn 6n 1.解： (1 6) nC n0Cn16Cn262Cn363C nn 6n 与已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62Cnn 6n 11 (C n1 6 Cn2 62Cnn 6n )61 (Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)1 (16) n11 (7 n1)666练： C n13C n29C n33n 1C nn.解：设 SnCn13Cn29Cn33n

6、1Cnn ，则3SnCn1 3 C n2 32Cn3 33Cnn 3nCn0C n1 3 C n2 32Cn3 33Cnn 3n1 (1 3)n1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式( 413 x2 ) n 的展开式中倒数第3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？x解：由条件知 Cnn 245，即 Cn245 ，n2n900 ，解得 n9(舍去 )或 n10 ，由精心整理欢迎下载C10r (x1210 r2 r10r2Tr 14 )10 r ( x 3 ) rC10r x43 ，由题意r 3, 解得 r6 ，43则含有 x3 的项是第7项T61

7、C106 x3210 x3, 系数为210。练：求 ( x21 )9 展开式中 x9的系数？2x1 ) rC9r x18 2r ( 1 )r x r1)r x18 3r ，令 18 3r解： Tr 1C9r (x2 )9 r (C9r (9 , 则 r 32x22故 x9 的系数为 C93 (1 )321 。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 (x21)10 的展开式中的常数项？2x解： Tr 1 C10r (x2 )10 r ( 1 )rC10r( 1 )r205 rx22 x2，令5，得，所以81 845202r 0r 8T9C10(2)256练：求二项式(2 x1) 6 的展

8、开式中的常数项？2x1)r ( 11)r C6r 26 r ( 1 )r x6解： Tr 1C6r (2 x) 6r ()r(2 r ，令 62 r 0，得 r3 ，所以 T4( 1)3C63202x2练：若 ( x21 )n 的二项展开式中第5项为常数项，则 n_.x解： T5C n4 (x2 )n 4 ( 1 )4C n4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x3 x )9 展开式中的有理项？1127 r解： Tr 1C9r (x 2 ) 9 r ( x3 )r( 1)r C9r x 6 ，令 27rZ ,( 0

9、r 9 ) 得 r3或 r9 ，6所以当 r3时， 27r4 ， T4 ( 1)3 C93 x484 x4 ，6当 r9时， 27r3，T10( 1)3 C 99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21) n 展开式中偶数项系数和为256 ，求 n .3x2解：设 (x21) n 展开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,3x2令 x1 , 则有 a0a1an0, ， 令 x1 , 则有 a0 a1a2a3( 1)n an2n , 精心整理欢迎下载将 - 得： 2(a1a3a5)2n ,a1 a3a52n1,有题意得，2n 125628 ，n9

10、 。练：若 (31512 ) n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。xx解： Cn0Cn2Cn4C n2 rC n1Cn3C n2 r 12n1 ，2n 11024 ，解得 n11Cn5 ( 31 )6(5 12 )5x 461所以中间两个项分别为n6, n7， T51462，T6 1 462x 15xx题型六：最大系数，最大项；例：已知 (12x) n ，若展开式中第5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最2大项的系数是多少？解： Cn4C n62Cn5 ,n221n980, 解出 n 7或n14，当 n7时，展开式中二项式系数最

11、大的项是T4和 T5T4的系数C73 (1)4 2335, ， T5的系数C74 (1)3 2470, 当 n14 时，展开式中二项式系数222最大的项是 T8 ， T8的系数C147(1)7 273432 。2练：在 ( ab) 2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2 nTn1 ，也就是第 n1项。12练：在 ( x1)n 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23 x解：只有第5 项的二项式最大，则n15 ，即n 8, 所以展开式中常数项为第七项等于61 22C8 (2) 7例：写出在 ( ab)

12、7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第 4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C 73 a4b3 的系数最小， T5C74 a3b4 系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求 (12x) n 的展开式中系数最大的项？2(1( 1)12 (1解：由 C n0Cn1Cn279, 解出 n12 , 假设 Tr 1项最大，2x)124x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1r10.4，又0r12 ， r10 ，展开式中系C12r 4r，化简得到 9.4Ar 1Ar 2C12r 1 4 r

13、1数最大的项为 T11 ,有 T11(1 )12 C1210 410 x1016896x102精心整理欢迎下载练：在 (12 x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr 1项最大，Tr1C10r 2r xrAr1ArC10r 2 rC10r1 2 r1解得2(11r )r，化简得到 6.3k7.3，又0r10 ，C10r 2 rC10r1 2 rAr1Ar21 ,r12(10r )r7 ，展开式中系数最大的项为T8C107 27 x715360 x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2)5 的展开式中 x 的一次项的系数？解法： ( x23x2) 5( x 22)3

14、x5， Tr1C5r ( x 22) 5r (3x)r，当且仅当 r1时， Tr 1的展开式中才有 x 的一次项，此时Tr1T2C51 ( x22) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C51C44 24 3x它的系数为 C51C 44 243240 。解法： ( x23x2) 5( x1)5 ( x2) 5(C50 x5C51x4C55 )(C50 x5C51x4 2C5525 )故展开式中含x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中 x 的系数为 240.练：求式子 ( x12) 3 的常数项？x解： ( x12) 3(x1)6 ，设第 r1项为常数项，则TrC

15、6r (1)r6 r( 1 )r( 1)6 C6r62r1xx，xxx得 6 2r 0 , r 3 ,T3 1( 1)3 C6320 .题型八：两个二项式相乘；例： 求(12 x)3 (1x) 4 展开式中 x2的系数 .解： (12x) 3的展开式的通项是C3m(2 x) mC3m2mxm,(1 x)4的展开式的通项是C4n ( x)nC 4n1n xn, 其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn2,则 m0且 n2, m 1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x)4的展开式中 x2的系数等于 C30 20 C42(1)2C3121C41( 1)1C3222C4

16、0 (1)06 .练： 求(13x )6 (141)10 展开式中的常数项 .x1mn4m 3n解：(1 3x )6 (1)10 展开式的通项为 C6m x 3 C10nx 4C6mC10n x124 x精心整理欢迎下载其中m0,1,2,6, n0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C60C100C63C104C66C1084246 .练： 已知(1xx2 )( x13 )n的展开式中没有常数项 ,nN*且 2n8,则n_.x解： (x1 )n 展开式的通项为 Cnrxnrx 3rCnrxn 4r , 通项分别与前面的三项相乘

17、可得x3Cnrxn 4r ,C nrxn4r1,C nrxn4 r2,展开式中不含常数项, 2n8n4r且 n4r1且 n4r2，即 n4,8且 n3,7 且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 在 ( x2) 2006的二项展开式中 , 含 x的奇次幂的项之和为S,当 x2时, S_.解： 设( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3x3a2006x2006 - 得 2(a1xa3 x3a5 x5a2005 x2005 )( x2) 2006( x2) 2006(x2) 2006

18、 展开式的奇次幂项之和为 S( x)1 ( x2) 2006( x2) 2006 23 2006当 x2时,S(2)122)2006(22)2006223008(222题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3x1) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若xps272 , 则 n 等于多少？解：若 (3 3x1 )na0a1 xa2 x2an xn ，有 Pa0a1an ， SCn0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps272 , 即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得2n16或 2n17(舍去 ) ，n4.n练：若3x1的展开式中各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少？x1n解：令 x1，则 3x的展开式中各项系数之和为2n64 ，所以 n6 ，则展开式的常数项为xC63(3x )3 (1)3540 .x精心整理欢迎下载例： 若(12x)2009a0a1x1a2 x2a3x3a2009 x2009( xR),则a1a2a2009的值为22220091 , 可得 a0a1a2a2009a1a2a20092解： 令x0,a022222200922222009在令 x 0可得 a01,因而 a1a2a20091.22222009练： 若 ( x2) 5a