向量数乘运算及其几何意义教案

1、 2.2.1向量加法运算及其几何意义教案 一、 教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质二、 重点与难点 重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量 难点：理解向量的加法法则及其几何意义三、 教法学法教法运用

2、了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法” 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式 四、 教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程基于此，我设定了5个教学环节：一、 创设情境 引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，首先，请看课件（出示）点评：无论是台球还是飞机，从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和 【问题1

3、】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？2 / 17两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点学生活动：学生讨论，自主探究点评：位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的向量那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？二、 实践探究 总结规律【问题2】如图所示，对于向量和如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报（1）.由他们自己得出问题的答案：“在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点”（2）.鼓励学生自己给出定义： 加法的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和记

4、作：即 （3）.向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何 中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征“观察小猴过河的动画短片”【问题3】平行四边形法则有何特点？ 是平移两个向量至共起点 【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切三、 类比联想 探究性质 【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论实数的加法向量的加法性质四、 数学运用 深化认识例1：如图，已知、，作出a

5、bbaab 设计意图学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性 ABCED例2：根据图示填空（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） 设计意图在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n个向量相加的形式即 向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。3.态度情感与价值观：通过由实例到概念

6、，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。难点：向量共线定理的探究及其应用。三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？ （二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】已知非零向量，作出和，你能说出他们的几何意义吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记

7、作： ，它的长度和方向规定如下：（1）（2）当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反。由（1）可知，当或时，练2.向量数乘的运算律【探究2】问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较。问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较。类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：设、为任意向量，、为任意实数，则有：结合律： 第一分配律：第二分配律： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量、及任意实数、,恒有。例5：计算(口答) (1) (2) (3) 3、向量共线定理【探究3】问题1：如果 (), 那么，向量与是否共线？问题2: 与非零向量共线， 那么，

8、？思考：1. 为什么要是非零向量？ 2. 可以是零向量吗？向量共线定理 ： 向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 例6.已知任意两非零向量、，试作, ，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？CEABD【变式练习】如图，已知、，试判断与是否共线? 思考：在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BCDE呢？总结: 证明 向量共线； 证明 三点共线: 两向量共线且有一个公共点若，即与共线且有一个公共点B，则A、B、C三点共线；直线AB直线CD。 证明 两直线平行: AB、CD 不重合空间向量立体几何知识点集锦一、空间向量的加法和减法：求两个向量差的

9、运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作，则求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则二、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为的长度是的长度的倍三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使五、平行于同一个平面的向量称为共面向量六、向量共面定理：空间一

10、点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任一定点，有；或若四点，共面，则七、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，则称为向量，的夹角，记作两个向量夹角的取值范围是：八、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作九、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作即零向量与任何向量的数量积为十、等于的长度与在的方向上的投影的乘积十一、若，为非零向量，为单位向量，则有；，；十二、空间向量基本定理：若三个向量，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得十三、若三个向量，不共面，则所有空间向量组成的集合是这个集合可看作是由向量，生成的，称为空间的一个基底，称为基向量空间任意三个不共面的向量

11、都可以构成空间的一个基底十四、设，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，的公共起点为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量存在有序实数组，使得把，称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标十五、设，则若、为非零向量，则若，则，则十六、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点十七、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置十八、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量十九、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，则，二十、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则，二十一、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，则，二十二、设异面直线，的夹角为，方向向量为，其夹角为，则有二十三、设直线的方向向