初中一次函数典型应用题

1、次函数用题近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。例1已知雅美服装厂现有 A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布 料生产M, N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要 A种布料米， B种布料米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要 A种布料米，B种布料米， 可获利润 50 元。若设生产 N 种型号的时装套数为x ，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为 y 元。（ 1 ）求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量的取值

2、范围；（ 2 ）雅美服装厂在生产这批服装中，当 N 型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？例 2 某市电话的月租费是20 元，可打 60 次免费电话（每次3 分钟） ，超过 60次后，超过部分每次元。（ 1 ）写出每月电话费 y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（ 2 ）分别求出月通话50 次、 100 次的电话费；（ 3）如果某月的电话费是元，求该月通话的次数。例 3 荆门火车货运站现有甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、 B 两种不同规格的货厢 50 节，已知用一节A型货厢的运费是万元，用一节B型货厢的运费是

3、万元。（1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A型货厢的节数为x （节），试写出 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2 ）已知甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，可装满一节A 型货厢，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A、 B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。（ 3） 利用函数的性质说明， 在这些方案中， 哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？例 4 某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件 A种产品，需用甲种原料 9千克、 乙种原料3千克，可获利润700

4、元；生产一件B种产品，需用甲种原料 4千克、 乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元。（ 1 ） 按要求安排A、 B 两种产品的生产件数， 有哪几种方案？请你设计出来；（ 2）设生产A、 B 两种产品获总利润为 y （元） ，生产 A 种产品 x 件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润 最大？最大利润是多少？例 5 某地上年度电价为元，年用电量为 1 亿度。本年计划将电价调至元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y （亿度）与（x 0.4）（元）成反比例，又当x =时，y=。（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为元

5、，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?收益=用电量X （实际电价 一成本价）例6为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费元并加收元的城市污水处理费， 超过7立方米 的部分每立方米收费元并加收元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x （立方米），应交水费为y （元）（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关 系式；（2）如果某单位共有用户 50户，某月共交水费元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过 7立方米的用户最多可能有多少户？例7辽南素以“苹果之乡”着称，某乡组织 20

6、辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1）设用x辆车装运a种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式，并求 x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为 W（百元），求W与x的函数关系式以及最大 利润，并安排相应的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽车运载量（吨）2每吨苹果获利 （百元）685解：（1）由题意得：2行 2.1y 2（20 x y） 42化简得：y 2x 20当 y=0 时，x = 101< x v 10答：y与x之间的函数关系式为：y 2x 20 ；自变量x的取值范围是：1vx V 10

7、的整数。由题意得：W 2.2 6x 2.1 8y 2 5 （20 x y）= 3.2x 6,8y 200=3.2x 6.8（ 2x 20） 200=10.4x 336 W与x之间的函数关系式为：y= 10.4x 336W随x的增大而减小二当x = 2时，W有最大值，最大值为：W最大值104 2 336 =（百元）当 x=2 时，y 2x 20 =16, 20 x y=2答：为了获得最大利润，应安排 2辆车运输A种苹果，16辆车运 输B种苹果，2辆车运输C种苹果。同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方 法吗？小结：确定函数解析式，求函数值次确定自变量取值范围实印问题数

8、学问题方案设计：利用不等式或不等函式组及题意方案决策：数最优方案：利用一次函数的性应用题例析一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考一、图象型 例1 （2003年广西）在抗击“非5典”中，某医药研究所开发了一种预一3防“非典”的药品.经试验这种药品21,5的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至 8小时时血液中含药量为每毫升微克每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后:(1)分别求出x<1, x>l

9、时y与x之间的函数关系式;(2)如果每毫升血液中含药量为 2微克或2微克以上，对预防“非典”是 有效的，那么这个有效时间为多少小时？解析 本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条 线段组成的折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合(1)当 x< 1 时，设 y=kix.将(1 , 5)代入，得 ki=5.,.y=5x.kb=H当x>1时，设y=k2x+b.以(1 , 5) , (8 ,代入，得匚 亍，* 112(2)以 y=2 代入 y=5x，得 5 ;11以y=2代入¥=一亍裂，亍，得

10、x2=7.-23-1 = 7- -=6- .故这个有效时间为§小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用 二、预测型例2 (2002年辽宁省)随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000 人?年份(x)200020012002入学儿童人数(y)252023302140解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较k好地描述该地区入

11、学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设(k >0),在三点(2000, 2520), (2001, 2330), (2002, 2140)中任选一点确定 k 值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋 势，从而选用一次函数.(1)设y=kx+b (k 乎 0),将(2000, 2520)、(2001 , 2330)代入，得故 y=-190x+382520.又因为 y=-190x+382520 过点 (2002 ， 2140) ， 所以 y=-190x+382520 能较好地描述这一变化趋势.所求函数关系式为 y=-190x+382520.（2） 设 x

12、年时，入学儿童人数为 1000人，由题意得-190x+382520=1000.解得 x=2008. 所以，从 2008 年起入学儿童人数不超过1000 人 .注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确 . 本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.三、决策型例 3 （2003 年甘肃省 ） 某工厂生产某种产品， 每件产品的出厂价为 1 万元，其原材料成本价（ 含设备损耗等） 为万元， 同时在生产过程中平均每生产一件产品有 1 吨的废渣产生. 为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理 . 现有两种方案可供选择.方案一： 由工厂对废渣直接进行处理， 每处理 1 吨废渣所用的原料费

13、为万元，并且每月设备维护及损耗费为 20 万元 .方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理. 每处理 1 吨废渣需付万元的处理费 .（1） 设工厂每月生产 x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时， y 与 x 之间的函数关系式 （ 利润=总收入- 总支出 ） ；(2) 如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.解析 先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.(1)y 1= ；y2=(2)若 yi>y2,则>，解得 x>400；若y产y2,则=,解得x=400;若 yyy2,则v,

14、解得 xv 400.故当月生产量大于 400 件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于 400 件时， 两种方案利润一样； 当月生产量小于400 件时， 选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更合理.四、最值型例 4 (2003 年江苏省扬州市) 杨嫂在再就业中心的支持下， 创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息 .买进每份元，卖出每份元；一个月(以30天计)内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天 只能卖出120份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸, 以每份元退

15、回给报社.(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润(单位：元)(2)设每天从报社买进这种晚报 x份(120&X0200)时，月利润为y元，试 求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值.解析(1)由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元；当一个月内每天买进 150份时，有20天可以全部卖完，其余10 天每天可卖出120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为390元.(2)由题意知，当120& x<200时，全部卖出的20天可获利润：20元)；其余10天每天卖出120份，剩下(x-120)份退回报社，10天可获利润：10=-x+240（元）.月利润为y=2x-x+240=x+240(120Wx0200).由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440(元).注：对于一次函数y=kx+b,当自变量x在某个范围内取值时，函数值 y 可取最大(或最小)值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最 大”等方面的问题.五、学科结合型例5 (2002年南京市)声音在空气中传播的速度 y(m/s)(简称音速)是气温 x(C)的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：1 -气温x( C