高考二轮复习文科数学专题七3第三讲推理与证明

1、高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）专题七概率与统计、推理与证专题七概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数明、算法初步、框图、复数 第三讲推理与证第三讲推理与证明明高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）考点整合考点整合高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）合情推理问题合情推理问题考纲点击考纲点击 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发展中的作用。高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）基础梳理基础梳理 一、合情推理一、合情推理 1归纳推理 (1)归纳推理是由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出_的推

2、理 (2)归纳推理的思维过程如下： 2类比推理 (1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 (2)类比推理的思维过程如下：实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 答案：答案：1.(1)部分对象全部对象一般结论高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）整合训练整合训练 1(1)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_”，这个类比命题的真假性是_ (2)(2010年福建卷)对于平面上的点集，如

3、果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)： 其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号)高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）答案：答案：(1)夹在两个平行平面之间的平行线段相等真命题(2)高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）考纲点击考纲点击演绎推理问题演绎推理问题 1了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本形式，并能运用它们进行一些简单推理 2了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）基础梳理基础梳理 二、演绎推理二、演绎推理 1“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的

4、一般性原理 (2)小前提所研究的特殊情况 (3)结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断 2合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）整合训练整合训练 2有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a，的结论显然是错误的，这是因为()

5、 a大前提错误 b小前提错误 c推理形式错误 d非以上错误答案：答案：a高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）考纲点击考纲点击直接证明问题直接证明问题 了解直接证明和两种方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）基础梳理基础梳理 三、直接证明三、直接证明 1综合法 用p表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 2分析法 用q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：p q1q1 q2q p1q2 q3qn qp1 p2p2 p3得到一个明显成立的条件高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）整合训

6、练整合训练 3(2010年湖北卷)记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn最小数为minx1，x2，xn已知abc的三边边长为a、b、c(abc)，定义它的倾斜度为l 则“l1”是“abc为等边三解形”的() a充分而不必要的条件 b必要而不充分的条件 c充要条件 d既不充分也不必要的条件答案：答案：bmaxab，bc，caminab，bc，ca， 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）考纲点击考纲点击间接证明问题间接证明问题1了解间接证明的一种基本方法反证法2了解反证法的思考过程、特点高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）基础梳理基础梳理 四、间接证明四、间接证明 反证法

7、的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如下图所示的框图表示表示条件p否定结论q导致逻辑矛盾“既p又 q”为假“若p则q”为真高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）整合训练整合训练4. 用反证法证“至多有两个解”，应假设()a有一个解 b有两个解c至少有三个解 d至少有两个解答案：答案：c 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）高分突破高分突破高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）合情推理合情推理 观察下列等式：?ni1i12n212n， ?ni1i213n312n

8、216n， ?ni1i314n412n314n2， ?ni1i415n512n413n3130n， ?ni1i516n612n5512n4112n2， ?ni1i617n712n612n516n3142n， 1nii21nii31nii41nii51nii61nii高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）?ni1ikak1nk1aknkak1nk1ak2nk2a1na0， 可以推测，当k2(kn*)时， ak11k1，ak12，ak1_，ak2_. 思路点拨：思路点拨：当k2、3、4、5、6时，写出ak1，ak2的值，通过观察归纳可得1nkii高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）解析：当

9、k2 时，a116212，a00； 当 k3 时，a214312，a10； 当 k4 时，a313412，a20； 当 k5 时，a4512，a30； 当 k6 时，a512612，a40； 由此可得：ak1k12，ak20. 答案：k12 0 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）跟踪训练跟踪训练 1我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值()32a， a.63a b.64a c.33a d.34a 答案：答案：a高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）演绎推理演绎推理 已知数列an中，a11，a22

10、，且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)设bnan1an(nn*)，证明bn是等比数列； (2)求数列an的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nn*，an是an3与an6的等差中项 思路点拨：思路点拨：解答本题第(1)问可根据bnan1an(nn*)将已知等式变形构造出bn与bn1的关系式第(2)问可用叠加法求an，第(3)问先由a3是a6与a9的等差中项求出q，并利用an的通项公式和q的值，推证anan3an6an(nn*)高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 解析：解析：(1)证明：由题设an1(1q)anqan-1(n2)， 得an

11、1anq(anan1)， 即bnqbn1(n2) 又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列 (2)由(1)， a2a11， a3a2q， anan1qn2(n2) 将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）所以当n2时，an 11qn11q，q1n，q1， 上式对n1显然成立 (3)由(2)，当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1， 由a3a6a9a3可得q5q2q2q8， 由q0得，q311q6 整理得(q3)2q320， 解得q32或q31(舍去)，于是q ， 另一方面，32 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文

12、科）anan3qn2qn11qqn11q(q31)， an6anqn1qn51qqn11q(1q6)， 由可得anan3an6an，nn*，所以对任意的nn*，an是an3与an6的等差中项高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）跟踪训练跟踪训练2在数列an中a12，an14an3n1，nn*.(1)证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和sn；(3)证明不等式sn14sn，对任意nn*皆成立解析：解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nn*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公

13、式为an4n1n.所以数列an的前n项和 sn4n13nn12. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）(3)对任意的nn*，所以不等式sn14sn，对任意nn*皆成立sn14sn4n113n1n2244n13nn1212(3n2n4)0. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）直接证明与间接证明直接证明与间接证明 已知数列an和bn满足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数 (1)对任意实数，证明数列an不是等比数列； (2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论 思路点拨：思路点拨：(1)第1问用反证法；(2)第2问用综合法 解析：解析：(1)证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有 a1a3，即 a22 2332494 ?492494924 90，矛盾，所以an不是等比数列(2)因为bn1(1)n1an13(n1)2123 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科）(1)n123an2n14 23(1)n(an3n21) 23bn. 又b1(18)，所以当18时，bn0(nn*)，此时bn不是等比数列；当18时，b1(18)0，由bn1 bn，可知bn0，所以 (nn*)故当18时，数列bn是以(18)为首项