利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

1、编辑ppt13.5 3.5 利用柱面坐标和球面坐标利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结三、小结编辑ppt2,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr编辑ppt3 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与

2、直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo编辑ppt4 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 编辑ppt5例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222,

3、 3, 1 rz知交线为知交线为编辑ppt6 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，编辑ppt7例例计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 编辑ppt8:2D, 422yx.222020:22 zrr:1D,1622yx

4、,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D编辑ppt9,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd编辑ppt10二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标就叫做点，个数面上的投影，这样的三在为点的角，这里转到有向线段轴按逆时针方向轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点为原点定，其中来确，可用三个有次

5、序的数为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),(Pxyzo),(zyxMr zyxA编辑ppt11,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面编辑ppt12 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则编辑ppt13 dxdydzzy

6、xf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，编辑ppt14例例 3 3 计算计算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是锥面锥面222zyx ， 与与平面平面az )0( a所围的立体所围的立体.az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar编辑ppt15 dxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 编辑ppt16例例

7、4 4 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar编辑ppt17由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 编辑ppt18解法（一）解法（一）;20 ,40 ,20:1rV;sincos0 ,24,20:22rV编辑ppt19在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影区区域域

8、 xyD：222222010)2sin1 ()sin(cos2rrdzrzrzrdrdI).89290(60 解法（二）解法（二）(类似于例类似于例1)编辑ppt20补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍.奇偶性奇偶性编辑ppt21解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz编辑p