通信原理中傅里叶级数PPT课件

1、一、三角级数及三角函数系的正交一、三角级数及三角函数系的正交性性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.第1页/共29页xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsin

2、0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 第2页/共29页上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 第3页/共29页二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sinc

3、os(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证: 由定理条件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,对在逐项积分, 得第4页/共29页xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsincosxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得第5页/共29页叶系数

4、为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf 第6页/共29页定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnx

5、bnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,( 证明略证明略 )为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意: 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.第7页/共29页例例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里里叶级数. oyx11第8页/共29页xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos

6、1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx第9页/共29页),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.第10页/共29页xoy例例2.上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1

7、xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 第11页/共29页), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0第12页/共29页, )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅

8、里里叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它第13页/共29页例例3. 将函数xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , 第14页/共29页x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10

9、)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n说明说明:第15页/共29页42,421312242设,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222第16页/共29页三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,),2,1

10、,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为第17页/共29页例例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn第18页/共29页n1根据收敛定理

11、可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情况见右图.n5第19页/共29页例例5. 将周期函数tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu第20页/共29页t 2cos310d) 1sin()

12、1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(tu)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412第21页/共29页2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf第22页/共29页1xyo例例6. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级数

13、与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k第23页/共29页nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第24页/共29页再求余弦级数.x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42k