期末复习计部分

1、考试题型及题量考试题型及题量二、选择（二、选择（52分）分）三、计算题；四、应用题（三、计算题；四、应用题（79分）分）一、填空（一、填空（102分）分） 五、证明题（五、证明题（17分）分）三、计算题；四、应用题（三、计算题；四、应用题（79分）分）1.概率计算（全概率、贝叶斯、条件概率公式）概率计算（全概率、贝叶斯、条件概率公式）2.一元分布函数与分布率、密度函数的关系（求参一元分布函数与分布率、密度函数的关系（求参数、求分布函数或密度函数、求概率）数、求分布函数或密度函数、求概率）6.假设检验假设检验3.二元离散或连续分布（求参数、边缘分布、期望、二元离散或连续分布（求参数、边缘分布、期

2、望、协方差、相关系数，判断独立性等）协方差、相关系数，判断独立性等）5.中心极限定理中心极限定理4.最大似然估计最大似然估计7.常见分布的应用常见分布的应用第四章第四章 统计估计方法统计估计方法基本概念、抽样分布基本概念、抽样分布二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(1) 正态总体某些常用统计量的分布正态总体某些常用统计量的分布.2.难点难点(1) 几个常用统计量的构造几个常用统计量的构造.(2) 临界值的查表计算临界值的查表计算.(2) 标准正态分布和标准正态分布和f分布临界值的查表计算分布临界值的查表计算.总总

3、 体体个个 体体样本样本常用统计量的分常用统计量的分布布分位点分位点二、主要内容二、主要内容统计量统计量常用统计量常用统计量性质性质关于样本和方差的定关于样本和方差的定理理 t 分布分布 f 分布分布 分布分布2 关于样本和方差的定关于样本和方差的定理理总体总体试验的全部可能的观察值称为总体试验的全部可能的观察值称为总体. .个体个体总体中的每个可能观察值称为个体总体中的每个可能观察值称为个体. .样本样本.,)(,2121简称样本简称样本随机样本随机样本的简单的简单得到的容量为得到的容量为、或总体、或总体或总体或总体为从分布函数为从分布函数则称则称随机变量随机变量、相互独立的、相互独立的是具

4、有同一分布函数是具有同一分布函数若若的随机变量的随机变量是具有分布函数是具有分布函数设设nxffxxxfxxxfxnn统计量统计量.),( ,),(,21212121计量计量是一个统是一个统则称则称不含未知参数不含未知参数中中若若的函数的函数是是的一个样本的一个样本是来自总体是来自总体设设nnnnxxxggxxxxxxgxxxx常用统计量常用统计量(1)样本平均值样本平均值:.11 niixnx(2)样本方差样本方差: niixxns122)(11.11122 niixnxn(3)样本标准差样本标准差: .11122 niixxnss常用统计量常用统计量(4)样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩

5、:., 2, 1,11 kxnanikik(5)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩:., 3, 2,)(11 kxxnbnikik常用统计量的分布常用统计量的分布( (一一) )分布分布2 ).(,)1, 0(,22222221221nnxxxnxxxnn 记为记为分布分布的的由度为由度为服从自服从自则称统计量则称统计量本本的样的样是来自总体是来自总体设设 分布的性质分布的性质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 性质性质2.2)(,)(),(2222ndnen 则则若若)(2分布的数学期望和方差分

6、布的数学期望和方差 常用统计量的分布常用统计量的分布( (二二) )分布分布t).(,/,),(),1, 0(2ntttnnyxtyxnynx记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(student)分布分布.常用统计量的分布常用统计量的分布( (三三) )分布分布f).,(,),(/,),(),(2121212212nnfffnnnvnufvunvnu记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点分布的分位点分布的分位点 2 .

7、)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnpn .)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttpnt 分布的分位点分布的分位点 t常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点分布的分位点分布的分位点f.),(),(d)(),(, 10,2121),(2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnfnnfyynnffpnnf :分位点具有如下性质分位点具有

8、如下性质分布的上分布的上 f.),(1),(12211nnfnnf 常用统计量的分布的分位点常用统计量的分布的分位点关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理定理一定理一)./,(, ,),(,2221nnxxnxxxn 则有则有是样本均值是样本均值的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设定理二定理二.(2);1()1(1),),(,22222221独立独立与与则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本的样本的样本是总体是总体设设sxnsnsxnxxxn ).1(/,),(,2221 ntnsxsxnxxxn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均

9、值和样本样本样本的的是总体是总体设设定理三定理三关于正态总体的样本和方差的定理关于正态总体的样本和方差的定理则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方值值分别是这两个样本的均分别是这两个样本的均设设且这两个样本互相独立且这两个样本互相独立的样本的样本总体总体具有相同方差的两正态具有相同方差的两正态分别是分别是与与设设,)(11,)(11,1,1,),(, ),(,2121211222212121121122212121 niiniiniiniinnyynsxxnsynyxnxnnyyyxxx 定理四定理四, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnfss

10、.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwssnnsnsnsnntnnsyx 其中其中 三、典型例题三、典型例题. , )()( , ),( , )1 , 0( 226542321621分布分布服从服从使得使得试决定常数试决定常数的简单随机样本的简单随机样本体体为来自总为来自总服从服从设设 cycxxxxxxyxxxxnx 例例解解根据正态分布的性质根据正态分布的性质,),3 , 0(321nxxx ),3 , 0(654nxxx ),1 , 0(3 321nxxx 则则),1 , 0(3654nxxx ),1(3 22321 xxx故故),1(3 2265

11、4 xxx , , 2621分布的可加性分布的可加性相互独立及相互独立及因为因为 xxx2654232133 xxxxxx)()(3126542321xxxxxx ),2(2 . ,312分布分布服从服从所以所以 cyc .2)(12)2(;2)(12)1( , ),( 16 ),( 2122212216212 niiniixxnpxnpxxxnnx求概率求概率的样本的样本量为量为从此总体中取一个容从此总体中取一个容设总体设总体解解 , , (1)1621是来自正态总体的样本是来自正态总体的样本因为因为xxx),()(1 2122nxnii 所以所以例例 21222)(12 niixnp于是于

12、是 32)(1816122iixp 32)16(82 p8)16(32)16(22 pp8)16(132)16(122 pp;94. 0 ),1()(1 (2)2122 nxxnii 因为因为 21222)(12 niixxnp于是于是 32)(1816122iixxp 32)15(82 p32)15(8)15(22 pp.98. 0 备备 用用 例例 题题p229：5、7第四章第四章 统计估计方法统计估计方法点估计、区间估计点估计、区间估计二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点最大似然估计最大似然估计.一个正态总体

13、参数的区间估计一个正态总体参数的区间估计.2.难点难点显著性水平显著性水平 与置信区间与置信区间. 矩估计量矩估计量估计量的评估计量的评选选二、主要内容二、主要内容最大似然估最大似然估计量计量似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间与上间与上下限下限有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间的求置信区间的步骤步骤相合性相合性矩估计量矩估计量 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩, ,用样本矩的连续用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数函数来估计总体矩的连续函数, ,这种估计法称这种估计法称为为矩估计法矩估计法.矩估计法的具体做法矩估计法的

14、具体做法:, 2, 1,klall 令令,21的方程组的方程组个未知参数个未知参数这是一个包含这是一个包含kk .,21k 解出其中解出其中.,2121量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解kk 最大似然估计量最大似然估计量)(,21 lxxxn选取使似然函数选取使似然函数时时得到样本值得到样本值,的估计值的估计值作为未知参数作为未知参数取得最大值的取得最大值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxlxxxl 即即)(可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 记为记为有关有关与样本值与样本值

15、这样得到的这样得到的),(21nxxx , 的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数 . 的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 似然函数似然函数属离散型属离散型设总体设总体 x. 1 ),;();,()(121niinxpxxxll.)(称为样本似然函数称为样本似然函数 l属连续型属连续型设总体设总体 x. 2),;();,()(121 niinxfxxxll.)(称为样本的似然函数称为样本的似然函数 l正态总体均值方差的置信区间与上下限正态总体均值方差的置信区间与上下限 . 1的置信区间的置信区间均值均值 单个正态总体单个正态总体 ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置

16、信水平为的一个置信水平为 .2/ znx ,)2(2为未知为未知 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为 .)1(2/ ntnsx 12的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 .)1()1(,)1()1(22/1222/2 nsnnsn . 22的置信区间的置信区间方差方差 , 未知未知 1的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 .)1(1,)1(122/122/ nsnnsn . 121的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,)1(2221均为已知均为已知和和 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .222

17、1212/ nnzyx 两个正态总体两个正态总体 ,)2(2221均为未知均为未知和和 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .2221212/ nsnszyx ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 .11)2(21212/ nnsnntyxw .,2)1()1( 2212222112wwwssnnsnsns 其中其中 . 22221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 . , 21为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 12221的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置

18、信水平为 .)1, 1(1,)1, 1(1212/12221212/2221 nnfssnnfss正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间,),1( ntnsx 1的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 ).1( ntnsx 1的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 , )( , 2均为未知均为未知方差是方差是的均值是的均值是设正态总体设正态总体 x 12的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 ,)1()1(, 0212 nsn 12的单侧置信上限的单侧置信上限的置信水平为的置信水平为 .)1()1(2122 nsn 无

19、偏性无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若xxxxn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 x )(的取值范围的取值范围是是 . ,)( ,)(),(21的无偏估计量的无偏估计量是是则称则称有有且对于任意且对于任意存在存在的数学期望的数学期望若估计量若估计量 eexxxn有效性有效性 . , ,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其

20、数学期望的偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.),()( ,),(),(212121222111有效有效较较则称则称若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与设设 ddxxxxxxnn 相合性相合性. ,),(,),(2121的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于时时当当若对于任意若对于任意的估计量的估计量为参数为参数若若 nnxxxnxxx 置信区间和置信上限、置信下限置信区间和置信上限、置信下限,1),(),( ),(),(, 1),(0 ,);(2121212121 nnnnnxxxxxxpxxxxxxxxxxfx满足满足和和

21、确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体.1 ,1 ,1),(为置信水平为置信水平上限上限区间的置信下限和置信区间的置信下限和置信的双侧置信的双侧置信分别称为置信水平为分别称为置信水平为和和区间区间的置信的置信的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义,1, ),(, ,1)(0 2121 pxxxxxxnn满足满足对于任意对于任意确定的统计量确定的统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值.1 ,1) ,(信下限信下限的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水

22、平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 ,1 ),( 21 pxxxn满足满足意意对于任对于任又如果统计量又如果统计量.1 , 1 ), (信上限信上限的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤. )( ,);,(:, )1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本zxxxzzxxxnn .1)

23、;,( ,1 )2(21 bxxxzapban使使定出两个常数定出两个常数对于给定的置信水平对于给定的置信水平.1),( ,),(, ),( , );,( )3(212121的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中的不等式的不等式得到等价得到等价若能从若能从 nnnxxxxxxbxxxza三、典型例题三、典型例题p230p230：9 9、1010、1111、1515p232p232：1313、1414、1515、1616p233p233：1010、1111、1414第五章第五章 统计检验方法统计检验方法二、主要内容二、主要内容三、典型例题

24、三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点掌握一个正态总体的期望和方差的假设检验掌握一个正态总体的期望和方差的假设检验.2.难点难点确定零假设确定零假设 h0 和备择假设和备择假设h1 ;理解显著性水平理解显著性水平 a 以及确定检验统计量和根以及确定检验统计量和根据样本值作出拒绝还是接受据样本值作出拒绝还是接受h0 的判断的判断.原假设与备原假设与备择假设择假设常见的假设检验常见的假设检验单边检验拒单边检验拒绝域绝域单边、双边检验单边、双边检验二、主要内容二、主要内容检验统计量检验统计量拒绝域与临拒绝域与临界点界点两类错误两类错误正态总体均值的检验正态总

25、体均值的检验正态总体方差的检验正态总体方差的检验原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为: ,下下在显著性水平在显著性水平 .,01”检验检验针对针对下下或称为“在显著性水平或称为“在显著性水平hh . , 10称为备择假设称为备择假设称为原假设或零假设称为原假设或零假设 hh . : , : 0100 hh检验假设检验假设检验统计量检验统计量. /0称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量nxz 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域 c 中的值时中的值时, 我们拒绝原假设我们拒绝原假设 h0, 则称区域则称区域 c 为

26、为拒绝域拒绝域, 拒拒绝域的边界点称为绝域的边界点称为临界点临界点.两类错误两类错误1. 当原假设当原假设h0为真为真, 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域, 而作而作出了拒绝出了拒绝h0的判断的判断, 称做称做第一类错误第一类错误, 又叫又叫弃真弃真错误错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错误犯第一类错误的概率是显著性水平的概率是显著性水平. 2. 当原假设当原假设h0不真不真, 而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域, 而而作出了接受作出了接受h0的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取取伪错误伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”

27、. 正态总体均值的检验正态总体均值的检验 . , / )1 , 0(00检验法检验法为为这种检验法称这种检验法称来确定拒绝域的来确定拒绝域的分布的统计量分布的统计量为真时服从为真时服从利用利用znxznh . )1(/2/0 ntnsxt 拒绝域为拒绝域为利用利用 t 统计量得出拒绝域的检验法称为统计量得出拒绝域的检验法称为 t 检验法检验法.正态总体方差的检验正态总体方差的检验 , : , : 20212020 hh(1) 双边假设检验双边假设检验: , )1( 2022作为统计量作为统计量取取 sn 拒绝域为拒绝域为 )1( 202 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n . 12检验法检验法 (3) 左边检验问题左边检验问题: , : , : 20212020 hh拒绝域为拒绝域为).1()1(212022 ns