高考数学 25个必考点 专题04 导数的运算及几何意义检测

1、专题04 导数的运算及几何意义一、基础过关题1.（2018全国卷iii）曲线在点处的切线的斜率为，则_【答案】【解析】，则，所以.2(2016·四川)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()a4 b2 c4 d2【答案】d 3(2017·哈尔滨调研)函数f(x)x2ln x的最小值为()a. b1 c0 d不存在【答案】a【解析】f(x)x且x>0.令f(x)>0，得x>1.令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，f(1)ln 1.4方程x36x29x100的实根个数是()a3 b2 c1 d0【

2、答案】c【解析】设f(x)x36x29x10，则f(x)3x212x93(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)6<0，极小值为f(3)10<0，所以方程x36x29x100的实根个数为1，故选c.5当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()a5，3 b6，c6，2 d4，3【答案】c 6已知f(x)，g(x) (g(x)0)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)<f(x)g(x)，且f(3)0，则<0的解集为()a(，3)(3，)b(3,0)(0,3)c(3,0)(3，)d(，3)(0,3)【答案】c【

3、解析】由已知得，是奇函数，当x<0时，f(x)g(x)<f(x)g(x)，<0，则在(，0)上为减函数，在(0，)上也为减函数又f(3)0，则有0，可知<0的解集为(3，0)(3，)故选c.7若函数f(x)2xsin x对任意的m2,2，f(mx3)f(x)<0恒成立，则x的取值范围是_【答案】(3,1) 8.（2018高考江苏卷）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】【解析】解：函数在内有且只有一个零点，当时，函数在上单调递增，在上没有零点，舍去；当时，的解为，在上递减，在递增，又只有一个零点，解得，的解集为，在上递增，在上递减，在上

4、的最大值与最小值的和为：推导出，当时，在上没有零点；当时，的解为，在上递减，在递增，由只有一个零点，解得，从而，利用导数性质能求出在上的最大值与最小值的和本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题9设函数f(x)aln xbx2(x>0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在，e上的最大值【答案】(1) (2) f(x)maxf(1).二、能力提高题1(2016·郴州模拟)定义在r上的函数f(x)满足：f(x)f(x)>1，f(0)4，则不等式exf(x)>ex3(其中e为

5、自然对数的底数)的解集为_【答案】(0，)【解析】设g(x)exf(x)ex(xr)，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，f(x)f(x)>1，f(x)f(x)1>0，g(x)>0，yg(x)在定义域上单调递增，exf(x)>ex3，g(x)>3，又g(0)e0f(0)e0413，g(x)>g(0)，x>0. 2已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0且x0>0，则a的取值范围是_【答案】(，2) 3(2016·兰州模拟)已知定义在r上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)<

6、;f(x)，且f(x2)为偶函数，f(4)1，则不等式f(x)<ex的解集为()a(2，) b(0，)c(1，) d(4，)【答案】b【解析】f(x2)为偶函数，f(x2)的图象关于x0对称，f(x)的图象关于x2对称，f(4)f(0)1.设g(x)(xr)，则g(x)，又f(x)<f(x)，g(x)<0(xr)，函数g(x)在定义域上单调递减，f(x)<exg(x)<1，而g(0)1，f(x)<exg(x)<g(0)，x>0，故选b.4(2017·合肥质检)直线xt分别与函数f(x)ex1的图象及g(x)2x1的图象相交于点a和点b，

7、则ab的最小值为()a2 b3c42ln 2 d32ln 2【答案】c【解析】由题意得，ab|ex1(2x1)|ex2x2|，令h(x)ex2x2，则h(x)ex2，所以h(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增，所以h(x)minh(ln 2)42ln 2>0，即ab的最小值是42ln 2，故选c.5(2015·课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xr)的导函数，f(1)0，当x>0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a(，1)(0,1)b(1,0)(1，)c(，1)(1,0)d(0,1)(1，)【答案】a

8、 6已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()a(，0 b(，1c2,1 d2,0【答案】d【解析】|f(x)|ax成立由(1)得x(x2)ax在区间(，0上恒成立当x0时，ar；当x<0时，有x2a恒成立，所以a2.故a2. 7(2016·东北师大附中、吉林一中等五校联考)已知函数f (x)exaxa(ar且a0)(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围【答案】(1) 最小值2. (2) 实数a的取值范围是e2<a<0.【解析】(1)由f(0)1a2，得a1.易知f(x)

9、在2,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以当x0时，f(x)在2,1上取得最小值2.(2)f(x)exa，由于ex>0. 当a>0时，f(x)>0，f(x)是增函数，当x>1时，f(x)exa(x1)>0.当x<0时，取x，则f()<1a(1)a<0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a<0时，f(x)exa，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)<0，f(x)单调递减，在(ln (a)，)上，f(x)>0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a

10、)eln(a)aln(a)a2aaln(a)>0，解得e2<a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是e2<a<0.8（2018江苏高考17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆o的一段圆弧（p为此圆弧的中点）和线段mn构成已知圆o的半径为40米，点p到mn的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形abcd，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上设oc与mn所成的角为（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求当为何值时，能使甲、乙两种

11、蔬菜的年总产值最大【解析】（1）连结po并延长交mn于h，则phmn，所以oh=10过o作oebc于e，则oemn，所以coe=，故oe=40cos，ec=40sin，则矩形abcd的面积为2×40cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），cdp的面积为×2×40cos（4040sin）=1600（cossincos）过n作gnmn，分别交圆弧和oe的延长线于g和k，则gk=kn=10令gok=0，则sin0=，0（0，）当0，）时，才能作出满足条件的矩形abcd，所以sin的取值范围是，1）答：矩形abcd的面积为800（4sincos+co

12、s）平方米，cdp的面积为1600（cossincos），sin的取值范围是，1）（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），则年总产值为4k×800（4sincos+cos）+3k×1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）设f（）= sincos+cos，0，），则令，得=，当（0，）时，所以f（）为增函数；当（，）时，所以f（）为减函数，因此，当=时，f（）取到最大值答：当=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点评本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值

13、等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力9（2018江苏高考19）记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“s点”（1）证明：函数与不存在“s点”；（2）若函数与存在“s点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“s点”，并说明理由【解析】（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且f（x）= g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“s”点（3）对任意a>0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则

14、b>0函数，则由f（x）=g（x）且f（x）=g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“s点”因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“s点”点评：本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力10（2018全国高考i卷21）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，

15、即.11、（2018高考北京卷18）设函数=（）若曲线y= f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围（）由（）得f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若a>，则当x(，2)时，f (x)<0；当x(2，+)时，f (x)>0所以f (x)<0在x=2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x2<0，ax1x1<0，所以f (x)>0所以2不是f (x)的极小值点综上可知，a的取值范围是（，+）12（2018高考浙江卷22）已知函数f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x

16、2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma>|a|+kka0，f（n）kna<<0，所以，存在x0（m，n）使f（x0）=kx0+a，所以，对于任意的ar及k（0，+），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点由f（x）=kx+a得设h（x）=，则h（x）=，其中g（x）=由（）可知g（x）g（16），又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h