2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题16

1、章末综合测评（三）圆锥曲线与方程（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线y= ax2的准线方程是y 2二0,则a的值是（）A1C1a8b . 8C. 8D . 8【解析】抛物线y= aX的标准方程为x=ay，1 1所以一2,即 a= g.【答案】B2. 如图1,已知圆O的方程为x2+ y2 = 100，点A（6,0），M为圆O上任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是（）A .圆B .抛物线C.椭圆D .两条直线【解析】IP为AM垂直平分线上的点.|PM|= |PA|.又

2、v|OP|+ |PM|= 10，|FA|+ |PO|= 10.故P点的轨迹是以A，O为焦点，长轴长为10的椭圆.【答案】C.n3设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且/ CBA=4若AB= 4, BC= 2,则椭圆的焦距为（）VB 236eVD ¥2 2【解析】 如图，设椭圆的标准方程为a2+缶=1（a>b>0）,由题意可知,2a=4, a= 2因为ZCBA=BC二磁，所以C（- 1, 1）.因为点C在椭圆上，所，所以焦距为1 1 2以4+孑=1,所以b =4“ 63【答案】 C4.双曲线X24y2= 4的焦点坐标为()A. ( ± 3, 0)B . (0, 土.

3、 3)C. (0, ± 5)D. ( ± 5, 0)2【解析】 依题意a= 2, b= 1,：c= ,5,又y2= 1焦点在x轴上,焦点坐标为（± 5, 0）.【答案】D5已知A, B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， ABM为等腰三角 形，且顶角为120°,则E的离心率为（）A. 5B. 2C. 3D. 2【解析】 结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a, b的关系，进而求出离心率.不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为2 2a2-*= 1(a>0, b>0),则 |BM|= |AB匸 2a,/MBx = 180 -

4、 120 = 60 °'M点的坐标为(2a, 3a).Ml点在双曲线上，学3? = 1, a= b,c°c= 2a, e= = 2.故选 D.a【答案】 D2 26.已知双曲线C1：拿一古=1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C2： x2=2py(p> 0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A. x2 =瞥C. x2= 8yB. x2=呼y【解析】双曲线的渐近线方程为y=£x,由于f=2 2a2+ b22 =aD. x2= 16y2,所以b= 3,所以双曲线的渐近线方程为y=±. 3x拋物线的

5、焦点坐标为0,P所以2 = 2,所以p= 8,所以抛物线方程为x2= 16y.【答案】 D37已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为F(3,0)，离心率等于2,则C的方程是()2 2B - :- A 12 2A-* = 1A.45 122C.y_52 25,故C的方程为X y =1,选【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在 x轴上且c= 3.又离心率为匚=3,故a = 2, b = c a = 3 2 =a 2B.【答案】 B2 28. 已知椭圆2X5+补=1(m>0)的左焦点为F1( 4,0)，则()A. 9B . 4B. 3D. 2【解析】 由题意得：m2= 25 4

6、2= 9,因为m>0,所以m= 3,故选C.【答案】 C2 29. 设双曲线予一語1(a>0, b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B, C两点，过B, C分别作AC, AB的垂线，两垂线交于点 D.若D到直线BC的距离小于a+ a2 + b2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范 围是()A. (1,0)U (0,1)B. (", 1)U (1,+x )C. ( 2, 0)U (0, . 2)D. (", ,2)U ( 2,+)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解.由题作出图像如图所示.易得B c，号，Cc，-羊.b2b2

7、aTkAB=,c a a c aa(a C) -'kCD =.b22kAC = =b，a c a a ca(a c)-kBD = F.lBD： y-咛(x- c)，即 晋 x+ 皆 + 梟CD : y+弓a a ca a c ac a cb2b4=-b2(x C),即卩y=b2xb2 Ta.：XD = c+ .点D至UBC 的bbb aa a c距离为a (a c)'4 2<a+ ：a2 + b2= a+ c，：b4<a2(c2 a2)= a2b2，a2>b2，0<02<1.-0<b<1 或1<b<0. aa【答案】 A2

8、210. 椭圆字+ *= 1(a>b>0)的焦距为2c，若直线y= 2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率等于(C. .3 1D.2 2【解析】 当x= c时，由%+餐1,b2得尸音.又交点在y= 2x上，所以交点坐标为c2a 一2 2 2b a c所以 2c=：二二a a2CCq所以 2a= 1孑，即 e + 2e 1 = 0,解得 e= 1 + 2.【答案】D111. 已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为2, E的右焦点与抛物线C： y2= 8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，贝U AB|=（）【导学号：32550099】A. 3B . 6C. 9D. 1

9、2【解析】根据已知条件求出椭圆的方程，AB| = 2|yA|,只需求出 丽即可.抛物线y2= 8x的焦点为（2,0）,二椭圆中c= 2，e C 1,222又a=2，；a = 4，b = a c = 12，2 2从而椭圆方程为务+ 2= 1.抛物线y2= 8x的准线为x= 2，-XA= XB= 2,将xa= 2代入椭圆方程可得|yA|= 3,由图像可知AB| = 2|yA|= 6.故选B.【答案】 B12. 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是（）A. y2=象B. y2=45xC. x2= 45yD.

10、 x2=- %则点P满足的P、Q两点，0=(xi，y2=4x，得 y2+ 4y-4 = 0, |yi-y2|= .'42 + 42 = 4.2i，Szpoq=2l°F|yi【解析】如果设抛物线的方程为y=1(mn0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2= 4x的 = 2px(p>0)，则抛物线过点(40,30),则302 = 2pX 40,2p =学，所以所求的抛物线方程应为y2=x，所给选项中没有=养，同理若设x2= 2py，则抛物线过点(30， 40)，求得抛物线方程为x245=gy.故选 c.【答案】 C、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题

11、中的横线上)213. 已知点 A( 2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA PB = x，方程为.【解析】PA= ( 2 x， y)，PB= (3 x， y)，2/.FA PB= ( 2 x， y) (3 x， y) = x2.22即(2 x)(3 x) + (y)(y) = x，即 y = x+ 6.【答案】y2 = x+ 614. 过抛物线y2= 4x的焦点，作倾斜角为匸0的直线交抛线于为坐标原点，则 POQ的面积等于【解析】设P(xi，yi)，Q(x2, y2)，F为抛物线焦点，由2 22 15双曲线myn【答案】焦点重合，则mn的值为.【解析】 抛物线y2 = 4x的焦点为

12、(1,0),2 2二双曲线爲= 1的焦点在x轴上.m>0, n>0, a = m, b= n,= ：m+ n= 1,1m+ ne=m=4,3n=4,3【答案】32 216. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C仁拿一b2= 1(a>0, b>0)的渐近线与抛物线C2： x2= 2py(p>0)交于点O, A, B若 OAB的垂心为C2的焦点，贝U O的离心率为.【导学号：32550100】【解析】 利用三角形垂心的性质建立关于 a, b, c的等式求离心率.双曲线的两条渐近线方程为y = ±：x ,与抛物线方程联立得交点a抛物线焦点为F 0, 2 ,由三角形

13、垂心的性质，得BF丄OA,即kBF koA= 1, p2pb2 a a bbja b'b亦b2 5 , 占又 kBF二4b a, kOA= b,所以有 4b aa=即产4 故 C1 的离a心率 * a 二；1+a2 二+a i【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)2 217. (本小题满分10分)已知椭圆C: a2+容=1(a>b>0)的离心率为轴的一个端点到右焦点的距离为 3,求椭圆C的方程.【解】 设椭圆的半焦距为c,依题意知c=£a 3 'a= , 3,a= 3,c= 22b2二1,A所求椭圆方程为X3

14、 + y2二1.18. (本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x= 4,其相应的焦点为(10,0),离心率为2,求此双曲线的方程.【解】 设P(x, y)是所求双曲线上的任一点,由双曲线的第二定义，得X- 10 ?+ y2X-4|化简整理，得爺&-48二1.19. (本小题满分12分)直线I: y= kx+ 1,抛物线C: y2 = 4x,当k为何值时, l与C: (1)相切；(2)相交；(3)相离.y= kx+ 1,y2 = 4x,【解】将直线I和抛物线C的方程联立，得将代入，并整理，得k2x2 + 2(k-2)x+ 1 = 0.当 k= 0 时，x=4 y= 1,得交点 A 4，

15、1 .当 山0时，方程为一元二次方程，所以二16(1 - k).(1)当二0,即k= 1时，l与C相切;当>0,艮卩kv 1且kM0时，I与C相交;当<0,即k> 1时，I与C相离.综上(1)k= 1时相切；(2)k<1且k= 0时相交；(3)k>1时相离.20. (本小题满分12分)求以(1, -1)为中点的抛物线y2 = 8x的弦所在直线的方程.解设弦的两端点分别为A(x1, y1), B(x2, y2),y2 = 8x1, 则2 Qy2 = 8x2,X1 + X2X1+ X2 = 2, 得y1 + y2y1 + y2二一2,y2y1-kAB=. X2 X1由一，得(y2 + y1)(y2 y"= 8(X2 x”,y2 y1X