曲边梯的面积

1、曲边梯形的面积曲边梯形的面积一一,学习目标学习目标:1、掌握曲边梯形面积的求法、掌握曲边梯形面积的求法.2、深刻理解化曲为直的思想、深刻理解化曲为直的思想.3、初步认识定积分的概念、初步认识定积分的概念.二二,重点重点:1、曲边梯形的面积、曲边梯形的面积2、化曲为直的思想、化曲为直的思想3、定积分的概念、定积分的概念三三,难点难点:化曲为直的思想及定积分概念化曲为直的思想及定积分概念这些图形的面积该怎样计算？引入： 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。o

2、x y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b y = f(x)bax yo a1a a1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积a a1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积a a，得得思考：思考：a a1+ a2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积a， 得得 y = f(x)bax yoa1a2a a1+ a2+ a3+ a4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积a， 得得 y = f(x)bax yoa1a2a3a4 y = f(x)bax yoa a1+ a2 + + an 将

3、曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积a a近似为近似为a1aian 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 例例1求曲线求曲线y=x2与直线与直线x=1，y=0所围所围成的区域的面积。成的区域的面积。解：将区间解：将区间0，1等分成等分成n个小区间，个小区间， 11 2110, , , ,iinnnn nnnnn每个小区间的长度为每个小区间的长度为 11iixnnn(i=1、2、3n)解：将区间解：将区间0，1等分成等分成n个小区间，个小区间， 11 21

4、10, , , ,iinnnn nnnnn每个小区间的长度为每个小区间的长度为 11iixnnn过各分点作过各分点作x轴的垂线，轴的垂线，把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个小曲个小曲边梯形，再分别用小区间边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标左端点的纵坐标 为为高，高，x= 为底作小矩为底作小矩形，形， 21()in1n于是图中曲线之下小矩形面积依次为于是图中曲线之下小矩形面积依次为222211121110, (), (), ,(), nnnnnnnn所有这些小矩形的面积的和为所有这些小矩形的面积的和为222211121110()()()nnsnnnnnnn22223311(1)(21)012(1

5、) 6n nnnnn111(1)(2)6nn由此得到由此得到s= 001111limlim(1)(2)63nxxsnn 从图形上看，当从图形上看，当n越来越大时，划分的越来越大时，划分的越来越细，阴影部分面积与曲边梯形的越来越细，阴影部分面积与曲边梯形的面积相差越来越小，当面积相差越来越小，当n+时，阴影部时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将极限分趋近于曲边三角形，因此可以将极限值值 视为此曲边三角形的面积。视为此曲边三角形的面积。31思考：思考：v如果取小矩形的高为小区间右端点如果取小矩形的高为小区间右端点v的纵坐标，所有这些小矩形的面积的纵坐标，所有这些小矩形的面积v和是否趋向于曲边三

6、角形的面积和是否趋向于曲边三角形的面积v呢？呢？ n1n2nknnxy2xy o n1n2nknnxoy2xy 例例2弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力正比，即力f(x)=kx（k是常数，是常数，x是伸长是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。所作的功。解：将物体用常力解：将物体用常力f沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x,则所做的功则所做的功w=fx，本题，本题f是克服弹簧拉力是克服弹簧拉力的变力，是移动距离的变力，是移动距离x的函数，的函数，f(x)=kx，将将0，b n等分，记等分，记x= ， bn分点依次为分点依次

7、为x0=0，x1= ，x2= ,，xn1= ，xn=b，bn2bn(1)nbn当当n很大时，在分段很大时，在分段xi，xi+1所用的力约所用的力约为为kxi，所做的功，所做的功wkxix=ibkxn则从则从0到到b所做的总功所做的总功w近似地等于近似地等于2112000 12(1)nniiiib bkbwknn nn 222(1)1(1)22kbn nkbnn当当n+时，上式右端趋近于时，上式右端趋近于 22kb于是得到弹簧从平衡位置拉长于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功所做的功为为 210lim2ninikbww 以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一以上两个实际问题，一个是求曲边梯

8、形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题在某一闭区间上的和式的极限问题.思考、如果在分段思考、如果在分段1 ,iix x取所用的力为取所用的力为xi+1所做的功是多少？所做的功是多少？1. 曲边三角形或梯形的面积曲边三角形或梯形的面积 s= 10lim( )ninif xx2.克服弹簧拉力的变力所做的功克服弹簧拉力的变力所做的功 w= 10lim( )ninif xx 类似地问题还很多，它们都可以归结为类似地问

9、题还很多，它们都可以归结为求这种求这种和式的极限和式的极限，牛顿等数学家经过苦，牛顿等数学家经过苦心研究，得到了解决这类问题的一般方法。心研究，得到了解决这类问题的一般方法。求求函数的定积分函数的定积分。一般函数定积分的定义一般函数定积分的定义 设函数设函数f(x)是定义在区间是定义在区间a，b上的一个上的一个函数，在闭区间函数，在闭区间a，b上任取上任取n1个分点个分点011iinaxxxxxb 把把a，b分成分成 n个小闭区间，其长度依次个小闭区间，其长度依次为为x=xi+1xi，i=0，1，2，n1，记，记为这些小区间长度的最大者，当为这些小区间长度的最大者，当趋近于趋近于0时，所有小区

10、间的长度都趋近于时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个，在每个小区间内各取一点，小区间内各取一点，,1iiixx作和式作和式in=10( )niiifx 当当0时，如果和式的极限存在，我们时，如果和式的极限存在，我们把和式把和式in的极限叫做函数的极限叫做函数f(x)在区间在区间a，b上的定积分，上的定积分，记作记作()bafx dx 其中其中f(x)称为被积函数，称为被积函数，x称为积分变量，称为积分变量，a，b称为积分区间，称为积分区间，a, b分别称为积分分别称为积分的上限和下限，的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时叫做被积式，此时称称f(x)在区间在区间a，b上可积。上可积。 b

11、aidxxf)(iinixf )(lim10 . 被积函数被积函数积分上限积分上限积分下限积分下限被积式被积式 利用积分的定义，前面提到曲边梯形利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为面积可简洁的表示为 ()bafx dx于是例于是例1的结果可以写作的结果可以写作 12013sx dx例例2中克服弹簧拉力的变力所做的功中克服弹簧拉力的变力所做的功202bkbwkxdx 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上是一条上是一条连续的曲线，它与直线连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所所围成的曲边梯形的面积客观存在，则围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x)在在a，b一定是可

12、积的。一定是可积的。求区间求区间 函数函数f(x)的定积分的步骤的定积分的步骤:, a b1、分割：将区间、分割：将区间, a b分成分成n个闭区间个闭区间2、近似替代、近似替代:（取点）在每个闭区间（取点）在每个闭区间 1,iix x上任取点，上任取点，+1,( )( )()34iiiifff用代替这一区间上的所有函数值，为简便常取左端点或右端点、作和、求极限例题分析：例题分析：v例例 1：利用定义计算定积分：利用定义计算定积分120 x dx巩固练习、求巩固练习、求30ax dxv例例2、利用定积分的几何意义求、利用定积分的几何意义求21xdx巩固练习、巩固练习、利用定积分的几何意义求下列定积分：利用定积分的几何意义求下列定积分：11(1)1dx11(2)xdx11(3)x dxv例例3、利用定积分的定义证明：如果、利用定积分的定义证明：如果f(x)、g(x)同在区间同在区间,( )( )( )( )bbbaaaa bg xg xdxf x dxg x dx内可积分，则f(x)也在此区间内可积分，且f(x)思考：如何理解思考：如何理解1010()(1)( )(1)()(2)