浙江专用高考数学总复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性学案1014215

1、- 1 -第第 2 2 讲讲导数与函数的单调性导数与函数的单调性最新考纲了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).知 识 梳 理1.函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(或0)解出相应的x的取值范围.当f(x)0 时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f(x)0 时，f(

2、x)在相应的区间内是单调递减函数.一般需要通过列表，写出函数的单调区间.3.已知单调性求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f(x)；(2)若函数f(x)在a，b上单调递增， 则f(x)0 恒成立； 若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(x)0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f(x)0.若f(x)0 恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f

3、(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)f(x)0 是f(x)为增函数的充要条件.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(2)f(x)0 是f(x)为增函数的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)2.函数f(x)exx的单调递增区间是()a.(，1b.1，)c.(，0d.(0，)解析令f(x)ex10 得x0，所以f(x)的递增区间为(0，).答案d- 2 -3.设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()解析由yf(x)的图象易知当x0 或x2 时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(，0)和(2，)上单调递

4、增；当 0 x2 时，f(x)0，故函数yf(x)在区间(0，2)上单调递减.答案c4.(2014全国卷)若函数f(x)kxlnx在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()a.(，2b.(，1c.2，)d.1，)解析依题意得f(x)k1x0 在(1，)上恒成立，即k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1，故选 d.答案d5.若f(x)lnxx，0abe，则f(a)与f(b)的大小关系为_.解析f(x)1lnxx2，当 0 xe 时，1lnx0，即f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增，f(a)f(b).答案f(a)f(b)考点一求不含参数的函数的单调性- 3 -【例 1】 已知函数

5、f(x)ax3x2(ar r)在x43处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x43处取得极值，所以f43 0，所以 3a169243 16a3830，解得a12.(2)由(1)得g(x)12x3x2ex，故g(x)32x22xex12x3x2ex12x352x22xex12x(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0，x1 或x4.当x4 时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0 时，g(x)0 时，g(x)0，故g(x)为增函数.综上知，g(x)在(，4

6、)和(1，0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.规律方法确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0).令y0，得 00，此时f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增；- 6 -()当a0 时，由g(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21a1.当a12时，x1x2，g(x)0 恒成立， 此时f(x)0， 等号只在x1 时取得， 所以函数f(x)在(0，)上单调递减；当 0a10，x(0，1)时，g(x)0，此时f(x)0

7、，函数f(x)单调递减；x1，1a1时，g(x)0，函数f(x)单调递增；x1a1，时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减.当a0 时，由于1a10，此时f(x)0，f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数f(x)单调递增.综上所述：当a0 时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增；当a12时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当 0a12时，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在1，1a1上单调递增，在1a1，上单调递减.考点三利用函数的单调性求参数(易错警示)【例 3】 (2017成都诊断)已知函数f(x)lnx，g(x)12ax22x(a0).(

8、1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求实数a的取值范围.解(1)h(x)lnx12ax22x，x(0，)，- 7 -所以h(x)1xax2，由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，1xax21x22x有解.设g(x)1x22x，所以只要ag(x)min即可.而g(x)1x121，所以g(x)min1.所以a1.(2)由h(x)在1，4上单调递减得，当x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，即a1x22x恒成立.设g(x)1x22x，所以ag(x)max，而g(x)1x121，因为x1，4，所以1x14，1，所以g(x)max716(此时x4)，所以a716.规律方法利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间d上存在递增(减)区间.方法一：转化为“f(x)0(0(0)成立”.(2)函数f(x)在区间d上递增(减).方法一：转化为“f(x)0(0)在区间d上恒成立”问题；方法二：转化为“区间d是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.易错警示对于：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于：h(x)在(0，)上存在递减区间，应等价于h(x)0 在(0，)上有解，易误认为“等价于h(x)0 在(0， )上有解”， 多带一个“